Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 45013
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 12263 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 12261 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12463 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 12267 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12463 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 12463 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 12463 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 12265 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12463 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 12463 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 12463 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 12463 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 12259 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 12266 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 12463 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 12463 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 12463 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 12463 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 12260 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12463 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 45012 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 12455 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2740 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2740 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2740 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2740 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2740 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 12268 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 12463 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 12463 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 12463 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 12463 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 12132 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2740 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2740 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2740 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2740 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2740 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2740 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 12134 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2740 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 12479 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 12532 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 12509 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 12078 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 12059 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 12145 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 11178 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 12502 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 12075 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 11173 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 12502 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 12502 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 12479 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 12530 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 12503 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 12502 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 11174 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 12502 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 12463 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 12463 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 45011 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2749 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 45010 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2749 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 12517 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2749 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 12256 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 10990 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2749 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 12517 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 44988 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2779 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cfv 6432  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887  2c2 12039  4c4 12041  5c5 12042  6c6 12043  7c7 12044  8c8 12045  9c9 12046  cdc 12448  FermatNocfmtno 44958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fmtno 44959
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  45014
  Copyright terms: Public domain W3C validator