| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 2z 12649 |
. . . . 5
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 2 | | 4z 12651 |
. . . . 5
⊢ 4 ∈
ℤ |
| 3 | | 2re 12340 |
. . . . . 6
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 4 | | 4re 12350 |
. . . . . 6
⊢ 4 ∈
ℝ |
| 5 | | 2lt4 12441 |
. . . . . 6
⊢ 2 <
4 |
| 6 | 3, 4, 5 | ltleii 11384 |
. . . . 5
⊢ 2 ≤
4 |
| 7 | | eluz2 12884 |
. . . . 5
⊢ (4 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈
ℤ ∧ 2 ≤ 4)) |
| 8 | 1, 2, 6, 7 | mpbir3an 1342 |
. . . 4
⊢ 4 ∈
(ℤ≥‘2) |
| 9 | | fmtnoprmfac2 47554 |
. . . 4
⊢ ((4
∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) →
∃𝑘 ∈ ℕ
𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) +
1)) |
| 10 | 8, 9 | mp3an1 1450 |
. . 3
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))
→ ∃𝑘 ∈
ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) +
1)) |
| 11 | | elnnuz 12922 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘1)) |
| 12 | | 4nn 12349 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 4 ∈
ℕ |
| 13 | | nnuz 12921 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 14 | 12, 13 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . 9
⊢ 4 ∈
(ℤ≥‘1) |
| 15 | | fzouzsplit 13734 |
. . . . . . . . 9
⊢ (4 ∈
(ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) =
((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4))) |
| 16 | 14, 15 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
(ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪
(ℤ≥‘4)) |
| 17 | 16 | eleq2i 2833 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪
(ℤ≥‘4))) |
| 18 | | elun 4153 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪
(ℤ≥‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘4))) |
| 19 | | fzo1to4tp 13793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (1..^4) =
{1, 2, 3} |
| 20 | 19 | eleq2i 2833 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2,
3}) |
| 21 | | vex 3484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑘 ∈ V |
| 22 | 21 | eltp 4689 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3)) |
| 23 | 20, 22 | bitri 275 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3)) |
| 24 | 23 | orbi1i 914 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘4))) |
| 25 | 18, 24 | bitri 275 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪
(ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘4))) |
| 26 | 11, 17, 25 | 3bitri 297 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈
(ℤ≥‘4))) |
| 27 | | 4p2e6 12419 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (4 + 2) =
6 |
| 28 | 27 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(2↑(4 + 2)) = (2↑6) |
| 29 | | 2exp6 17124 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(2↑6) = ;64 |
| 30 | 28, 29 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(2↑(4 + 2)) = ;64 |
| 31 | 30 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 · (2↑(4 + 2))) =
(𝑘 · ;64) |
| 32 | 31 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1)
= ((𝑘 · ;64) + 1) |
| 33 | 32 | eqeq2i 2750 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 34 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 35 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = (1 · ;64)) |
| 36 | | 6nn0 12547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 6 ∈
ℕ0 |
| 37 | | 4nn0 12545 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 4 ∈
ℕ0 |
| 38 | 36, 37 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ;64 ∈
ℕ0 |
| 39 | 38 | nn0cni 12538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;64 ∈ ℂ |
| 40 | 39 | mullidi 11266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (1
· ;64) = ;64 |
| 41 | 35, 40 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = ;64) |
| 42 | 41 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = (;64 + 1)) |
| 43 | | 4p1e5 12412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (4 + 1) =
5 |
| 44 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ;64 = ;64 |
| 45 | 36, 37, 43, 44 | decsuc 12764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (;64 + 1) = ;65 |
| 46 | 42, 45 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65) |
| 47 | 46 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65) |
| 48 | 34, 47 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ;65) |
| 49 | 48 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = ;65)) |
| 50 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 51 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (2 · ;64)) |
| 52 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 53 | | 6cn 12357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 6 ∈
ℂ |
| 54 | | 2cn 12341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 55 | | 6t2e12 12837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (6
· 2) = ;12 |
| 56 | 53, 54, 55 | mulcomli 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2
· 6) = ;12 |
| 57 | 56 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;12 = (2 · 6) |
| 58 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 59 | | 4t2e8 12434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (4
· 2) = 8 |
| 60 | 58, 54, 59 | mulcomli 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2
· 4) = 8 |
| 61 | 60 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 8 = (2
· 4) |
| 62 | 36, 37, 52, 57, 61 | decmul10add 12802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (2
· ;64) = (;;120 + 8) |
| 63 | 51, 62 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (;;120 +
8)) |
| 64 | 63 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;120 +
8) + 1)) |
| 65 | | 1nn0 12542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 1 ∈
ℕ0 |
| 66 | 65, 52 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ;12 ∈
ℕ0 |
| 67 | | 8nn0 12549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 8 ∈
ℕ0 |
| 68 | | 8p1e9 12416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (8 + 1) =
9 |
| 69 | | 0nn0 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
| 70 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ;;120 = ;;120 |
| 71 | | 8cn 12363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 8 ∈
ℂ |
| 72 | 71 | addlidi 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 + 8) =
8 |
| 73 | 66, 69, 67, 70, 72 | decaddi 12793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (;;120 + 8) = ;;128 |
| 74 | 66, 67, 68, 73 | decsuc 12764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((;;120 + 8) + 1) = ;;129 |
| 75 | 64, 74 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129) |
| 76 | 75 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129) |
| 77 | 50, 76 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ;;129) |
| 78 | 77 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = ;;129)) |
| 79 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 80 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (3 · ;64)) |
| 81 | | 3nn0 12544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 3 ∈
ℕ0 |
| 82 | | 6t3e18 12838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (6
· 3) = ;18 |
| 83 | | 3cn 12347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 3 ∈
ℂ |
| 84 | 53, 83 | mulcomi 11269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (6
· 3) = (3 · 6) |
| 85 | 82, 84 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;18 = (3 · 6) |
| 86 | | 4t3e12 12831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (4
· 3) = ;12 |
| 87 | 58, 83 | mulcomi 11269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (4
· 3) = (3 · 4) |
| 88 | 86, 87 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;12 = (3 · 4) |
| 89 | 36, 37, 81, 85, 88 | decmul10add 12802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (3
· ;64) = (;;180 + ;12) |
| 90 | 80, 89 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (;;180 +
;12)) |
| 91 | 90 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;180 +
;12) + 1)) |
| 92 | | 9nn0 12550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 9 ∈
ℕ0 |
| 93 | 65, 92 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ;19 ∈
ℕ0 |
| 94 | | 2p1e3 12408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (2 + 1) =
3 |
| 95 | 65, 67 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ;18 ∈
ℕ0 |
| 96 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ;;180 = ;;180 |
| 97 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ;12 = ;12 |
| 98 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;18 = ;18 |
| 99 | 65, 67, 68, 98 | decsuc 12764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (;18 + 1) = ;19 |
| 100 | 54 | addlidi 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 + 2) =
2 |
| 101 | 95, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100 | decadd 12787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (;;180 + ;12) = ;;192 |
| 102 | 93, 52, 94, 101 | decsuc 12764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((;;180 + ;12) + 1) = ;;193 |
| 103 | 91, 102 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193) |
| 104 | 103 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193) |
| 105 | 79, 104 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ;;193) |
| 106 | 105 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = ;;193)) |
| 107 | 49, 78, 106 | 3orim123d 1446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 109 | 108 | com13 88 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 110 | | fmtno4sqrt 47558 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = ;;256 |
| 111 | 110 | breq2i 5151 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃 ≤ ;;256) |
| 112 | | breq1 5146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ ;;256
↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)) |
| 113 | 112 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256
↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)) |
| 114 | | eluz2 12884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘)) |
| 115 | | 6t4e24 12839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (6
· 4) = ;24 |
| 116 | 53, 58, 115 | mulcomli 11270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (4
· 6) = ;24 |
| 117 | 52, 37, 43, 116 | decsuc 12764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((4
· 6) + 1) = ;25 |
| 118 | | 4t4e16 12832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (4
· 4) = ;16 |
| 119 | 37, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118 | decmul2c 12799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (4
· ;64) = ;;256 |
| 120 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℝ) |
| 121 | 38 | nn0rei 12537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ;64 ∈ ℝ |
| 122 | 36, 12 | decnncl 12753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ;64 ∈ ℕ |
| 123 | 122 | nngt0i 12305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 0 <
;64 |
| 124 | 121, 123 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64) |
| 125 | 124 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)) |
| 126 | | lemul1 12119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((4
∈ ℝ ∧ 𝑘
∈ ℝ ∧ (;64 ∈
ℝ ∧ 0 < ;64)) →
(4 ≤ 𝑘 ↔ (4
· ;64) ≤ (𝑘 · ;64))) |
| 127 | 4, 120, 125, 126 | mp3an2i 1468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤
𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64))) |
| 128 | 127 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘) → (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)) |
| 129 | 119, 128 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘) → ;;256 ≤ (𝑘 · ;64)) |
| 130 | | 5nn0 12546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 5 ∈
ℕ0 |
| 131 | 52, 130 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ;25 ∈
ℕ0 |
| 132 | 131, 36 | deccl 12748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ;;256 ∈ ℕ0 |
| 133 | 132 | nn0zi 12642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ;;256 ∈ ℤ |
| 134 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈
ℤ) |
| 135 | 38 | nn0zi 12642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ;64 ∈ ℤ |
| 136 | 135 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ;64 ∈ ℤ) |
| 137 | 134, 136 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) |
| 138 | 137 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘) → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) |
| 139 | | zleltp1 12668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((;;256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) → (;;256
≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256
< ((𝑘 · ;64) + 1))) |
| 140 | 133, 138,
139 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256
< ((𝑘 · ;64) + 1))) |
| 141 | 129, 140 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤
𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 142 | 141 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((4
∈ ℤ ∧ 𝑘
∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256
< ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 143 | 114, 142 | sylbi 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → ;;256
< ((𝑘 · ;64) + 1)) |
| 144 | 132 | nn0rei 12537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ;;256 ∈ ℝ |
| 145 | 144 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → ;;256
∈ ℝ) |
| 146 | | eluzelre 12889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → 𝑘 ∈ ℝ) |
| 147 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → ;64 ∈ ℝ) |
| 148 | 146, 147 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → (𝑘 · ;64) ∈ ℝ) |
| 149 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 · ;64) ∈ ℝ → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ) |
| 150 | 148, 149 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ) |
| 151 | 145, 150 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → (;;256
< ((𝑘 · ;64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)) |
| 152 | 143, 151 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256) |
| 153 | 152 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256
→ (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 154 | 153 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256
→ (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 155 | 113, 154 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256
→ (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 156 | 111, 155 | biimtrid 242 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 157 | 156 | ex 412 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈
(ℤ≥‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 158 | 109, 157 | jaoi 858 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
→ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 159 | 158 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
∧ (𝑃 ∈ ℙ
∧ 𝑃 ∥
(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 160 | 33, 159 | biimtrid 242 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
∧ (𝑃 ∈ ℙ
∧ 𝑃 ∥
(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) →
(𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 161 | 160 | ex 412 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4))
→ ((𝑃 ∈ ℙ
∧ 𝑃 ∥
(FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) →
(𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))))) |
| 162 | 26, 161 | sylbi 217 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))
→ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1)
→ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))))) |
| 163 | 162 | com12 32 |
. . . 4
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))
→ (𝑘 ∈ ℕ
→ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1)
→ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))))) |
| 164 | 163 | rexlimdv 3153 |
. . 3
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))
→ (∃𝑘 ∈
ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1)
→ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)))) |
| 165 | 10, 164 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))
→ (𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193))) |
| 166 | 165 | 3impia 1118 |
1
⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)
∧ 𝑃 ≤
(⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129
∨ 𝑃 = ;;193)) |