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Theorem fmtno4prmfac 43714
 Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12006 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 4z 12008 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2re 11703 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 11713 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 11804 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 10755 . . . . 5 2 ≤ 4
7 eluz2 12241 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1335 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
9 fmtnoprmfac2 43709 . . . 4 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1441 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 12274 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
12 4nn 11712 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
13 nnuz 12273 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2909 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘1)
15 fzouzsplit 13064 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4))
1716eleq2i 2902 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
18 elun 4123 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
19 fzo1to4tp 13117 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2902 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3496 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
2221eltp 4618 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2320, 22bitri 277 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2423orbi1i 909 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2518, 24bitri 277 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2611, 17, 253bitri 299 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
27 4p2e6 11782 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 7159 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 16414 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2842 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 7159 . . . . . . . . . 10 (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · 64)
3231oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · 64) + 1)
3332eqeq2i 2832 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
34 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
35 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = (1 · 64))
36 6nn0 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℕ0
37 4nn0 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ0
3836, 37deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ ℕ0
3938nn0cni 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ ℂ
4039mulid2i 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 64) = 64
4135, 40syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = 64)
4241oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4746adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = 65)
4948ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = 65))
50 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
51 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (2 · 64))
52 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ0
53 6cn 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℂ
54 2cn 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
55 6t2e12 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 · 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 6) = 12
5756eqcomi 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 · 6)
58 4cn 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℂ
59 4t2e8 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 4) = 8
6160eqcomi 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 · 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 64) = (120 + 8)
6351, 62syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
6665, 52deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ ℕ0
67 8nn0 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ0
68 8p1e9 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℕ0
70 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ ℂ
7271addid2i 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7675adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = 129)
7877ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = 129))
79 simpl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
80 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (3 · 64))
81 3nn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℕ0
82 6t3e18 12195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = 18
83 3cn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℂ
8453, 83mulcomi 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = (3 · 6)
8582, 84eqtr3i 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 · 6)
86 4t3e12 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = 12
8758, 83mulcomi 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = (3 · 4)
8886, 87eqtr3i 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 · 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 64) = (180 + 12)
9080, 89syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ0
9365, 92deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ ℕ0
94 2p1e3 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ ℕ0
96 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addid2i 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102syl6eq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
104103adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2854 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = 193)
106105ex 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 43713 . . . . . . . . . . . . 13 (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = 256
111110breq2i 5065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃256)
112 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
113112adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
114 eluz2 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115 6t4e24 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 · 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 12121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 · 6) + 1) = 25
118 4t4e16 12189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 64) = 256
120 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12138nn0rei 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 12110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ ℕ
123122nngt0i 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
128127biimpa 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64))
129119, 128eqbrtrrid 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 ≤ (𝑘 · 64))
130 5nn0 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ ℕ0
13152, 130deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ ℕ0
132131, 36deccl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ ℕ0
133132nn0zi 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ ℤ
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
13538nn0zi 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ ℤ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 64 ∈ ℤ)
137134, 136zmulcld 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
138137adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
139 zleltp1 12025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 64) ∈ ℤ) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
141129, 140mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
1421413adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
143114, 142sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
144132nn0rei 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑘 · 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 10805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 64) ∈ ℝ → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 10779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (256 < ((𝑘 · 64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
152143, 151mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256)
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155syl5bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 415 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 853 . . . . . . . . 9 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 483 . . . . . . . 8 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159syl5bi 244 . . . . . . 7 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 415 . . . . . 6 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 219 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3281 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1111 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∨ w3o 1080   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3137   ∪ cun 3932  {ctp 4563   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11630  2c2 11684  3c3 11685  4c4 11686  5c5 11687  6c6 11688  8c8 11690  9c9 11691  ℤcz 11973  ;cdc 12090  ℤ≥cuz 12235  ..^cfzo 13025  ⌊cfl 13152  ↑cexp 13421  √csqrt 14584   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16007  FermatNocfmtno 43669 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-odz 16094  df-phi 16095  df-pc 16166  df-lgs 25863  df-fmtno 43670 This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  43715
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