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Theorem fmtno4prmfac 47559
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12649 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 4z 12651 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 12350 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 12441 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 11384 . . . . 5 2 ≤ 4
7 eluz2 12884 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1342 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
9 fmtnoprmfac2 47554 . . . 4 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1450 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 12922 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
12 4nn 12349 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
13 nnuz 12921 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2839 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘1)
15 fzouzsplit 13734 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4))
1716eleq2i 2833 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
18 elun 4153 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
19 fzo1to4tp 13793 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3484 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
2221eltp 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2320, 22bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2423orbi1i 914 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2518, 24bitri 275 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2611, 17, 253bitri 297 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
27 4p2e6 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 17124 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · 64)
3231oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · 64) + 1)
3332eqeq2i 2750 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
34 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
35 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = (1 · 64))
36 6nn0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℕ0
37 4nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ0
3836, 37deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ ℕ0
3938nn0cni 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ ℂ
4039mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 64) = 64
4135, 40eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = 64)
4241oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = 65)
4948ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = 65))
50 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
51 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (2 · 64))
52 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ0
53 6cn 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℂ
54 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
55 6t2e12 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 · 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 6) = 12
5756eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 · 6)
58 4cn 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℂ
59 4t2e8 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 4) = 8
6160eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 · 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 64) = (120 + 8)
6351, 62eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
6665, 52deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ ℕ0
67 8nn0 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ0
68 8p1e9 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℕ0
70 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ ℂ
7271addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 12793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = 129)
7877ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = 129))
79 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
80 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (3 · 64))
81 3nn0 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℕ0
82 6t3e18 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = 18
83 3cn 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℂ
8453, 83mulcomi 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = (3 · 6)
8582, 84eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 · 6)
86 4t3e12 12831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = 12
8758, 83mulcomi 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = (3 · 4)
8886, 87eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 · 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 12802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 64) = (180 + 12)
9080, 89eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ0
9365, 92deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ ℕ0
94 2p1e3 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ ℕ0
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
104103adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = 193)
106105ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 47558 . . . . . . . . . . . . 13 (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = 256
111110breq2i 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃256)
112 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
114 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115 6t4e24 12839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 · 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 · 6) + 1) = 25
118 4t4e16 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 64) = 256
120 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12138nn0rei 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 12753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ ℕ
123122nngt0i 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
128127biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64))
129119, 128eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 ≤ (𝑘 · 64))
130 5nn0 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ ℕ0
13152, 130deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ ℕ0
132131, 36deccl 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ ℕ0
133132nn0zi 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ ℤ
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
13538nn0zi 12642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ ℤ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 64 ∈ ℤ)
137134, 136zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
139 zleltp1 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 64) ∈ ℤ) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
141129, 140mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
1421413adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
143114, 142sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
144132nn0rei 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑘 · 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 64) ∈ ℝ → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (256 < ((𝑘 · 64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
152143, 151mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256)
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 858 . . . . . . . . 9 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159biimtrid 242 . . . . . . 7 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 412 . . . . . 6 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 217 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3153 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1118 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cun 3949  {ctp 4630   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  8c8 12327  9c9 12328  cz 12613  cdc 12733  cuz 12878  ..^cfzo 13694  cfl 13830  cexp 14102  csqrt 15272  cdvds 16290  cprime 16708  FermatNocfmtno 47514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-prod 15940  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339  df-fmtno 47515
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  47560
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