Theorem fmtno4prmfac 45754

Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtno4prmfac	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12535	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		4z 12537	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2re 12227	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		4re 12237	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
5		2lt4 12328	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
6	3, 4, 5	ltleii 11278	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
7		eluz2 12769	. . . . 5 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
8	1, 2, 6, 7	mpbir3an 1341	. . . 4 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘2)
9		fmtnoprmfac2 45749	. . . 4 ⊢ ((4 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
10	8, 9	mp3an1 1448	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1))
11		elnnuz 12807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
12		4nn 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		nnuz 12806	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
14	12, 13	eleqtri 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘1)
15		fzouzsplit 13607	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) = ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4))
17	16	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ 𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)))
18		elun 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ (𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
19		fzo1to4tp 13660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^4) = {1, 2, 3}
20	19	eleq2i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ 𝑘 ∈ {1, 2, 3})
21		vex 3449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑘 ∈ V
22	21	eltp 4649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {1, 2, 3} ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
23	20, 22	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (1..^4) ↔ (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3))
24	23	orbi1i 912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ (1..^4) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
25	18, 24	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((1..^4) ∪ (ℤ≥‘4)) ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
26	11, 17, 25	3bitri 296	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)))
27		4p2e6 12306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 2) = 6
28	27	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29		2exp6 16959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑6) = ;64
30	28, 29	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑(4 + 2)) = ;64
31	30	oveq2i 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 · (2↑(4 + 2))) = (𝑘 · ;64)
32	31	oveq1i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) = ((𝑘 · ;64) + 1)
33	32	eqeq2i 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
34		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
35		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = (1 · ;64))
36		6nn0 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℕ0
37		4nn0 12432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38	36, 37	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;64 ∈ ℕ0
39	38	nn0cni 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;64 ∈ ℂ
40	39	mulid2i 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · ;64) = ;64
41	35, 40	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · ;64) = ;64)
42	41	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = (;64 + 1))
43		4p1e5 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (4 + 1) = 5
44		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;64 = ;64
45	36, 37, 43, 44	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (;64 + 1) = ;65
46	42, 45	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;65)
48	34, 47	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 1) → 𝑃 = ;65)
49	48	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 1 → 𝑃 = ;65))
50		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
51		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (2 · ;64))
52		2nn0 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ0
53		6cn 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 6 ∈ ℂ
54		2cn 12228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℂ
55		6t2e12 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (6 · 2) = ;12
56	53, 54, 55	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 6) = ;12
57	56	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (2 · 6)
58		4cn 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 4 ∈ ℂ
59		4t2e8 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 2) = 8
60	58, 54, 59	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 · 4) = 8
61	60	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (2 · 4)
62	36, 37, 52, 57, 61	decmul10add 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · ;64) = (;;120 + 8)
63	51, 62	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 2 → (𝑘 · ;64) = (;;120 + 8))
64	63	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;120 + 8) + 1))
65		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℕ0
66	65, 52	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
67		8nn0 12436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ0
68		8p1e9 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 1) = 9
69		0nn0 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℕ0
70		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;120 = ;;120
71		8cn 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 ∈ ℂ
72	71	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 8) = 8
73	66, 69, 67, 70, 72	decaddi 12678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;120 + 8) = ;;128
74	66, 67, 68, 73	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;120 + 8) + 1) = ;;129
75	64, 74	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 2 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;129)
77	50, 76	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 2) → 𝑃 = ;;129)
78	77	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 2 → 𝑃 = ;;129))
79		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1))
80		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (3 · ;64))
81		3nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 3 ∈ ℕ0
82		6t3e18 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = ;18
83		3cn 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 ∈ ℂ
84	53, 83	mulcomi 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (6 · 3) = (3 · 6)
85	82, 84	eqtr3i 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = (3 · 6)
86		4t3e12 12716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = ;12
87	58, 83	mulcomi 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 3) = (3 · 4)
88	86, 87	eqtr3i 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;12 = (3 · 4)
89	36, 37, 81, 85, 88	decmul10add 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 · ;64) = (;;180 + ;12)
90	80, 89	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 3 → (𝑘 · ;64) = (;;180 + ;12))
91	90	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ((;;180 + ;12) + 1))
92		9nn0 12437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 9 ∈ ℕ0
93	65, 92	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
94		2p1e3 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 + 1) = 3
95	65, 67	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
96		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;;180 = ;;180
97		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ;12 = ;12
98		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;18 = ;18
99	65, 67, 68, 98	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (;18 + 1) = ;19
100	54	addid2i 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 2) = 2
101	95, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100	decadd 12672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (;;180 + ;12) = ;;192
102	93, 52, 94, 101	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((;;180 + ;12) + 1) = ;;193
103	91, 102	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 3 → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → ((𝑘 · ;64) + 1) = ;;193)
105	79, 104	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) ∧ 𝑘 = 3) → 𝑃 = ;;193)
106	105	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑘 = 3 → 𝑃 = ;;193))
107	49, 78, 106	3orim123d 1444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
109	108	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
110		fmtno4sqrt 45753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) = ;;256
111	110	breq2i 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) ↔ 𝑃 ≤ ;;256)
112		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
113	112	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 ↔ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
114		eluz2 12769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘))
115		6t4e24 12724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (6 · 4) = ;24
116	53, 58, 115	mulcomli 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 6) = ;24
117	52, 37, 43, 116	decsuc 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((4 · 6) + 1) = ;25
118		4t4e16 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (4 · 4) = ;16
119	37, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118	decmul2c 12684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 · ;64) = ;;256
120		zre 12503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
121	38	nn0rei 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ;64 ∈ ℝ
122	36, 12	decnncl 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ;64 ∈ ℕ
123	122	nngt0i 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 < ;64
124	121, 123	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64))
126		lemul1 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (;64 ∈ ℝ ∧ 0 < ;64)) → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
127	4, 120, 125, 126	mp3an2i 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (4 ≤ 𝑘 ↔ (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64)))
128	127	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (4 · ;64) ≤ (𝑘 · ;64))
129	119, 128	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 ≤ (𝑘 · ;64))
130		5nn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 5 ∈ ℕ0
131	52, 130	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
132	131, 36	deccl 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ;;256 ∈ ℕ0
133	132	nn0zi 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ;;256 ∈ ℤ
134		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℤ)
135	38	nn0zi 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ;64 ∈ ℤ
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → ;64 ∈ ℤ)
137	134, 136	zmulcld 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 · ;64) ∈ ℤ)
139		zleltp1 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((;;256 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · ;64) ∈ ℤ) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
140	133, 138, 139	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (;;256 ≤ (𝑘 · ;64) ↔ ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1)))
141	129, 140	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
142	141	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑘) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
143	114, 142	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1))
144	132	nn0rei 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;;256 ∈ ℝ)
146		eluzelre 12774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑘 ∈ ℝ)
147	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ;64 ∈ ℝ)
148	146, 147	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑘 · ;64) ∈ ℝ)
149		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 · ;64) ∈ ℝ → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑘 · ;64) + 1) ∈ ℝ)
151	145, 150	ltnled 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (;;256 < ((𝑘 · ;64) + 1) ↔ ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256))
152	143, 151	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → ¬ ((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256)
153	152	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (((𝑘 · ;64) + 1) ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
155	113, 154	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ ;;256 → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
156	111, 155	biimtrid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
157	156	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
158	109, 157	jaoi 855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
159	158	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · ;64) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
160	33, 159	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4))) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
161	160	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 2 ∨ 𝑘 = 3) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
162	26, 161	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
163	162	com12 32	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))))
164	163	rexlimdv 3150	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑘 · (2↑(4 + 2))) + 1) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))))
165	10, 164	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4)) → (𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193)))
166	165	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘4) ∧ 𝑃 ≤ (⌊‘(√‘(FermatNo‘4)))) → (𝑃 = ;65 ∨ 𝑃 = ;;129 ∨ 𝑃 = ;;193))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ∪ cun 3908  {ctp 4590   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  8c8 12214  9c9 12215  ℤcz 12499  ;cdc 12618  ℤ_≥cuz 12763  ..^cfzo 13567  ⌊cfl 13695  ↑cexp 13967  √csqrt 15118   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547  FermatNocfmtno 45709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-odz 16637  df-phi 16638  df-pc 16709  df-lgs 26643  df-fmtno 45710

This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  45755