Theorem dfodd3 48303

Description: Alternate definition for odd numbers. (Contributed by AV, 18-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfodd3	⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}

Proof of Theorem dfodd3

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfodd6 48290	. 2 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)}
2		eqcom 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧)
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧))
4	3	rexbidva 3193	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧))
5		odd2np1 16398	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ((2 · 𝑖) + 1) = 𝑧))
6	4, 5	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧))
7	6	rabbiia 3427	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑖) + 1)} = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
8	1, 7	eqtri 2792	1 ⊢ Odd = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {crab 3423   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  2c2 12294  ℤcz 12590   ∥ cdvds 16309   Odd codd 48278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-dvds 16310  df-odd 48280

This theorem is referenced by:  isodd3  48305  tgoldbachgtALTV  48465