Theorem fmtno4prmfac 48483

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12654	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		4z 12656	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2re 12343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12353	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12446	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11361	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
7		eluz2 12897	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1360	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
9		fmtnoprmfac2 48478	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
10	8, 9	mp3an1 1477	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11		elnnuz 12931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
12		4nn 12352	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		nnuz 12930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzouzsplit 13754	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
17	16	eleq2i 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
18		elun 4103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
19		fzo1to4tp 13814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	19	eleq2i 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑘 ∈ V
22	21	eltp 4653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
23	20, 22	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
24	23	orbi1i 927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
25	18, 24	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
26	11, 17, 25	3bitri 300	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
27		4p2e6 12421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 2) = 6
28	27	oveq2i 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29		2exp6 17184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑6) = ;64
30	28, 29	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑(4 + 2)) = ;64
31	30	oveq2i 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · ;64)
32	31	oveq1i 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · ;64) + 1)
33	32	eqeq2i 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
34		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
35		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = (1 · ;64))
36		6nn0 12553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℕ0
37		4nn0 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38	36, 37	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
39	38	nn0cni 12544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;64 ∈ ℂ
40	39	mullidi 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · ;64) = ;64
41	35, 40	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = ;64)
42	41	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = (;64 + 1))
43		4p1e5 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
44		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;64 = ;64
45	36, 37, 43, 44	decsuc 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (;64 + 1) = ;65
46	42, 45	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
48	34, 47	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ;65)
49	48	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = ;65))
50		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
51		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (2 · ;64))
52		2nn0 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ0
53		6cn 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℂ
54		2cn 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
55		6t2e12 12849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (6 · 2) = ;12
56	53, 54, 55	mulcomli 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 6) = ;12
57	56	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (2 · 6)
58		2t4e8 12438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 4) = 8
59	58	eqcomi 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (2 · 4)
60	36, 37, 52, 57, 59	decmul10add 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · ;64) = (;;120 + 8)
61	51, 60	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (;;120 + 8))
62	61	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;120 + 8) + 1))
63		1nn0 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
64	63, 52	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
65		8nn0 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ0
66		8p1e9 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
67		0nn0 12547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℕ0
68		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;120 = ;;120
69		8cn 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℂ
70	69	addlidi 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 8) = 8
71	64, 67, 65, 68, 70	decaddi 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;120 + 8) = ;;128
72	64, 65, 66, 71	decsuc 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;120 + 8) + 1) = ;;129
73	62, 72	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
74	73	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
75	50, 74	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ;;129)
76	75	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = ;;129))
77		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
78		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (3 · ;64))
79		3nn0 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℕ0
80		6t3e18 12850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = ;18
81		3cn 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℂ
82	53, 81	mulcomi 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = (3 · 6)
83	80, 82	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = (3 · 6)
84		4t3e12 12843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = ;12
85		4cn 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℂ
86	85, 81	mulcomi 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = (3 · 4)
87	84, 86	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (3 · 4)
88	36, 37, 79, 83, 87	decmul10add 12814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · ;64) = (;;180 + ;12)
89	78, 88	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (;;180 + ;12))
90	89	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;180 + ;12) + 1))
91		9nn0 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ0
92	63, 91	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
93		2p1e3 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
94	63, 65	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
95		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;180 = ;;180
96		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;12 = ;12
97		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = ;18
98	63, 65, 66, 97	decsuc 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;18 + 1) = ;19
99	54	addlidi 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 2) = 2
100	94, 67, 63, 52, 95, 96, 98, 99	decadd 12799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;180 + ;12) = ;;192
101	92, 52, 93, 100	decsuc 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;180 + ;12) + 1) = ;;193
102	90, 101	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
103	102	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
104	77, 103	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ;;193)
105	104	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = ;;193))
106	49, 76, 105	3orim123d 1472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
108	107	com13 89	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
109		fmtno4sqrt 48482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = ;;256
110	109	breq2i 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃 ≤ ;;256)
111		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
112	111	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
113		eluz2 12897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
114		6t4e24 12851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (6 · 4) = ;24
115	53, 85, 114	mulcomli 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 6) = ;24
116	52, 37, 43, 115	decsuc 12776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 · 6) + 1) = ;25
117		4t4e16 12844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 4) = ;16
118	37, 36, 37, 44, 36, 63, 116, 117	decmul2c 12811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · ;64) = ;;256
119		zre 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
120	38	nn0rei 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;64 ∈ ℝ
121	36, 12	decnncl 12764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ;64 ∈ ℕ
122	121	nngt0i 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < ;64
123	120, 122	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64))
125		lemul1 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
126	4, 119, 124, 125	mp3an2i 1495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
127	126	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64))
128	118, 127	eqbrtrrid 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 ≤ (𝑘 · ;64))
129		5nn0 12552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ ℕ0
130	52, 129	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
131	130, 36	deccl 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
132	131	nn0zi 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;;256 ∈ ℤ
133		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
134	38	nn0zi 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;64 ∈ ℤ
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ;64 ∈ ℤ)
136	133, 135	zmulcld 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
137	136	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
138		zleltp1 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((;;256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
139	132, 137, 138	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
140	128, 139	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
141	140	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
142	113, 141	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
143	131	nn0rei 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
144	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 ∈ ℝ)
145		eluzelre 12902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;64 ∈ ℝ)
147	145, 146	remulcld 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑘 · ;64) ∈ ℝ)
148		peano2re 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 · ;64) ∈ ℝ → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
149	147, 148	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
150	144, 149	ltnled 11385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
151	142, 150	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)
152	151	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
153	152	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
154	112, 153	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
155	110, 154	biimtrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
156	155	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
157	108, 156	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
158	157	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
159	33, 158	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
160	159	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
161	26, 160	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
162	161	com12 33	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
163	162	rexlimdv 3163	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
164	10, 163	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
165	164	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∪ cun 3900  {ctp 4591   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  8c8 12329  9c9 12330  ℤcz 12619  ;cdc 12740  ℤ_≥cuz 12891  ..^cfzo 13713  ⌊cfl 13855  ↑cexp 14129  √csqrt 15324   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  FermatNocfmtno 48438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997  df-dvds 16349  df-gcd 16591  df-prm 16768  df-odz 16862  df-phi 16863  df-pc 16935  df-lgs 27539  df-fmtno 48439

This theorem is used by:  fmtno4prmfac193  48484