Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 47061
Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 12529 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 12527 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12730 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 12533 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12730 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 12730 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 12730 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 12531 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12730 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 12730 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 12730 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 12730 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 12525 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 12532 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 12730 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 12730 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 12730 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 12730 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 12526 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12730 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 47060 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 12722 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2725 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2725 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2725 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2725 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2725 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 12534 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 12730 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 12730 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 12730 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 12730 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 12398 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2725 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2725 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2725 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2725 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2725 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2725 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 12400 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 12746 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 12799 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 12776 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 12344 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 12325 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 12411 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 11443 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 12769 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 12341 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addridi 11438 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 12769 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 12769 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 12746 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 12797 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 12770 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 12769 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addlidi 11439 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 12769 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 12730 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 12730 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 47059 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2734 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 47058 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2734 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 12784 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2734 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 12522 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulridi 11255 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2734 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 12784 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 47036 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2764 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150  2c2 12305  4c4 12307  5c5 12308  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  cdc 12715  FermatNocfmtno 47006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fmtno 47007
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47062
  Copyright terms: Public domain W3C validator