Theorem fmtno5fac 44922

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12184	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12178	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12185	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12381	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12381	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12179	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 44921	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12373	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2738	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12381	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12381	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12381	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12051	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 11997	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 11092	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12420	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12420	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12397	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12448	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12421	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12420	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 11093	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12420	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12381	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 44920	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 44919	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12435	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12175	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10910	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2747	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12435	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 44897	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2777	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1539  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  2c2 11958  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  8c8 11964  9c9 11965  ;cdc 12366  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  44923