Theorem coprmdvdsb 43443

Description: Multiplication by a coprime number does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem coprmdvdsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp3l 1209	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp2 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		dvdsmultr2 16262	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6		simp3r 1210	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
7		coprmdvds 16617	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))
9	6, 8	mpan2d 701	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
10	5, 9	impbid 214	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  1c1 11035   · cmul 11039  ℤcz 12519   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459

This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  43448