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Theorem fmtno4prmfac 43581
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12003 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 4z 12005 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2re 11700 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 11710 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 11801 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 10752 . . . . 5 2 ≤ 4
7 eluz2 12238 . . . . 5 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1333 . . . 4 4 ∈ (ℤ‘2)
9 fmtnoprmfac2 43576 . . . 4 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1439 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 12271 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
12 4nn 11709 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℕ
13 nnuz 12270 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
1412, 13eleqtri 2911 . . . . . . . . 9 4 ∈ (ℤ‘1)
15 fzouzsplit 13062 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘1) → (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ‘4))
1716eleq2i 2904 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)))
18 elun 4124 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
19 fzo1to4tp 13115 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2904 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3498 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ V
2221eltp 4620 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2320, 22bitri 276 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
2423orbi1i 907 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2518, 24bitri 276 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
2611, 17, 253bitri 298 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)))
27 4p2e6 11779 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 16412 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · 64)
3231oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · 64) + 1)
3332eqeq2i 2834 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
34 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
35 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = (1 · 64))
36 6nn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℕ0
37 4nn0 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℕ0
3836, 37deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ ℕ0
3938nn0cni 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ ℂ
4039mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · 64) = 64
4135, 40syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 64) = 64)
4241oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = 65)
4948ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = 65))
50 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
51 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (2 · 64))
52 2nn0 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ0
53 6cn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ ℂ
54 2cn 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
55 6t2e12 12191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 · 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 6) = 12
5756eqcomi 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 · 6)
58 4cn 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℂ
59 4t2e8 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 4) = 8
6160eqcomi 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 · 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 64) = (120 + 8)
6351, 62syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 · 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℕ0
6665, 52deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ ℕ0
67 8nn0 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ0
68 8p1e9 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℕ0
70 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ ℂ
7271addid2i 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = 129)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = 129))
79 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1))
80 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (3 · 64))
81 3nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ ℕ0
82 6t3e18 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = 18
83 3cn 11707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℂ
8453, 83mulcomi 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 · 3) = (3 · 6)
8582, 84eqtr3i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 · 6)
86 4t3e12 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = 12
8758, 83mulcomi 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 3) = (3 · 4)
8886, 87eqtr3i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 · 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 12156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 · 64) = (180 + 12)
9080, 89syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → (𝑘 · 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ ℕ0
9365, 92deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ ℕ0
94 2p1e3 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ ℕ0
96 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addid2i 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 3 → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = 193)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 43580 . . . . . . . . . . . . 13 (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = 256
111110breq2i 5066 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃256)
112 breq1 5061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 ↔ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
114 eluz2 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115 6t4e24 12193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 · 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 · 6) + 1) = 25
118 4t4e16 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 · 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 · 64) = 256
120 zre 11974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
12138nn0rei 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ ℕ
123122nngt0i 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64)))
128127biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · 64) ≤ (𝑘 · 64))
129119, 128eqbrtrrid 5094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 ≤ (𝑘 · 64))
130 5nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ ℕ0
13152, 130deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ ℕ0
132131, 36deccl 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ ℕ0
133132nn0zi 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ ℤ
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
13538nn0zi 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ ℤ
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ℤ → 64 ∈ ℤ)
137134, 136zmulcld 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · 64) ∈ ℤ)
139 zleltp1 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 64) ∈ ℤ) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (256 ≤ (𝑘 · 64) ↔ 256 < ((𝑘 · 64) + 1)))
141129, 140mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
1421413adant1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
143114, 142sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 < ((𝑘 · 64) + 1))
144132nn0rei 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑘 · 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 64) ∈ ℝ → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑘 · 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (256 < ((𝑘 · 64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256))
152143, 151mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → ¬ ((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256)
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (((𝑘 · 64) + 1) ≤ 256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃256 → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155syl5bi 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 851 . . . . . . . . 9 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · 64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159syl5bi 243 . . . . . . 7 ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 413 . . . . . 6 (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 218 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3283 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1109 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3139  cun 3933  {ctp 4563   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  4c4 11683  5c5 11684  6c6 11685  8c8 11687  9c9 11688  cz 11970  cdc 12087  cuz 12232  ..^cfzo 13023  cfl 13150  cexp 13419  csqrt 14582  cdvds 15597  cprime 16005  FermatNocfmtno 43536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-prod 15250  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25799  df-fmtno 43537
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  43582
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