Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 47569
Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 12545 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12748 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 12549 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12748 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 12748 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 12748 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 12547 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12748 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 12748 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 12748 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 12748 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 12541 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 12548 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 12748 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 12748 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 12748 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 12748 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 12542 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12748 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 47568 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 12740 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2737 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2737 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2737 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2737 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2737 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 12550 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 12748 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 12748 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 12748 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 12748 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 12414 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2737 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2737 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2737 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2737 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2737 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 12416 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 12764 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 12817 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 12794 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 12360 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 12341 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 12427 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 11453 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 12787 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 12357 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addridi 11448 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 12787 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 12787 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 12764 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 12815 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 12788 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 12787 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addlidi 11449 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 12787 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 12748 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 12748 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 47567 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2746 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 47566 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2746 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 12802 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2746 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 12538 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulridi 11265 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2746 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 12802 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 47544 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2776 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733  FermatNocfmtno 47514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fmtno 47515
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47570
  Copyright terms: Public domain W3C validator