Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtno5fac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtno5fac 45034
Description: The factorisation of the 5 th Fermat number, see remark in [ApostolNT] p. 7. (Contributed by AV, 22-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno5fac (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)

Proof of Theorem fmtno5fac
StepHypRef Expression
1 4nn0 12252 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
2 2nn0 12250 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12452 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ0
4 8nn0 12256 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ0
53, 4deccl 12452 . . . . . . . . 9 428 ∈ ℕ0
65, 4deccl 12452 . . . . . . . 8 4288 ∈ ℕ0
76, 2deccl 12452 . . . . . . 7 42882 ∈ ℕ0
8 6nn0 12254 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ0
97, 8deccl 12452 . . . . . 6 428826 ∈ ℕ0
109, 8deccl 12452 . . . . 5 4288266 ∈ ℕ0
1110, 4deccl 12452 . . . 4 42882668 ∈ ℕ0
1211, 4deccl 12452 . . 3 428826688 ∈ ℕ0
13 0nn0 12248 . . 3 0 ∈ ℕ0
14 7nn0 12255 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
158, 14deccl 12452 . . . . . . 7 67 ∈ ℕ0
1615, 13deccl 12452 . . . . . 6 670 ∈ ℕ0
1716, 13deccl 12452 . . . . 5 6700 ∈ ℕ0
1817, 1deccl 12452 . . . 4 67004 ∈ ℕ0
19 1nn0 12249 . . . 4 1 ∈ ℕ0
2018, 19deccl 12452 . . 3 670041 ∈ ℕ0
21 fmtno5faclem3 45033 . . . 4 (402025020 + 26801668) = 428826688
2221deceq1i 12444 . . 3 (402025020 + 26801668)0 = 4288266880
23 eqid 2738 . . 3 6700417 = 6700417
24 eqid 2738 . . . 4 428826688 = 428826688
25 eqid 2738 . . . 4 670041 = 670041
26 eqid 2738 . . . . 5 42882668 = 42882668
27 eqid 2738 . . . . 5 67004 = 67004
28 9nn0 12257 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ0
293, 28deccl 12452 . . . . . . . . 9 429 ∈ ℕ0
3029, 1deccl 12452 . . . . . . . 8 4294 ∈ ℕ0
3130, 28deccl 12452 . . . . . . 7 42949 ∈ ℕ0
3231, 8deccl 12452 . . . . . 6 429496 ∈ ℕ0
33 6p1e7 12121 . . . . . 6 (6 + 1) = 7
34 eqid 2738 . . . . . . 7 4288266 = 4288266
35 eqid 2738 . . . . . . 7 6700 = 6700
36 eqid 2738 . . . . . . . 8 428826 = 428826
37 eqid 2738 . . . . . . . 8 670 = 670
38 eqid 2738 . . . . . . . . 9 42882 = 42882
39 eqid 2738 . . . . . . . . 9 67 = 67
40 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 4288 = 4288
41 8p1e9 12123 . . . . . . . . . . 11 (8 + 1) = 9
42 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 428 = 428
433, 4, 41, 42decsuc 12468 . . . . . . . . . 10 (428 + 1) = 429
44 8p6e14 12521 . . . . . . . . . 10 (8 + 6) = 14
455, 4, 8, 40, 43, 1, 44decaddci 12498 . . . . . . . . 9 (4288 + 6) = 4294
46 7cn 12067 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℂ
47 2cn 12048 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
48 7p2e9 12134 . . . . . . . . . 10 (7 + 2) = 9
4946, 47, 48addcomli 11167 . . . . . . . . 9 (2 + 7) = 9
506, 2, 8, 14, 38, 39, 45, 49decadd 12491 . . . . . . . 8 (42882 + 67) = 42949
51 6cn 12064 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℂ
5251addid1i 11162 . . . . . . . 8 (6 + 0) = 6
537, 8, 15, 13, 36, 37, 50, 52decadd 12491 . . . . . . 7 (428826 + 670) = 429496
549, 8, 16, 13, 34, 35, 53, 52decadd 12491 . . . . . 6 (4288266 + 6700) = 4294966
5532, 8, 33, 54decsuc 12468 . . . . 5 ((4288266 + 6700) + 1) = 4294967
56 8p4e12 12519 . . . . 5 (8 + 4) = 12
5710, 4, 17, 1, 26, 27, 55, 2, 56decaddc 12492 . . . 4 (42882668 + 67004) = 42949672
5811, 4, 18, 19, 24, 25, 57, 41decadd 12491 . . 3 (428826688 + 670041) = 429496729
5946addid2i 11163 . . 3 (0 + 7) = 7
6012, 13, 20, 14, 22, 23, 58, 59decadd 12491 . 2 ((402025020 + 26801668)0 + 6700417) = 4294967297
618, 1deccl 12452 . . 3 64 ∈ ℕ0
6220, 14deccl 12452 . . 3 6700417 ∈ ℕ0
63 fmtno5faclem2 45032 . . . . . 6 (6700417 · 6) = 40202502
6463eqcomi 2747 . . . . 5 40202502 = (6700417 · 6)
65 fmtno5faclem1 45031 . . . . . 6 (6700417 · 4) = 26801668
6665eqcomi 2747 . . . . 5 26801668 = (6700417 · 4)
678, 1, 62, 64, 66decmul10add 12506 . . . 4 (6700417 · 64) = (402025020 + 26801668)
6867eqcomi 2747 . . 3 (402025020 + 26801668) = (6700417 · 64)
6962nn0cni 12245 . . . . 5 6700417 ∈ ℂ
7069mulid1i 10979 . . . 4 (6700417 · 1) = 6700417
7170eqcomi 2747 . . 3 6700417 = (6700417 · 1)
7261, 19, 62, 68, 71decmul10add 12506 . 2 (6700417 · 641) = ((402025020 + 26801668)0 + 6700417)
73 fmtno5 45009 . 2 (FermatNo‘5) = 4294967297
7460, 72, 733eqtr4ri 2777 1 (FermatNo‘5) = (6700417 · 641)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  2c2 12028  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  cdc 12437  FermatNocfmtno 44979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fmtno 44980
This theorem is referenced by:  fmtno5nprm  45035
  Copyright terms: Public domain W3C validator