Theorem resv1r 33360

Description: 1_r is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvbas.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
resv1r.2	⊢ 1 = (1r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
resv1r	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (1r‘𝐻))

Proof of Theorem resv1r

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	resvbas 33355	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
4	3	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝐻)))
5		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
6	1, 5	resvmulr 33358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐺) = (.r‘𝐻))
7	6	oveqd 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = (𝑒(.r‘𝐻)𝑥))
8	7	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥))
9	6	oveqd 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = (𝑥(.r‘𝐻)𝑒))
10	9	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
12	3, 11	raleqbidv 3329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
13	4, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))))
14	13	iotabidv 6520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))))
15		resv1r.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐺)
16	2, 5, 15	dfur2 20149	. 2 ⊢ 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥)))
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
19		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
20	17, 18, 19	dfur2 20149	. 2 ⊢ (1r‘𝐻) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
21	14, 16, 20	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (1r‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ℩cio 6487  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  1_rcur 20146   ↾_v cresv 33347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-0g 17460  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-resv 33348

This theorem is referenced by: (None)