Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resv1r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resv1r 31116
Description: 1r is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvbas.1 𝐻 = (𝐺v 𝐴)
resv1r.2 1 = (1r𝐺)
Assertion
Ref Expression
resv1r (𝐴𝑉1 = (1r𝐻))

Proof of Theorem resv1r
Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resvbas.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝐺v 𝐴)
2 eqid 2739 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
31, 2resvbas 31111 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
43eleq2d 2819 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝐻)))
5 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (.r𝐺) = (.r𝐺)
61, 5resvmulr 31114 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (.r𝐺) = (.r𝐻))
76oveqd 7190 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝑒(.r𝐺)𝑥) = (𝑒(.r𝐻)𝑥))
87eqeq1d 2741 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥))
96oveqd 7190 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝑥(.r𝐺)𝑒) = (𝑥(.r𝐻)𝑒))
109eqeq1d 2741 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))
118, 10anbi12d 634 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
123, 11raleqbidv 3305 . . . 4 (𝐴𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
134, 12anbi12d 634 . . 3 (𝐴𝑉 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))))
1413iotabidv 6324 . 2 (𝐴𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥))))
15 resv1r.2 . . 3 1 = (1r𝐺)
162, 5, 15dfur2 19376 . 2 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐺)𝑒) = 𝑥)))
17 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
18 eqid 2739 . . 3 (.r𝐻) = (.r𝐻)
19 eqid 2739 . . 3 (1r𝐻) = (1r𝐻)
2017, 18, 19dfur2 19376 . 2 (1r𝐻) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝐻)𝑒) = 𝑥)))
2114, 16, 203eqtr4g 2799 1 (𝐴𝑉1 = (1r𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cio 6296  cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  .rcmulr 16672  1rcur 19373  v cresv 31103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-sca 16687  df-0g 16821  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-resv 31104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator