Theorem dvdsacongtr 43001

Description: Alternating congruence passes from a base to a dividing base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsacongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Proof of Theorem dvdsacongtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3		simp-4l 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∥ 𝐴)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
11	2, 3, 8, 9, 10	dvdstrd 16333	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶))
12	11	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶)))
13	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		simp-4l 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15	4	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
18	15, 17	zsubcld 12729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ)
19		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ 𝐴)
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))
21	13, 14, 18, 19, 20	dvdstrd 16333	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
23	12, 22	orim12d 966	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
24	23	expimpd 453	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
25	24	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432   − cmin 11493  -cneg 11494  ℤcz 12615   ∥ cdvds 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-dvds 16292

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43022