Theorem fmtno5fac 48485

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12549	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12543	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12550	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12751	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12751	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12544	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 48484	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12743	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2760	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12552	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12751	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12751	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12751	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12751	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12412	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12802	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11421	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12795	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12795	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12772	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12823	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12796	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12795	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11422	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12795	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12751	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 48483	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 48482	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12810	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12540	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11237	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2769	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12810	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 48460	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2794	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ;cdc 12736  FermatNocfmtno 48430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fmtno 48431

This theorem is used by:  fmtno5nprm  48486