Theorem zsubcld 12615

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12547	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370   − cmin 11378  ℤcz 12502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503

This theorem is referenced by:  eluzmn  12772  eluzsub  12795  uzsubsubfz  13476  fzm1  13537  eluzgtdifelfzo  13657  ubmelm1fzo  13693  elfznelfzo  13703  intfracq  13793  modsubdir  13877  modsumfzodifsn  13881  zesq  14163  bcval5  14255  ccatsymb  14520  swrdfv2  14599  ccatswrd  14606  cshwidxmod  14740  2cshwcshw  14762  cshwcsh2id  14765  fzomaxdiflem  15280  iseralt  15622  fsum0diaglem  15713  mptfzshft  15715  pwm1geoser  15806  mertenslem1  15821  fprodrev  15914  eirrlem  16143  fzocongeq  16265  3dvds  16272  modremain  16349  bitsfzolem  16375  bitsmod  16377  bitscmp  16379  bitsinv1lem  16382  sadaddlem  16407  bezoutlem3  16482  cncongr1  16608  hashdvds  16716  crth  16719  eulerthlem2  16723  prmdiveq  16727  modprm0  16747  pythagtriplem4  16761  pythagtriplem6  16763  pythagtriplem7  16764  pythagtriplem11  16767  pythagtriplem13  16769  pythagtriplem15  16771  pcqcl  16798  pcaddlem  16830  pcbc  16842  gzmulcl  16880  4sqlem5  16884  4sqlem8  16887  4sqlem11  16897  4sqlem12  16898  4sqlem14  16900  4sqlem16  16902  chnub  18559  mndodconglem  19487  sylow1lem1  19544  sylow1lem3  19546  gsummptshft  19882  ablsimpgfindlem1  20055  pzriprnglem10  21462  fermltlchr  21501  znf1o  21523  zdis  24778  plydivex  26278  aaliou3lem8  26326  basellem3  27066  bcmono  27261  bcmax  27262  bposlem1  27268  lgsmod  27307  lgsdirprm  27315  lgsqrlem2  27331  gausslemma2dlem0h  27347  gausslemma2dlem1a  27349  gausslemma2dlem5a  27354  lgseisenlem1  27359  lgseisenlem2  27360  lgsquadlem1  27364  2lgslem2  27379  2sqlem4  27405  2sqlem8  27410  2sqmod  27420  pntrlog2bndlem1  27561  crctcshwlkn0lem3  29903  crctcshwlkn0lem4  29904  crctcshwlkn0lem6  29906  crctcshwlkn0  29912  clwlkclwwlklem2a1  30085  clwlkclwwlklem2fv1  30088  clwlkclwwlklem2a4  30090  clwlkclwwlklem2a  30091  fzspl  32886  fzsplit3  32890  ltesubnnd  32920  pfxlsw2ccat  33049  wrdt2ind  33052  swrdrn3  33054  cshwrnid  33060  cycpmco2lem6  33231  cycpmco2lem7  33232  archirngz  33289  znfermltl  33465  cos9thpiminplylem2  33967  smatrcl  33980  ballotlemfp1  34676  ballotlemimin  34690  ballotlemic  34691  ballotlem1c  34692  ballotlemfrceq  34713  ballotlemfrcn0  34714  signsplypnf  34734  signslema  34746  reprsuc  34799  breprexplema  34814  breprexplemc  34816  circlemeth  34824  revpfxsfxrev  35338  bcprod  35960  fwddifnp1  36387  fzsplitnd  42381  lcmineqlem4  42431  lcmineqlem23  42450  dvrelogpow2b  42467  aks4d1p3  42477  aks4d1p7  42482  aks4d1p8  42486  aks4d1p9  42487  posbezout  42499  primrootspoweq0  42505  hashscontpow1  42520  aks6d1c2  42529  aks6d1c5lem1  42535  aks6d1c5lem3  42536  aks6d1c5lem2  42537  sticksstones10  42554  sticksstones12a  42556  sticksstones12  42557  aks6d1c6lem3  42571  bcled  42577  bcle2d  42578  aks6d1c7lem2  42580  unitscyglem2  42595  unitscyglem4  42597  unitscyglem5  42598  flt4lem3  43035  lzenom  43156  irrapxlem3  43210  pellexlem5  43219  rmspecnonsq  43293  congtr  43351  congmul  43353  congsym  43354  congrep  43359  acongrep  43366  acongeq  43369  dvdsacongtr  43370  jm2.18  43374  jm2.23  43382  jm2.20nn  43383  jm2.25  43385  jm2.26a  43386  jm2.26lem3  43387  jm2.27a  43391  jm2.27c  43393  jm3.1lem3  43405  jm3.1  43406  expdiophlem1  43407  hashnzfzclim  44707  binomcxplemnn0  44734  oddfl  45669  fmul01lt1lem2  45974  sumnnodd  46019  dvnmul  46330  dvnprodlem1  46333  dvnprodlem2  46334  stoweidlem26  46413  wallispilem4  46455  fourierdlem26  46520  fourierdlem41  46535  fourierdlem42  46536  fourierdlem48  46541  fouriersw  46618  elaa2lem  46620  etransclem3  46624  etransclem7  46628  etransclem10  46631  etransclem15  46636  etransclem20  46641  etransclem21  46642  etransclem22  46643  etransclem24  46645  etransclem25  46646  etransclem27  46648  etransclem35  46656  etransclem48  46669  2elfz2melfz  47707  m1modne  47737  minusmod5ne  47738  submodlt  47739  goldbachthlem2  47935  2pwp1prm  47978  fppr2odd  48120  fpprwpprb  48129  gpgvtx0  48442  gpgvtx1  48443  gpgedgvtx1  48451  gpg3nbgrvtx0  48465  pgnbgreunbgrlem2lem1  48503  pgnbgreunbgrlem2lem2  48504  pgnbgreunbgrlem2lem3  48505  altgsumbcALT  48742  digexp  48996  dignn0flhalflem1  49004