Theorem dvdsacongtr 43739

Description: Alternating congruence passes from a base to a dividing base. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsacongtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

Proof of Theorem dvdsacongtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
3		simp-4l 794	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
6		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
7	6	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
8	5, 7	zsubcld 12709	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℤ)
9		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∥ 𝐴)
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))
11	2, 3, 8, 9, 10	dvdstrd 16357	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶))
12	11	ex 417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶)))
13	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∈ ℤ)
14		simp-4l 794	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
15	4	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
16	6	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
17	16	znegcld 12706	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
18	15, 17	zsubcld 12709	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐵 − -𝐶) ∈ ℤ)
19		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ 𝐴)
20		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))
21	13, 14, 18, 19, 20	dvdstrd 16357	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))
22	21	ex 417	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → (𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶) → 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))
23	12, 22	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∥ 𝐴) → ((𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
24	23	expimpd 458	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶))))
25	24	3impia 1135	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐵 − -𝐶)))) → (𝐷 ∥ (𝐵 − 𝐶) ∨ 𝐷 ∥ (𝐵 − -𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   − cmin 11445  -cneg 11446  ℤcz 12595   ∥ cdvds 16314

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-dvds 16315

This theorem is used by:  jm2.27a  43760