Theorem fmtno4prmfac 44912

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12282	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		4z 12284	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2re 11977	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 11987	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12078	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11028	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
7		eluz2 12517	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1339	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
9		fmtnoprmfac2 44907	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
10	8, 9	mp3an1 1446	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11		elnnuz 12551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
12		4nn 11986	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		nnuz 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzouzsplit 13350	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
17	16	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
18		elun 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
19		fzo1to4tp 13403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	19	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21		vex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑘 ∈ V
22	21	eltp 4621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
23	20, 22	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
24	23	orbi1i 910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
25	18, 24	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
26	11, 17, 25	3bitri 296	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
27		4p2e6 12056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 2) = 6
28	27	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29		2exp6 16716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑6) = ;64
30	28, 29	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑(4 + 2)) = ;64
31	30	oveq2i 7266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · ;64)
32	31	oveq1i 7265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · ;64) + 1)
33	32	eqeq2i 2751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
34		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
35		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = (1 · ;64))
36		6nn0 12184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℕ0
37		4nn0 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38	36, 37	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
39	38	nn0cni 12175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;64 ∈ ℂ
40	39	mulid2i 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · ;64) = ;64
41	35, 40	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = ;64)
42	41	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = (;64 + 1))
43		4p1e5 12049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
44		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;64 = ;64
45	36, 37, 43, 44	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (;64 + 1) = ;65
46	42, 45	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
48	34, 47	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ;65)
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = ;65))
50		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
51		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (2 · ;64))
52		2nn0 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ0
53		6cn 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℂ
54		2cn 11978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
55		6t2e12 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (6 · 2) = ;12
56	53, 54, 55	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 6) = ;12
57	56	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (2 · 6)
58		4cn 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℂ
59		4t2e8 12071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 2) = 8
60	58, 54, 59	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 4) = 8
61	60	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (2 · 4)
62	36, 37, 52, 57, 61	decmul10add 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · ;64) = (;;120 + 8)
63	51, 62	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (;;120 + 8))
64	63	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;120 + 8) + 1))
65		1nn0 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
66	65, 52	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
67		8nn0 12186	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ0
68		8p1e9 12053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
69		0nn0 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℕ0
70		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;120 = ;;120
71		8cn 12000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℂ
72	71	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 8) = 8
73	66, 69, 67, 70, 72	decaddi 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;120 + 8) = ;;128
74	66, 67, 68, 73	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;120 + 8) + 1) = ;;129
75	64, 74	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
77	50, 76	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ;;129)
78	77	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = ;;129))
79		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
80		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (3 · ;64))
81		3nn0 12181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℕ0
82		6t3e18 12471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = ;18
83		3cn 11984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℂ
84	53, 83	mulcomi 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = (3 · 6)
85	82, 84	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = (3 · 6)
86		4t3e12 12464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = ;12
87	58, 83	mulcomi 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = (3 · 4)
88	86, 87	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (3 · 4)
89	36, 37, 81, 85, 88	decmul10add 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · ;64) = (;;180 + ;12)
90	80, 89	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (;;180 + ;12))
91	90	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;180 + ;12) + 1))
92		9nn0 12187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ0
93	65, 92	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
94		2p1e3 12045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
95	65, 67	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
96		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;180 = ;;180
97		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;12 = ;12
98		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = ;18
99	65, 67, 68, 98	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;18 + 1) = ;19
100	54	addid2i 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 2) = 2
101	95, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100	decadd 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;180 + ;12) = ;;192
102	93, 52, 94, 101	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;180 + ;12) + 1) = ;;193
103	91, 102	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
104	103	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
105	79, 104	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ;;193)
106	105	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = ;;193))
107	49, 78, 106	3orim123d 1442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
109	108	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
110		fmtno4sqrt 44911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = ;;256
111	110	breq2i 5078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃 ≤ ;;256)
112		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
113	112	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
114		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115		6t4e24 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (6 · 4) = ;24
116	53, 58, 115	mulcomli 10915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 6) = ;24
117	52, 37, 43, 116	decsuc 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 · 6) + 1) = ;25
118		4t4e16 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 4) = ;16
119	37, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118	decmul2c 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · ;64) = ;;256
120		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
121	38	nn0rei 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;64 ∈ ℝ
122	36, 12	decnncl 12386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ;64 ∈ ℕ
123	122	nngt0i 11942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < ;64
124	121, 123	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64))
126		lemul1 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
127	4, 120, 125, 126	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
128	127	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64))
129	119, 128	eqbrtrrid 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 ≤ (𝑘 · ;64))
130		5nn0 12183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ ℕ0
131	52, 130	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
132	131, 36	deccl 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
133	132	nn0zi 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;;256 ∈ ℤ
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
135	38	nn0zi 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;64 ∈ ℤ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ;64 ∈ ℤ)
137	134, 136	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
139		zleltp1 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((;;256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
140	133, 138, 139	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
141	129, 140	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
142	141	3adant1 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
143	114, 142	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
144	132	nn0rei 12174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 ∈ ℝ)
146		eluzelre 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;64 ∈ ℝ)
148	146, 147	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑘 · ;64) ∈ ℝ)
149		peano2re 11078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 · ;64) ∈ ℝ → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
151	145, 150	ltnled 11052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
152	143, 151	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)
153	152	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
155	113, 154	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
156	111, 155	syl5bi 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
157	156	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
158	109, 157	jaoi 853	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
159	158	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
160	33, 159	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
161	160	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
162	26, 161	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
163	162	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
164	163	rexlimdv 3211	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
165	10, 164	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
166	165	3impia 1115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∨ w3o 1084   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881  {ctp 4562   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  8c8 11964  9c9 11965  ℤcz 12249  ;cdc 12366  ℤ_≥cuz 12511  ..^cfzo 13311  ⌊cfl 13438  ↑cexp 13710  √csqrt 14872   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304  FermatNocfmtno 44867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-odz 16394  df-phi 16395  df-pc 16466  df-lgs 26348  df-fmtno 44868

This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  44913