Theorem m1expoddALTV 42384

Description: Exponentiation of -1 by an odd power. (Contributed by AV, 6-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1expoddALTV	⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Proof of Theorem m1expoddALTV

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 42367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 ∈ ℂ)
3		npcan1 10779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
4	3	eqcomd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
6	5	oveq2d 6921	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = (-1↑((𝑁 − 1) + 1)))
7		neg1cn 11472	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ∈ ℂ)
9		neg1ne0 11474	. . . 4 ⊢ -1 ≠ 0
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → -1 ≠ 0)
11		peano2zm 11748	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
13	8, 10, 12	expp1zd 13311	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑((𝑁 − 1) + 1)) = ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1))
14		oddm1eveni 42378	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (𝑁 − 1) ∈ Even )
15		m1expevenALTV 42383	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ Even → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
17	16	oveq1d 6920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = (1 · -1))
18	8	mulid2d 10375	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (1 · -1) = -1)
19	17, 18	eqtrd 2861	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((-1↑(𝑁 − 1)) · -1) = -1)
20	6, 13, 19	3eqtrd 2865	1 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (-1↑𝑁) = -1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   · cmul 10257   − cmin 10585  -cneg 10586  ℤcz 11704  ↑cexp 13154   Even ceven 42360   Odd codd 42361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-seq 13096  df-exp 13155  df-even 42362  df-odd 42363

This theorem is referenced by: (None)