Theorem m1expoddALTV 43806

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expoddALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 43789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12082	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 11059	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 7166	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = (-1↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		neg1cn 11745	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ∈ ℂ)
9		neg1ne0 11747	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ≠ 0)
11		peano2zm 12019	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	8, 10, 12	expp1zd 13513	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1))
14		oddm1eveni 43800	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ Even )
15		m1expevenALTV 43805	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ Even → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
17	16	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = (1 · -1))
18	8	mulid2d 10653	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (1 · -1) = -1)
19	17, 18	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = -1)
20	6, 13, 19	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  -cneg 10865  ℤcz 11975  ↑cexp 13423   Even ceven 43782   Odd codd 43783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13364  df-exp 13424  df-even 43784  df-odd 43785

This theorem is referenced by: (None)