MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec0u Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dec0u 12118
Description: Add a zero in the units place. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dec0u.1 𝐴 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
dec0u (10 · 𝐴) = 𝐴0

Proof of Theorem dec0u
StepHypRef Expression
1 10nn0 12115 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 dec0u.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
31, 2num0u 12108 . 2 (10 · 𝐴) = ((10 · 𝐴) + 0)
4 dfdec10 12100 . 2 𝐴0 = ((10 · 𝐴) + 0)
53, 4eqtr4i 2850 1 (10 · 𝐴) = 𝐴0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7151  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  0cn0 11896  cdc 12097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-om 7577  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-dec 12098
This theorem is referenced by:  decmul10add  12166  5t5e25  12200  6t6e36  12205  8t6e48  12216  sq10  13631  2503lem1  16472  4001lem1  16476  4001lem3  16478  bclbnd  25873  bposlem8  25884  dfdec100  30567  dpmul100  30594  dpmul1000  30596  dpmul  30610  dpmul4  30611  decpmul  39440  sqdeccom12  39441  41prothprmlem1  44088
  Copyright terms: Public domain W3C validator