Theorem fmtno5fac 42276

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 11599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 11798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 11798	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 11798	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 11603	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 11798	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 11798	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 11798	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 11798	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 11597	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 11604	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 11798	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 11798	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 11798	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 11798	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 11598	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 11798	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 42275	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 11790	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2799	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2799	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 11606	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 11798	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 11798	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 11798	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 11798	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 11468	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2799	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 11470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 11815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 11869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 11845	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 11411	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 10518	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 11838	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 10513	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 11838	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 11838	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 11815	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 11867	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 11839	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 11838	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 10514	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 11838	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 11798	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 11798	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 42274	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2808	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 42273	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2808	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 11854	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2808	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 11593	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10333	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2808	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 11854	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 42251	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2832	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1653  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  2c2 11368  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  ;cdc 11783  FermatNocfmtno 42221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fmtno 42222

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  42277