Theorem zsubcld 12729

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12661	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432   − cmin 11493  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is referenced by:  eluzmn  12886  eluzsub  12909  uzsubsubfz  13587  fzm1  13648  eluzgtdifelfzo  13767  ubmelm1fzo  13803  elfznelfzo  13812  intfracq  13900  modsubdir  13982  modsumfzodifsn  13986  zesq  14266  bcval5  14358  ccatsymb  14621  swrdfv2  14700  ccatswrd  14707  cshwidxmod  14842  2cshwcshw  14865  cshwcsh2id  14868  fzomaxdiflem  15382  iseralt  15722  fsum0diaglem  15813  mptfzshft  15815  pwm1geoser  15906  mertenslem1  15921  fprodrev  16014  eirrlem  16241  fzocongeq  16362  3dvds  16369  modremain  16446  bitsfzolem  16472  bitsmod  16474  bitscmp  16476  bitsinv1lem  16479  sadaddlem  16504  bezoutlem3  16579  cncongr1  16705  hashdvds  16813  crth  16816  eulerthlem2  16820  prmdiveq  16824  modprm0  16844  pythagtriplem4  16858  pythagtriplem6  16860  pythagtriplem7  16861  pythagtriplem11  16864  pythagtriplem13  16866  pythagtriplem15  16868  pcqcl  16895  pcaddlem  16927  pcbc  16939  gzmulcl  16977  4sqlem5  16981  4sqlem8  16984  4sqlem11  16994  4sqlem12  16995  4sqlem14  16997  4sqlem16  16999  mndodconglem  19560  sylow1lem1  19617  sylow1lem3  19619  gsummptshft  19955  ablsimpgfindlem1  20128  pzriprnglem10  21502  fermltlchr  21545  znf1o  21571  zdis  24839  plydivex  26340  aaliou3lem8  26388  basellem3  27127  bcmono  27322  bcmax  27323  bposlem1  27329  lgsmod  27368  lgsdirprm  27376  lgsqrlem2  27392  gausslemma2dlem0h  27408  gausslemma2dlem1a  27410  gausslemma2dlem5a  27415  lgseisenlem1  27420  lgseisenlem2  27421  lgsquadlem1  27425  2lgslem2  27440  2sqlem4  27466  2sqlem8  27471  2sqmod  27481  pntrlog2bndlem1  27622  crctcshwlkn0lem3  29833  crctcshwlkn0lem4  29834  crctcshwlkn0lem6  29836  crctcshwlkn0  29842  clwlkclwwlklem2a1  30012  clwlkclwwlklem2fv1  30015  clwlkclwwlklem2a4  30017  clwlkclwwlklem2a  30018  fzspl  32792  fzsplit3  32796  ltesubnnd  32825  pfxlsw2ccat  32936  wrdt2ind  32939  swrdrn3  32941  cshwrnid  32947  chnub  33003  cycpmco2lem6  33152  cycpmco2lem7  33153  archirngz  33197  znfermltl  33395  smatrcl  33796  ballotlemfp1  34495  ballotlemimin  34509  ballotlemic  34510  ballotlem1c  34511  ballotlemfrceq  34532  ballotlemfrcn0  34533  signsplypnf  34566  signslema  34578  reprsuc  34631  breprexplema  34646  breprexplemc  34648  circlemeth  34656  revpfxsfxrev  35122  bcprod  35739  fwddifnp1  36167  fzsplitnd  41984  lcmineqlem4  42034  lcmineqlem23  42053  dvrelogpow2b  42070  aks4d1p3  42080  aks4d1p7  42085  aks4d1p8  42089  aks4d1p9  42090  posbezout  42102  primrootspoweq0  42108  hashscontpow1  42123  aks6d1c2  42132  aks6d1c5lem1  42138  aks6d1c5lem3  42139  aks6d1c5lem2  42140  sticksstones10  42157  sticksstones12a  42159  sticksstones12  42160  aks6d1c6lem3  42174  bcled  42180  bcle2d  42181  aks6d1c7lem2  42183  unitscyglem2  42198  unitscyglem4  42200  unitscyglem5  42201  metakunt1  42207  metakunt3  42209  metakunt7  42213  metakunt15  42221  metakunt16  42222  metakunt19  42225  metakunt21  42227  metakunt22  42228  metakunt24  42230  metakunt25  42231  metakunt27  42233  metakunt28  42234  metakunt29  42235  metakunt30  42236  metakunt32  42238  metakunt33  42239  flt4lem3  42663  lzenom  42786  irrapxlem3  42840  pellexlem5  42849  rmspecnonsq  42923  congtr  42982  congmul  42984  congsym  42985  congrep  42990  acongrep  42997  acongeq  43000  dvdsacongtr  43001  jm2.18  43005  jm2.23  43013  jm2.20nn  43014  jm2.25  43016  jm2.26a  43017  jm2.26lem3  43018  jm2.27a  43022  jm2.27c  43024  jm3.1lem3  43036  jm3.1  43037  expdiophlem1  43038  hashnzfzclim  44346  binomcxplemnn0  44373  oddfl  45294  fmul01lt1lem2  45605  sumnnodd  45650  dvnmul  45963  dvnprodlem1  45966  dvnprodlem2  45967  stoweidlem26  46046  wallispilem4  46088  fourierdlem26  46153  fourierdlem41  46168  fourierdlem42  46169  fourierdlem48  46174  fouriersw  46251  elaa2lem  46253  etransclem3  46257  etransclem7  46261  etransclem10  46264  etransclem15  46269  etransclem20  46274  etransclem21  46275  etransclem22  46276  etransclem24  46278  etransclem25  46279  etransclem27  46281  etransclem35  46289  etransclem48  46302  upwordnul  46900  2elfz2melfz  47335  m1modne  47355  minusmod5ne  47356  submodlt  47357  goldbachthlem2  47538  2pwp1prm  47581  fppr2odd  47723  fpprwpprb  47732  gpgvtx0  48013  gpgvtx1  48014  gpgedgvtx1  48025  gpg3nbgrvtx0  48037  altgsumbcALT  48274  digexp  48533  dignn0flhalflem1  48541