Theorem fmtno5fac 47744

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12613	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12613	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12413	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12407	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12613	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12613	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12613	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12408	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47743	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12605	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2733	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12613	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12613	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12613	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12279	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12659	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12652	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12227	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11311	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12652	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12652	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12629	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12680	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12653	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12652	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11312	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12652	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12613	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47742	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47741	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12667	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12404	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11127	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2742	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12667	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47719	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2767	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1541  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  2c2 12191  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  7c7 12196  8c8 12197  9c9 12198  ;cdc 12598  FermatNocfmtno 47689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fmtno 47690

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47745