fmtno4prmfac - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fmtno4prmfac 46240

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
fmtno4prmfac	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12594	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		4z 12596	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2re 12286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12296	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12387	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11337	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
7		eluz2 12828	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1342	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘2)
9		fmtnoprmfac2 46235	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
10	8, 9	mp3an1 1449	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11		elnnuz 12866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1))
12		4nn 12295	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		nnuz 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘1)
15		fzouzsplit 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘1) → (ℤ_≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ_≥‘4)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ_≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ_≥‘4))
17	16	eleq2i 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ_≥‘4)))
18		elun 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ_≥‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)))
19		fzo1to4tp 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	19	eleq2i 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21		vex 3479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑘 ∈ V
22	21	eltp 4693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
23	20, 22	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
24	23	orbi1i 913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)))
25	18, 24	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ_≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)))
26	11, 17, 25	3bitri 297	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)))
27		4p2e6 12365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 2) = 6
28	27	oveq2i 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29		2exp6 17020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑6) = ;64
30	28, 29	eqtri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑(4 + 2)) = ;64
31	30	oveq2i 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · ;64)
32	31	oveq1i 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · ;64) + 1)
33	32	eqeq2i 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
34		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
35		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = (1 · ;64))
36		6nn0 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℕ₀
37		4nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ₀
38	36, 37	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;64 ∈ ℕ₀
39	38	nn0cni 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;64 ∈ ℂ
40	39	mullidi 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · ;64) = ;64
41	35, 40	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = ;64)
42	41	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = (;64 + 1))
43		4p1e5 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
44		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;64 = ;64
45	36, 37, 43, 44	decsuc 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (;64 + 1) = ;65
46	42, 45	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
47	46	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
48	34, 47	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ;65)
49	48	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = ;65))
50		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
51		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (2 · ;64))
52		2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
53		6cn 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℂ
54		2cn 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
55		6t2e12 12781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (6 · 2) = ;12
56	53, 54, 55	mulcomli 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 6) = ;12
57	56	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (2 · 6)
58		4cn 12297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℂ
59		4t2e8 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 2) = 8
60	58, 54, 59	mulcomli 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 4) = 8
61	60	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (2 · 4)
62	36, 37, 52, 57, 61	decmul10add 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · ;64) = (;;120 + 8)
63	51, 62	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (;;120 + 8))
64	63	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;120 + 8) + 1))
65		1nn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
66	65, 52	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;12 ∈ ℕ₀
67		8nn0 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ₀
68		8p1e9 12362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
69		0nn0 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
70		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;120 = ;;120
71		8cn 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℂ
72	71	addlidi 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 8) = 8
73	66, 69, 67, 70, 72	decaddi 12737	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;120 + 8) = ;;128
74	66, 67, 68, 73	decsuc 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;120 + 8) + 1) = ;;129
75	64, 74	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
76	75	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
77	50, 76	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ;;129)
78	77	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = ;;129))
79		simpl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
80		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (3 · ;64))
81		3nn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
82		6t3e18 12782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = ;18
83		3cn 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℂ
84	53, 83	mulcomi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = (3 · 6)
85	82, 84	eqtr3i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = (3 · 6)
86		4t3e12 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = ;12
87	58, 83	mulcomi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = (3 · 4)
88	86, 87	eqtr3i 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (3 · 4)
89	36, 37, 81, 85, 88	decmul10add 12746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · ;64) = (;;180 + ;12)
90	80, 89	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (;;180 + ;12))
91	90	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;180 + ;12) + 1))
92		9nn0 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ₀
93	65, 92	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;19 ∈ ℕ₀
94		2p1e3 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
95	65, 67	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;18 ∈ ℕ₀
96		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;180 = ;;180
97		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;12 = ;12
98		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = ;18
99	65, 67, 68, 98	decsuc 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;18 + 1) = ;19
100	54	addlidi 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 2) = 2
101	95, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100	decadd 12731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;180 + ;12) = ;;192
102	93, 52, 94, 101	decsuc 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;180 + ;12) + 1) = ;;193
103	91, 102	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
104	103	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
105	79, 104	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ;;193)
106	105	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = ;;193))
107	49, 78, 106	3orim123d 1445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
109	108	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
110		fmtno4sqrt 46239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = ;;256
111	110	breq2i 5157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃 ≤ ;;256)
112		breq1 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
113	112	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
114		eluz2 12828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115		6t4e24 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (6 · 4) = ;24
116	53, 58, 115	mulcomli 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 6) = ;24
117	52, 37, 43, 116	decsuc 12708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 · 6) + 1) = ;25
118		4t4e16 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 4) = ;16
119	37, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118	decmul2c 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · ;64) = ;;256
120		zre 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
121	38	nn0rei 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;64 ∈ ℝ
122	36, 12	decnncl 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ;64 ∈ ℕ
123	122	nngt0i 12251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < ;64
124	121, 123	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64))
126		lemul1 12066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
127	4, 120, 125, 126	mp3an2i 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
128	127	biimpa 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64))
129	119, 128	eqbrtrrid 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 ≤ (𝑘 · ;64))
130		5nn0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ ℕ₀
131	52, 130	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;25 ∈ ℕ₀
132	131, 36	deccl 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;;256 ∈ ℕ₀
133	132	nn0zi 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;;256 ∈ ℤ
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
135	38	nn0zi 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;64 ∈ ℤ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ;64 ∈ ℤ)
137	134, 136	zmulcld 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
138	137	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
139		zleltp1 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((;;256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
140	133, 138, 139	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
141	129, 140	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
142	141	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
143	114, 142	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
144	132	nn0rei 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → ;;256 ∈ ℝ)
146		eluzelre 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → ;64 ∈ ℝ)
148	146, 147	remulcld 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → (𝑘 · ;64) ∈ ℝ)
149		peano2re 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 · ;64) ∈ ℝ → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
151	145, 150	ltnled 11361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → (;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
152	143, 151	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)
153	152	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
154	153	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
155	113, 154	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
156	111, 155	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
157	156	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
158	109, 157	jaoi 856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
159	158	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
160	33, 159	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
161	160	ex 414	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
162	26, 161	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
163	162	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
164	163	rexlimdv 3154	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
165	10, 164	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
166	165	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∨ wo 846 ∨ w3o 1087 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ∃wrex 3071 ∪ cun 3947 {ctp 4633 class class class wbr 5149 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 < clt 11248 ≤ cle 11249 ℕcn 12212 2c2 12267 3c3 12268 4c4 12269 5c5 12270 6c6 12271 8c8 12273 9c9 12274 ℤcz 12558 cdc 12677 ℤ_≥cuz 12822 ..^cfzo 13627 ⌊cfl 13755 ↑cexp 14027 √csqrt 15180 ∥ cdvds 16197 ℙcprime 16608 FermatNocfmtno 46195

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-oadd 8470 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-dju 9896 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-xnn0 12545 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-ioo 13328 df-ico 13330 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-mod 13835 df-seq 13967 df-exp 14028 df-fac 14234 df-hash 14291 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-clim 15432 df-prod 15850 df-dvds 16198 df-gcd 16436 df-prm 16609 df-odz 16698 df-phi 16699 df-pc 16770 df-lgs 26798 df-fmtno 46196

This theorem is referenced by: fmtno4prmfac193 46241

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