Theorem dfur2 18944

Description: The multiplicative identity is the unique element of the ring that is left- and right-neutral on all elements under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfur2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfur2.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
dfur2.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dfur2	⊢ 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑒,𝐵   𝑅,𝑒,𝑥

Allowed substitution hints:   · (𝑥,𝑒)   1 (𝑥,𝑒)

Proof of Theorem dfur2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2		dfur2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 18935	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
4		dfur2.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 4	mgpplusg 18933	. 2 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
6		dfur2.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	1, 6	ringidval 18943	. 2 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
8	3, 5, 7	grpidval 17699	1 ⊢ 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ℩cio 6187  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  ._rcmulr 16395  mulGrpcmgp 18929  1_rcur 18941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-0g 16544  df-mgp 18930  df-ur 18942

This theorem is referenced by:  rngurd  30511  resv1r  30564