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Theorem fmtno4prmfac 46325
Description: If P was a (prime) factor of the fourth Fermat number less than the square root of the fourth Fermat number, it would be either 65 or 129 or 193. (Contributed by AV, 28-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtno4prmfac ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))

Proof of Theorem fmtno4prmfac
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 12596 . . . . 5 2 ∈ β„€
2 4z 12598 . . . . 5 4 ∈ β„€
3 2re 12288 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
4 4re 12298 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
5 2lt4 12389 . . . . . 6 2 < 4
63, 4, 5ltleii 11339 . . . . 5 2 ≀ 4
7 eluz2 12830 . . . . 5 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 4))
81, 2, 6, 7mpbir3an 1341 . . . 4 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
9 fmtnoprmfac2 46320 . . . 4 ((4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1))
108, 9mp3an1 1448 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1))
11 elnnuz 12868 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
12 4nn 12297 . . . . . . . . . 10 4 ∈ β„•
13 nnuz 12867 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1412, 13eleqtri 2831 . . . . . . . . 9 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜1)
15 fzouzsplit 13669 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (β„€β‰₯β€˜1) = ((1..^4) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜4)))
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜1) = ((1..^4) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜4))
1716eleq2i 2825 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ↔ π‘˜ ∈ ((1..^4) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜4)))
18 elun 4148 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ((1..^4) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜4)) ↔ (π‘˜ ∈ (1..^4) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)))
19 fzo1to4tp 13722 . . . . . . . . . . 11 (1..^4) = {1, 2, 3}
2019eleq2i 2825 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1..^4) ↔ π‘˜ ∈ {1, 2, 3})
21 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 π‘˜ ∈ V
2221eltp 4692 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {1, 2, 3} ↔ (π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3))
2320, 22bitri 274 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1..^4) ↔ (π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3))
2423orbi1i 912 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ (1..^4) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)) ↔ ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)))
2518, 24bitri 274 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ((1..^4) βˆͺ (β„€β‰₯β€˜4)) ↔ ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)))
2611, 17, 253bitri 296 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• ↔ ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)))
27 4p2e6 12367 . . . . . . . . . . . . 13 (4 + 2) = 6
2827oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (2↑(4 + 2)) = (2↑6)
29 2exp6 17022 . . . . . . . . . . . 12 (2↑6) = 64
3028, 29eqtri 2760 . . . . . . . . . . 11 (2↑(4 + 2)) = 64
3130oveq2i 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) = (π‘˜ Β· 64)
3231oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) = ((π‘˜ Β· 64) + 1)
3332eqeq2i 2745 . . . . . . . 8 (𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) ↔ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1))
34 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 1) β†’ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1))
35 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ Β· 64) = (1 Β· 64))
36 6nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ β„•0
37 4nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ β„•0
3836, 37deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 64 ∈ β„•0
3938nn0cni 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 64 ∈ β„‚
4039mullidi 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 Β· 64) = 64
4135, 40eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ Β· 64) = 64)
4241oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = (64 + 1))
43 4p1e5 12360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 + 1) = 5
44 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 64 = 64
4536, 37, 43, 44decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (64 + 1) = 65
4642, 45eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 1 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 65)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 1) β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 65)
4834, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 1) β†’ 𝑃 = 65)
4948ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (π‘˜ = 1 β†’ 𝑃 = 65))
50 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 2) β†’ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1))
51 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ Β· 64) = (2 Β· 64))
52 2nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•0
53 6cn 12305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 ∈ β„‚
54 2cn 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„‚
55 6t2e12 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (6 Β· 2) = 12
5653, 54, 55mulcomli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 Β· 6) = 12
5756eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (2 Β· 6)
58 4cn 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ β„‚
59 4t2e8 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 Β· 2) = 8
6058, 54, 59mulcomli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 Β· 4) = 8
6160eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (2 Β· 4)
6236, 37, 52, 57, 61decmul10add 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· 64) = (120 + 8)
6351, 62eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ Β· 64) = (120 + 8))
6463oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = ((120 + 8) + 1))
65 1nn0 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„•0
6665, 52deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 12 ∈ β„•0
67 8nn0 12497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ β„•0
68 8p1e9 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (8 + 1) = 9
69 0nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„•0
70 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 120 = 120
71 8cn 12311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 ∈ β„‚
7271addlidi 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 8) = 8
7366, 69, 67, 70, 72decaddi 12739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (120 + 8) = 128
7466, 67, 68, 73decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((120 + 8) + 1) = 129
7564, 74eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 2 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 129)
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 2) β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 129)
7750, 76eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 2) β†’ 𝑃 = 129)
7877ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (π‘˜ = 2 β†’ 𝑃 = 129))
79 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 3) β†’ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1))
80 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘˜ Β· 64) = (3 Β· 64))
81 3nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 ∈ β„•0
82 6t3e18 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 Β· 3) = 18
83 3cn 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„‚
8453, 83mulcomi 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (6 Β· 3) = (3 Β· 6)
8582, 84eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = (3 Β· 6)
86 4t3e12 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 Β· 3) = 12
8758, 83mulcomi 11224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 Β· 3) = (3 Β· 4)
8886, 87eqtr3i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12 = (3 Β· 4)
8936, 37, 81, 85, 88decmul10add 12748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 Β· 64) = (180 + 12)
9080, 89eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘˜ Β· 64) = (180 + 12))
9190oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 3 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = ((180 + 12) + 1))
92 9nn0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 9 ∈ β„•0
9365, 92deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 ∈ β„•0
94 2p1e3 12356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 + 1) = 3
9565, 67deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 18 ∈ β„•0
96 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 180 = 180
97 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12 = 12
98 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 18 = 18
9965, 67, 68, 98decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (18 + 1) = 19
10054addlidi 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 + 2) = 2
10195, 69, 65, 52, 96, 97, 99, 100decadd 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (180 + 12) = 192
10293, 52, 94, 101decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((180 + 12) + 1) = 193
10391, 102eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 3 β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 193)
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 3) β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) = 193)
10579, 104eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∧ π‘˜ = 3) β†’ 𝑃 = 193)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (π‘˜ = 3 β†’ 𝑃 = 193))
10749, 78, 1063orim123d 1444 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
108107a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
109108com13 88 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
110 fmtno4sqrt 46324 . . . . . . . . . . . . 13 (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) = 256
111110breq2i 5156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) ↔ 𝑃 ≀ 256)
112 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (𝑃 ≀ 256 ↔ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256))
113112adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) ∧ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1)) β†’ (𝑃 ≀ 256 ↔ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256))
114 eluz2 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) ↔ (4 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜))
115 6t4e24 12785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (6 Β· 4) = 24
11653, 58, 115mulcomli 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 Β· 6) = 24
11752, 37, 43, 116decsuc 12710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 Β· 6) + 1) = 25
118 4t4e16 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 Β· 4) = 16
11937, 36, 37, 44, 36, 65, 117, 118decmul2c 12745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 Β· 64) = 256
120 zre 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
12138nn0rei 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 64 ∈ ℝ
12236, 12decnncl 12699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 64 ∈ β„•
123122nngt0i 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 64
124121, 123pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64))
126 lemul1 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ ∧ (64 ∈ ℝ ∧ 0 < 64)) β†’ (4 ≀ π‘˜ ↔ (4 Β· 64) ≀ (π‘˜ Β· 64)))
1274, 120, 125, 126mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (4 ≀ π‘˜ ↔ (4 Β· 64) ≀ (π‘˜ Β· 64)))
128127biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ (4 Β· 64) ≀ (π‘˜ Β· 64))
129119, 128eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ 256 ≀ (π‘˜ Β· 64))
130 5nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 ∈ β„•0
13152, 130deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 25 ∈ β„•0
132131, 36deccl 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 256 ∈ β„•0
133132nn0zi 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 256 ∈ β„€
134 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ π‘˜ ∈ β„€)
13538nn0zi 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 64 ∈ β„€
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ 64 ∈ β„€)
137134, 136zmulcld 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ β„€ β†’ (π‘˜ Β· 64) ∈ β„€)
138137adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ (π‘˜ Β· 64) ∈ β„€)
139 zleltp1 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((256 ∈ β„€ ∧ (π‘˜ Β· 64) ∈ β„€) β†’ (256 ≀ (π‘˜ Β· 64) ↔ 256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1)))
140133, 138, 139sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ (256 ≀ (π‘˜ Β· 64) ↔ 256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1)))
141129, 140mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ 256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1))
1421413adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€ ∧ 4 ≀ π‘˜) β†’ 256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1))
143114, 142sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ 256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1))
144132nn0rei 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 256 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ 256 ∈ ℝ)
146 eluzelre 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
147121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ 64 ∈ ℝ)
148146, 147remulcld 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ (π‘˜ Β· 64) ∈ ℝ)
149 peano2re 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ Β· 64) ∈ ℝ β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∈ ℝ)
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ∈ ℝ)
151145, 150ltnled 11363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ (256 < ((π‘˜ Β· 64) + 1) ↔ Β¬ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256))
152143, 151mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ Β¬ ((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256)
153152pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ (((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256 β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
154153adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) ∧ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1)) β†’ (((π‘˜ Β· 64) + 1) ≀ 256 β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
155113, 154sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) ∧ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1)) β†’ (𝑃 ≀ 256 β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
156111, 155biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) ∧ 𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1)) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
157156ex 413 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
158109, 157jaoi 855 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
159158adantr 481 . . . . . . . 8 ((((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· 64) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16033, 159biimtrid 241 . . . . . . 7 ((((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)) ∧ (𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
161160ex 413 . . . . . 6 (((π‘˜ = 1 ∨ π‘˜ = 2 ∨ π‘˜ = 3) ∨ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)) β†’ ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
16226, 161sylbi 216 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
163162com12 32 . . . 4 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))))
164163rexlimdv 3153 . . 3 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• 𝑃 = ((π‘˜ Β· (2↑(4 + 2))) + 1) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))))
16510, 164mpd 15 . 2 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4)) β†’ (𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193)))
1661653impia 1117 1 ((𝑃 ∈ β„™ ∧ 𝑃 βˆ₯ (FermatNoβ€˜4) ∧ 𝑃 ≀ (βŒŠβ€˜(βˆšβ€˜(FermatNoβ€˜4)))) β†’ (𝑃 = 65 ∨ 𝑃 = 129 ∨ 𝑃 = 193))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βˆͺ cun 3946  {ctp 4632   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  8c8 12275  9c9 12276  β„€cz 12560  cdc 12679  β„€β‰₯cuz 12824  ..^cfzo 13629  βŒŠcfl 13757  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15182   βˆ₯ cdvds 16199  β„™cprime 16610  FermatNocfmtno 46280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-odz 16700  df-phi 16701  df-pc 16772  df-lgs 26805  df-fmtno 46281
This theorem is referenced by:  fmtno4prmfac193  46326
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