Theorem fmtno5lem4 48914

Description: Lemma 4 for fmtno5 48915. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5lem4	⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296

Proof of Theorem fmtno5lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn0 12667	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
2		5nn0 12666	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;65 ∈ ℕ0
4	3, 2	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;655 ∈ ℕ0
5		3nn0 12664	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;6553 ∈ ℕ0
7	6, 1	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;;65536 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12658	. . 3 ⊢ ;;;;65536 ∈ ℂ
9	8	sqvali 14363	. 2 ⊢ (;;;;65536↑2) = (;;;;65536 · ;;;;65536)
10		fmtno5lem1 48911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;65536 · 6) = ;;;;;393216
11	10	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;393216 = (;;;;65536 · 6)
12		fmtno5lem2 48912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;65536 · 5) = ;;;;;327680
13	12	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;327680 = (;;;;65536 · 5)
14	1, 2, 7, 11, 13	decmul10add 12928	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;65536 · ;65) = (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)
15	14	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680) = (;;;;65536 · ;65)
16	3, 2, 7, 15, 13	decmul10add 12928	. . . . . 6 ⊢ (;;;;65536 · ;;655) = (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)
17	16	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680) = (;;;;65536 · ;;655)
18		fmtno5lem3 48913	. . . . . 6 ⊢ (;;;;65536 · 3) = ;;;;;196608
19	18	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;;;;;196608 = (;;;;65536 · 3)
20	4, 5, 7, 17, 19	decmul10add 12928	. . . 4 ⊢ (;;;;65536 · ;;;6553) = (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)
21	20	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608) = (;;;;65536 · ;;;6553)
22	6, 1, 7, 21, 11	decmul10add 12928	. 2 ⊢ (;;;;65536 · ;;;;65536) = (;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 + ;;;;;393216)
23		4nn0 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
24		2nn0 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
25	23, 24	deccl 12869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
26		9nn0 12670	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
27	25, 26	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
28	27, 23	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
29	28, 2	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42945 ∈ ℕ0
30		7nn0 12668	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	29, 30	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429457 ∈ ℕ0
32	31, 23	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4294574 ∈ ℕ0
33		0nn0 12661	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34	32, 33	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42945740 ∈ ℕ0
35		8nn0 12669	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
36	34, 35	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;429457408 ∈ ℕ0
37	5, 26	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;39 ∈ ℕ0
38	37, 5	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;393 ∈ ℕ0
39	38, 24	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;;;3932 ∈ ℕ0
40		1nn0 12662	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
41	39, 40	deccl 12869	. . 3 ⊢ ;;;;39321 ∈ ℕ0
42	27, 24	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;4292 ∈ ℕ0
43	42, 1	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;42926 ∈ ℕ0
44	43, 33	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;429260 ∈ ℕ0
45	44, 35	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;;4292608 ∈ ℕ0
46	45, 33	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42926080 ∈ ℕ0
47	40, 26	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
48	47, 1	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;196 ∈ ℕ0
49	48, 1	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;;1966 ∈ ℕ0
50	49, 33	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;;19660 ∈ ℕ0
51	25, 2	deccl 12869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;425 ∈ ℕ0
52	51, 26	deccl 12869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4259 ∈ ℕ0
53	52, 35	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42598 ∈ ℕ0
54	53, 23	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;425984 ∈ ℕ0
55	54, 33	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4259840 ∈ ℕ0
56	5, 24	deccl 12869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
57	56, 30	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;327 ∈ ℕ0
58	57, 1	deccl 12869	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;3276 ∈ ℕ0
59	58, 35	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;32768 ∈ ℕ0
60	41, 1	deccl 12869	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;393216 ∈ ℕ0
61		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;;3932160 = ;;;;;;3932160
62		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;327680 = ;;;;;327680
63		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;;393216 = ;;;;;393216
64		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;32768 = ;;;;32768
65		7p1e8 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + 1) = 8
66		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;;39321 = ;;;;39321
67		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;3276 = ;;;3276
68		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;3932 = ;;;3932
69		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;327 = ;;327
70		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;393 = ;;393
71		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;32 = ;32
72		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;39 = ;39
73		3p1e4 12527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 1) = 4
74		9p3e12 12947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 + 3) = ;12
75	5, 26, 5, 72, 73, 24, 74	decaddci 12920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;39 + 3) = ;42
76		3p2e5 12533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 2) = 5
77	37, 5, 5, 24, 70, 71, 75, 76	decadd 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;393 + ;32) = ;;425
78		7cn 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ ℂ
79		2cn 12458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
80		7p2e9 12543	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 2) = 9
81	78, 79, 80	addcomli 11541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 7) = 9
82	38, 24, 56, 30, 68, 69, 77, 81	decadd 12913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;3932 + ;;327) = ;;;4259
83		6cn 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
84		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
85		6p1e7 12530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 1) = 7
86	83, 84, 85	addcomli 11541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 6) = 7
87	39, 40, 57, 1, 66, 67, 82, 86	decadd 12913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;;39321 + ;;;3276) = ;;;;42597
88	52, 30, 65, 87	decsuc 12890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;;;39321 + ;;;3276) + 1) = ;;;;42598
89		8cn 12480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
90		8p6e14 12943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 6) = ;14
91	89, 83, 90	addcomli 11541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 8) = ;14
92	41, 1, 58, 35, 63, 64, 88, 23, 91	decaddc 12914	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;;;393216 + ;;;;32768) = ;;;;;425984
93		00id 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
94	60, 33, 59, 33, 61, 62, 92, 93	decadd 12913	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;;;3932160 + ;;;;;327680) = ;;;;;;4259840
95	94	deceq1i 12861	. . . . . . 7 ⊢ ;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 = ;;;;;;;42598400
96		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;;4259840 = ;;;;;;4259840
97		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;;425984 = ;;;;;425984
98		5p1e6 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 1) = 6
99		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;;42598 = ;;;;42598
100		1p1e2 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
101		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;4259 = ;;;4259
102		8p1e9 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 + 1) = 9
103		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;425 = ;;425
104		5p3e8 12539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 3) = 8
105	25, 2, 5, 103, 104	decaddi 12919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;;425 + 3) = ;;428
106	25, 35, 102, 105	decsuc 12890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;425 + 3) + 1) = ;;429
107		9p2e11 12946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 2) = ;11
108	51, 26, 5, 24, 101, 71, 106, 40, 107	decaddc 12914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;4259 + ;32) = ;;;4291
109	27, 40, 100, 108	decsuc 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;;4259 + ;32) + 1) = ;;;4292
110		8p7e15 12944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 7) = ;15
111	52, 35, 56, 30, 99, 69, 109, 2, 110	decaddc 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;42598 + ;;327) = ;;;;42925
112	42, 2, 98, 111	decsuc 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;;42598 + ;;327) + 1) = ;;;;42926
113		4cn 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
114		6p4e10 12931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 + 4) = ;10
115	83, 113, 114	addcomli 11541	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 6) = ;10
116	53, 23, 57, 1, 97, 67, 112, 33, 115	decaddc 12914	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;;425984 + ;;;3276) = ;;;;;429260
117	89	addlidi 11537	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 8) = 8
118	54, 33, 58, 35, 96, 64, 116, 117	decadd 12913	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;4259840 + ;;;;32768) = ;;;;;;4292608
119	55, 33, 59, 33, 95, 62, 118, 93	decadd 12913	. . . . . 6 ⊢ (;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680) = ;;;;;;;42926080
120	119	deceq1i 12861	. . . . 5 ⊢ ;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 = ;;;;;;;;429260800
121		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;;;196608 = ;;;;;196608
122	45, 49	decaddm10 12918	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;;42926080 + ;;;;19660) = ;(;;;;;;4292608 + ;;;1966)0
123		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;;4292608 = ;;;;;;4292608
124		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;1966 = ;;;1966
125		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;;;429260 = ;;;;;429260
126		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;196 = ;;196
127		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;;42926 = ;;;;42926
128		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;19 = ;19
129		2p1e3 12524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
130		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;4292 = ;;;4292
131	27, 24, 129, 130	decsuc 12890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;4292 + 1) = ;;;4293
132	27, 5, 73, 131	decsuc 12890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;;4292 + 1) + 1) = ;;;4294
133		9cn 12483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
134		9p6e15 12950	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 6) = ;15
135	133, 83, 134	addcomli 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 9) = ;15
136	42, 1, 40, 26, 127, 128, 132, 2, 135	decaddc 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;;42926 + ;19) = ;;;;42945
137	83	addlidi 11537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 6) = 6
138	43, 33, 47, 1, 125, 126, 136, 137	decadd 12913	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;;;429260 + ;;196) = ;;;;;429456
139	29, 1, 85, 138	decsuc 12890	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;;429260 + ;;196) + 1) = ;;;;;429457
140	44, 35, 48, 1, 123, 124, 139, 23, 90	decaddc 12914	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;;4292608 + ;;;1966) = ;;;;;;4294574
141	140	deceq1i 12861	. . . . . 6 ⊢ ;(;;;;;;4292608 + ;;;1966)0 = ;;;;;;;42945740
142	122, 141	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (;;;;;;;42926080 + ;;;;19660) = ;;;;;;;42945740
143	46, 33, 50, 35, 120, 121, 142, 117	decadd 12913	. . . 4 ⊢ (;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608) = ;;;;;;;;429457408
144	143	deceq1i 12861	. . 3 ⊢ ;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 = ;;;;;;;;;4294574080
145		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;429457408 = ;;;;;;;;429457408
146		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42945740 = ;;;;;;;42945740
147		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;;4294574 = ;;;;;;4294574
148		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;429457 = ;;;;;429457
149		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42945 = ;;;;42945
150	28, 2, 5, 149, 104	decaddi 12919	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42945 + 3) = ;;;;42948
151	28, 35, 102, 150	decsuc 12890	. . . . . . 7 ⊢ ((;;;;42945 + 3) + 1) = ;;;;42949
152		9p7e16 12951	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 7) = ;16
153	133, 78, 152	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 9) = ;16
154	29, 30, 5, 26, 148, 72, 151, 1, 153	decaddc 12914	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;429457 + ;39) = ;;;;;429496
155		4p3e7 12536	. . . . . 6 ⊢ (4 + 3) = 7
156	31, 23, 37, 5, 147, 70, 154, 155	decadd 12913	. . . . 5 ⊢ (;;;;;;4294574 + ;;393) = ;;;;;;4294967
157	79	addlidi 11537	. . . . 5 ⊢ (0 + 2) = 2
158	32, 33, 38, 24, 146, 68, 156, 157	decadd 12913	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42945740 + ;;;3932) = ;;;;;;;42949672
159	34, 35, 39, 40, 145, 66, 158, 102	decadd 12913	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;429457408 + ;;;;39321) = ;;;;;;;;429496729
160	36, 33, 41, 1, 144, 63, 159, 137	decadd 12913	. 2 ⊢ (;(;(;(;;;;;;3932160 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;327680)0 + ;;;;;196608)0 + ;;;;;393216) = ;;;;;;;;;4294967296
161	9, 22, 160	3eqtri 2790	1 ⊢ (;;;;65536↑2) = ;;;;;;;;;4294967296

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  9c9 12444  ;cdc 12854  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  fmtno5  48915