Theorem fmtno5fac 45034

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12452	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12248	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12249	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 45033	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12444	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12452	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12121	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12048	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12064	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12491	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12468	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12519	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12492	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12491	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 11163	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12491	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12452	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 45032	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 45031	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12506	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12245	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10979	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12506	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 45009	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2777	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1539  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ;cdc 12437  FermatNocfmtno 44979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fmtno 44980

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  45035