Theorem fmtno5fac 48367

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12538	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12530	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12537	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12531	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 48366	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12729	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2765	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12399	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11413	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12781	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11408	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12781	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12781	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12758	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12809	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12782	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12781	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11409	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12781	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12737	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 48365	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 48364	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12796	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12527	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11224	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2774	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12796	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 48342	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2799	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  8c8 12312  9c9 12313  ;cdc 12722  FermatNocfmtno 48312

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fmtno 48313

This theorem is used by:  fmtno5nprm  48368