Theorem fmtno5fac 45013

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12463	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12463	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12265	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12463	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12463	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12463	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12259	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12463	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12463	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12463	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12463	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12260	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12463	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 45012	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12455	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2740	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12268	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12463	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12463	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12463	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12463	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12132	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12502	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12502	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12479	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12530	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12503	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12502	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 11174	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12502	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12463	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12463	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 45011	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 45010	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12517	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12256	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10990	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2749	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12517	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 44988	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2779	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   · cmul 10887  2c2 12039  4c4 12041  5c5 12042  6c6 12043  7c7 12044  8c8 12045  9c9 12046  ;cdc 12448  FermatNocfmtno 44958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fmtno 44959

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  45014