Theorem fmtno5fac 47939

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12436	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12428	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12435	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12429	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47938	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12626	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2737	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12300	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12232	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12248	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12673	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12673	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12650	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12701	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12674	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12673	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11333	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12673	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12634	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47937	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47936	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12688	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12425	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11148	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12688	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47914	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2771	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1542  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  2c2 12212  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  9c9 12219  ;cdc 12619  FermatNocfmtno 47884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fmtno 47885

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47940