Theorem m1expoddALTV 48567

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expoddALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 48550	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12729	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11666	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 7430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = (-1↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		neg1cn 12230	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ∈ ℂ)
9		neg1ne0 12232	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ≠ 0)
11		peano2zm 12664	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	8, 10, 12	expp1zd 14222	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1))
14		oddm1eveni 48561	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ Even )
15		m1expevenALTV 48566	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ Even → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
17	16	oveq1d 7429	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = (1 · -1))
18	8	mullidd 11254	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (1 · -1) = -1)
19	17, 18	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = -1)
20	6, 13, 19	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  -cneg 11469  ℤcz 12618  ↑cexp 14128   Even ceven 48543   Odd codd 48544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14069  df-exp 14129  df-even 48545  df-odd 48546

This theorem is used by: (None)