Theorem dvdstrd 16242

Description: The divides relation is transitive, a deduction version of dvdstr 16241. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
dvdstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvdstrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
dvdstrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
dvdstrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
dvdstrd	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Proof of Theorem dvdstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdstrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑀)
2		dvdstrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ 𝑁)
3		dvdstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
4		dvdstrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		dvdstrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		dvdstr 16241	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∥ 𝑀 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℤcz 12562   ∥ cdvds 16201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-dvds 16202

This theorem is referenced by:  dvdsexp2im  16274  bitsmod  16381  dvdsmulgcd  16501  gcddvdslcm  16543  lcmfunsnlem2lem2  16580  mulgcddvds  16596  rpmulgcd2  16597  rpdvds  16601  isprm5  16648  rpexp  16663  prmdvdsncoprmbd  16667  phimullem  16716  pcpremul  16780  pcdvdstr  16813  pockthlem  16842  4sqlem8  16882  ablfac1eu  19984  znunit  21338  fsumdvdsdiaglem  26911  lgsmod  27050  2sqlem3  27147  2sqlem8  27153  lcmineqlem14  41213  aks4d1p9  41259  flt4lem2  41691  dvdsacongtr  42025  jm2.20nn  42038  jm2.27a  42046  jm2.27c  42048