Theorem fmtno5fac 47569

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12549	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12541	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12548	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12542	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47568	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12740	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12748	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12748	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12414	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12794	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12341	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12787	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11448	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12787	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12787	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12764	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12815	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12788	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12787	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11449	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12787	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12748	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47567	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47566	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12802	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12538	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11265	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12802	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47544	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2776	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  ;cdc 12733  FermatNocfmtno 47514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47570