Theorem fmtno5fac 47556

Description: The factorization of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12640	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 12433	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 12440	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 12434	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 47555	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12632	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2729	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 12305	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 12256	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 12237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 12318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12679	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 12253	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addridi 11337	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12679	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12679	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12656	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12707	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12680	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12679	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addlidi 11338	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12679	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12640	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 47554	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 47553	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12694	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 12430	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulridi 11154	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2738	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12694	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 47531	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2763	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1540  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  2c2 12217  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  9c9 12224  ;cdc 12625  FermatNocfmtno 47501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fmtno 47502

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  47557