Theorem resv1r 33348

Description: 1_r is unaffected by scalar restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
resvbas.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
resv1r.2	⊢ 1 = (1r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
resv1r	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (1r‘𝐻))

Proof of Theorem resv1r

Dummy variables 𝑥 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resvbas.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾v 𝐴)
2		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	1, 2	resvbas 33339	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐻))
4	3	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ↔ 𝑒 ∈ (Base‘𝐻)))
5		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
6	1, 5	resvmulr 33345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐺) = (.r‘𝐻))
7	6	oveqd 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = (𝑒(.r‘𝐻)𝑥))
8	7	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥))
9	6	oveqd 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = (𝑥(.r‘𝐻)𝑒))
10	9	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))
11	8, 10	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
12	3, 11	raleqbidv 3344	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
13	4, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))))
14	13	iotabidv 6547	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥))) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥))))
15		resv1r.2	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐺)
16	2, 5, 15	dfur2 20202	. 2 ⊢ 1 = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)((𝑒(.r‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐺)𝑒) = 𝑥)))
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
18		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝐻) = (.r‘𝐻)
19		eqid 2735	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
20	17, 18, 19	dfur2 20202	. 2 ⊢ (1r‘𝐻) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝐻) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐻)((𝑒(.r‘𝐻)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝐻)𝑒) = 𝑥)))
21	14, 16, 20	3eqtr4g 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1 = (1r‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ℩cio 6514  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  1_rcur 20199   ↾_v cresv 33330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-0g 17488  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-resv 33331

This theorem is referenced by: (None)