Theorem coprmdvdsb 42968

Description: Multiplication by a coprime number does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coprmdvdsb	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem coprmdvdsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simp3l 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		dvdsmultr2 16245	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 → 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6		simp3r 1203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)
7		coprmdvds 16600	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → ((𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝐾 ∥ 𝑁))
9	6, 8	mpan2d 694	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁) → 𝐾 ∥ 𝑁))
10	5, 9	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1)) → (𝐾 ∥ 𝑁 ↔ 𝐾 ∥ (𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  1c1 11047   · cmul 11051  ℤcz 12507   ∥ cdvds 16199   gcd cgcd 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-fl 13732  df-mod 13810  df-seq 13945  df-exp 14005  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16200  df-gcd 16442

This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  42973