Theorem fmtno5fac 47061

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12533	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12730	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12525	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12532	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12526	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12730	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47060	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12722	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2725	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12398	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11443	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12769	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12769	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12769	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12746	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12797	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12770	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12769	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11439	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12769	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12730	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12730	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47059	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47058	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12784	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12522	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11255	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12784	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47036	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2764	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1533  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   · cmul 11150  2c2 12305  4c4 12307  5c5 12308  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  9c9 12312  ;cdc 12715  FermatNocfmtno 47006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fmtno 47007

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47062