Theorem fmtno5fac 48317

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12520	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12727	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12727	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12521	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 48316	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12719	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2763	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12529	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12727	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12727	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12727	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12727	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12389	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12336	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12317	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12333	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12771	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12771	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12748	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12799	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12772	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12771	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11399	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12771	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12727	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 48315	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 48314	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12786	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12517	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11214	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12786	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 48292	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2797	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1570  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  2c2 12296  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  8c8 12302  9c9 12303  ;cdc 12712  FermatNocfmtno 48262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fmtno 48263

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  48318