Theorem fmtno5fac 44099

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 11902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12101	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 11906	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 11900	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 11907	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12101	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12101	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 11901	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 44098	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12093	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2798	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 11909	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12101	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12101	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12101	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 11773	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 11775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12147	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 11719	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 11700	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 11786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 10821	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12140	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 10816	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12140	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12140	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12117	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12168	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12141	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12140	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 10817	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12140	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12101	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 44097	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2807	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 44096	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2807	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12155	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2807	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 11897	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10634	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2807	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12155	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 44074	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2832	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1538  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  8c8 11686  9c9 11687  ;cdc 12086  FermatNocfmtno 44044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fmtno 44045

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  44100