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Theorem fmtno4prmfac 45024
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12352 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 4z 12354 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2re 12047 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 12057 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 12148 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 11098 . . . . 5 2 ≤ 4
7 eluz2 12588 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1340 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
9 fmtnoprmfac2 45019 . . . 4 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1447 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 12622 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
12 4nn 12056 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
13 nnuz 12621 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2837 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘1)
15 fzouzsplit 13422 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4))
1716eleq2i 2830 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
18 elun 4083 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
19 fzo1to4tp 13475 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2830 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3436 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
2221eltp 4624 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2320, 22bitri 274 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2423orbi1i 911 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2518, 24bitri 274 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2611, 17, 253bitri 297 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
27 4p2e6 12126 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 7286 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 16788 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2766 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 7286 . . . . . . . . . 10 (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · 64)
3231oveq1i 7285 . . . . . . . . 9 ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · 64) + 1)
3332eqeq2i 2751 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
34 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
35 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = (1 · 64))
36 6nn0 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℕ0
37 4nn0 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ0
3836, 37deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ ℕ0
3938nn0cni 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ ℂ
4039mulid2i 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 64) = 64
4135, 40eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = 64)
4241oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 12119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = 65)
4948ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = 65))
50 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
51 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (2 · 64))
52 2nn0 12250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ0
53 6cn 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℂ
54 2cn 12048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
55 6t2e12 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 · 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 6) = 12
5756eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 · 6)
58 4cn 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℂ
59 4t2e8 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 4) = 8
6160eqcomi 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 · 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 64) = (120 + 8)
6351, 62eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
6665, 52deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ ℕ0
67 8nn0 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ0
68 8p1e9 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℕ0
70 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ ℂ
7271addid2i 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = 129)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = 129))
79 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
80 oveq1 7282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (3 · 64))
81 3nn0 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℕ0
82 6t3e18 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = 18
83 3cn 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℂ
8453, 83mulcomi 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = (3 · 6)
8582, 84eqtr3i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 · 6)
86 4t3e12 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = 12
8758, 83mulcomi 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = (3 · 4)
8886, 87eqtr3i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 · 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 64) = (180 + 12)
9080, 89eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 7290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ0
9365, 92deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ ℕ0
94 2p1e3 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ ℕ0
96 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addid2i 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102eqtrdi 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = 193)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 45023 . . . . . . . . . . . . 13 (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = 256
111110breq2i 5082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃256)
112 breq1 5077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
114 eluz2 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115 6t4e24 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 · 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 · 6) + 1) = 25
118 4t4e16 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 64) = 256
120 zre 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12138nn0rei 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ ℕ
123122nngt0i 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
128127biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64))
129119, 128eqbrtrrid 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 ≤ (𝑘 · 64))
130 5nn0 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ ℕ0
13152, 130deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ ℕ0
132131, 36deccl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ ℕ0
133132nn0zi 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ ℤ
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
13538nn0zi 12345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ ℤ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 64 ∈ ℤ)
137134, 136zmulcld 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
139 zleltp1 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 64) ∈ ℤ) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
141129, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
1421413adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
143114, 142sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
144132nn0rei 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑘 · 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 64) ∈ ℝ → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 11122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (256 < ((𝑘 · 64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
152143, 151mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256)
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155syl5bi 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 854 . . . . . . . . 9 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159syl5bi 241 . . . . . . 7 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 413 . . . . . 6 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 216 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3212 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1116 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wrex 3065  cun 3885  {ctp 4565   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  8c8 12034  9c9 12035  cz 12319  cdc 12437  cuz 12582  ..^cfzo 13382  cfl 13510  cexp 13782  csqrt 14944  cdvds 15963  cprime 16376  FermatNocfmtno 44979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-odz 16466  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443  df-fmtno 44980
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  45025
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