Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 45848
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 12439 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 12437 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12640 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 12443 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12640 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 12640 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 12640 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 12441 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12640 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 12640 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 12640 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 12640 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 12435 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 12442 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 12640 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 12640 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 12640 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 12640 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 12436 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12640 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 45847 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 12632 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2737 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2737 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2737 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2737 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2737 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 12444 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 12640 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 12640 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 12640 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 12640 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 12308 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2737 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2737 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2737 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2737 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2737 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 12310 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 12656 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 12709 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 12686 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 12254 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 12235 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 12321 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 12679 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 12251 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 11349 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 12679 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 12679 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 12656 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 12707 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 12680 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 12679 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 11350 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 12679 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 12640 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 12640 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 45846 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2746 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 45845 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2746 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 12694 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2746 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 12432 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 11166 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2746 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 12694 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 45823 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2776 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625  FermatNocfmtno 45793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fmtno 45794
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  45849
  Copyright terms: Public domain W3C validator