Theorem fmtno5fac 43735

Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno5fac	⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Proof of Theorem fmtno5fac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ0
2		2nn0 11906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ0
4		8nn0 11912	. . . . . . . . . 10 ⊢ 8 ∈ ℕ0
5	3, 4	deccl 12105	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;428 ∈ ℕ0
6	5, 4	deccl 12105	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4288 ∈ ℕ0
7	6, 2	deccl 12105	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42882 ∈ ℕ0
8		6nn0 11910	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ0
9	7, 8	deccl 12105	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;428826 ∈ ℕ0
10	9, 8	deccl 12105	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;4288266 ∈ ℕ0
11	10, 4	deccl 12105	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;42882668 ∈ ℕ0
12	11, 4	deccl 12105	. . 3 ⊢ ;;;;;;;;428826688 ∈ ℕ0
13		0nn0 11904	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
14		7nn0 11911	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
15	8, 14	deccl 12105	. . . . . . 7 ⊢ ;67 ∈ ℕ0
16	15, 13	deccl 12105	. . . . . 6 ⊢ ;;670 ∈ ℕ0
17	16, 13	deccl 12105	. . . . 5 ⊢ ;;;6700 ∈ ℕ0
18	17, 1	deccl 12105	. . . 4 ⊢ ;;;;67004 ∈ ℕ0
19		1nn0 11905	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	18, 19	deccl 12105	. . 3 ⊢ ;;;;;670041 ∈ ℕ0
21		fmtno5faclem3 43734	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = ;;;;;;;;428826688
22	21	deceq1i 12097	. . 3 ⊢ ;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 = ;;;;;;;;;4288266880
23		eqid 2819	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = ;;;;;;6700417
24		eqid 2819	. . . 4 ⊢ ;;;;;;;;428826688 = ;;;;;;;;428826688
25		eqid 2819	. . . 4 ⊢ ;;;;;670041 = ;;;;;670041
26		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;42882668 = ;;;;;;;42882668
27		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ ;;;;67004 = ;;;;67004
28		9nn0 11913	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℕ0
29	3, 28	deccl 12105	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;429 ∈ ℕ0
30	29, 1	deccl 12105	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;4294 ∈ ℕ0
31	30, 28	deccl 12105	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;42949 ∈ ℕ0
32	31, 8	deccl 12105	. . . . . 6 ⊢ ;;;;;429496 ∈ ℕ0
33		6p1e7 11777	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
34		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;4288266 = ;;;;;;4288266
35		eqid 2819	. . . . . . 7 ⊢ ;;;6700 = ;;;6700
36		eqid 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;428826 = ;;;;;428826
37		eqid 2819	. . . . . . . 8 ⊢ ;;670 = ;;670
38		eqid 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;42882 = ;;;;42882
39		eqid 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ ;67 = ;67
40		eqid 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;4288 = ;;;4288
41		8p1e9 11779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 + 1) = 9
42		eqid 2819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;428 = ;;428
43	3, 4, 41, 42	decsuc 12121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;428 + 1) = ;;429
44		8p6e14 12174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 6) = ;14
45	5, 4, 8, 40, 43, 1, 44	decaddci 12151	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;4288 + 6) = ;;;4294
46		7cn 11723	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
47		2cn 11704	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		7p2e9 11790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
49	46, 47, 48	addcomli 10824	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
50	6, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49	decadd 12144	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;42882 + ;67) = ;;;;42949
51		6cn 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℂ
52	51	addid1i 10819	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 0) = 6
53	7, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52	decadd 12144	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;;428826 + ;;670) = ;;;;;429496
54	9, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52	decadd 12144	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;4288266 + ;;;6700) = ;;;;;;4294966
55	32, 8, 33, 54	decsuc 12121	. . . . 5 ⊢ ((;;;;;;4288266 + ;;;6700) + 1) = ;;;;;;4294967
56		8p4e12 12172	. . . . 5 ⊢ (8 + 4) = ;12
57	10, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56	decaddc 12145	. . . 4 ⊢ (;;;;;;;42882668 + ;;;;67004) = ;;;;;;;42949672
58	11, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41	decadd 12144	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;428826688 + ;;;;;670041) = ;;;;;;;;429496729
59	46	addid2i 10820	. . 3 ⊢ (0 + 7) = 7
60	12, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59	decadd 12144	. 2 ⊢ (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417) = ;;;;;;;;;4294967297
61	8, 1	deccl 12105	. . 3 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
62	20, 14	deccl 12105	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℕ0
63		fmtno5faclem2 43733	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 6) = ;;;;;;;40202502
64	63	eqcomi 2828	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;40202502 = (;;;;;;6700417 · 6)
65		fmtno5faclem1 43732	. . . . . 6 ⊢ (;;;;;;6700417 · 4) = ;;;;;;;26801668
66	65	eqcomi 2828	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;;26801668 = (;;;;;;6700417 · 4)
67	8, 1, 62, 64, 66	decmul10add 12159	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;64) = (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)
68	67	eqcomi 2828	. . 3 ⊢ (;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668) = (;;;;;;6700417 · ;64)
69	62	nn0cni 11901	. . . . 5 ⊢ ;;;;;;6700417 ∈ ℂ
70	69	mulid1i 10637	. . . 4 ⊢ (;;;;;;6700417 · 1) = ;;;;;;6700417
71	70	eqcomi 2828	. . 3 ⊢ ;;;;;;6700417 = (;;;;;;6700417 · 1)
72	61, 19, 62, 68, 71	decmul10add 12159	. 2 ⊢ (;;;;;;6700417 · ;;641) = (;(;;;;;;;;402025020 + ;;;;;;;26801668)0 + ;;;;;;6700417)
73		fmtno5 43710	. 2 ⊢ (FermatNo‘5) = ;;;;;;;;;4294967297
74	60, 72, 73	3eqtr4ri 2853	1 ⊢ (FermatNo‘5) = (;;;;;;6700417 · ;;641)

Syntax hints:   = wceq 1531  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  2c2 11684  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  7c7 11689  8c8 11690  9c9 11691  ;cdc 12090  FermatNocfmtno 43680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fmtno 43681

This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  43736