Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1expoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1expoddALTV 47238
Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 6-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1expoddALTV (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expoddALTV
StepHypRef Expression
1 oddz 47221 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 12721 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3 npcan1 11691 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
43eqcomd 2732 . . . 4 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
52, 4syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
65oveq2d 7442 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = (-1↑((𝑁 − 1) + 1)))
7 neg1cn 12380 . . . 4 -1 ∈ ℂ
87a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → -1 ∈ ℂ)
9 neg1ne0 12382 . . . 4 -1 ≠ 0
109a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → -1 ≠ 0)
11 peano2zm 12659 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
121, 11syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
138, 10, 12expp1zd 14176 . 2 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1))
14 oddm1eveni 47232 . . . . 5 (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ Even )
15 m1expevenALTV 47237 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ Even → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
1716oveq1d 7441 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = (1 · -1))
188mullidd 11284 . . 3 (𝑁 ∈ Odd → (1 · -1) = -1)
1917, 18eqtrd 2766 . 2 (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = -1)
206, 13, 193eqtrd 2770 1 (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  (class class class)co 7426  cc 11158  0cc0 11160  1c1 11161   + caddc 11163   · cmul 11165  cmin 11496  -cneg 11497  cz 12612  cexp 14083   Even ceven 47214   Odd codd 47215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-seq 14024  df-exp 14084  df-even 47216  df-odd 47217
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator