Theorem fmtno5fac 47507

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12539	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12746	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12746	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12540	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47506	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12738	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2735	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12746	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12746	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12746	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12412	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12792	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12358	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12339	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12785	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11446	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12785	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12785	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12762	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12813	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12786	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12785	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11447	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12785	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12746	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47505	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47504	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12800	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12536	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11263	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2744	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12800	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47482	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2774	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1537  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12731  FermatNocfmtno 47452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fmtno 47453

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47508