MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcld 11734
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zsubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 11666 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 579 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2155  (class class class)co 6842  cmin 10520  cz 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625
This theorem is referenced by:  eluzmn  11893  uzsubsubfz  12570  fzm1  12627  eluzgtdifelfzo  12738  ubmelm1fzo  12772  elfznelfzo  12781  intfracq  12866  modsubdir  12947  modsumfzodifsn  12951  zesq  13194  bcval5  13309  swrdfv2  13648  ccatswrd  13658  swrdccatin12lem2bOLD  13733  cshwidxmod  13832  2cshwcshw  13854  cshwcsh2id  13857  fzomaxdiflem  14367  iseralt  14700  fsum0diaglem  14792  mptfzshft  14794  mertenslem1  14899  eirrlem  15214  fzocongeq  15331  3dvds  15337  modremain  15413  bitsfzolem  15437  bitsmod  15439  bitscmp  15441  bitsinv1lem  15444  sadaddlem  15469  bezoutlem3  15539  cncongr1  15661  hashdvds  15759  crth  15762  eulerthlem2  15766  prmdiveq  15770  modprm0  15789  pythagtriplem4  15803  pythagtriplem6  15805  pythagtriplem7  15806  pythagtriplem11  15809  pythagtriplem13  15811  pythagtriplem15  15813  pcqcl  15840  pcaddlem  15871  pcbc  15883  gzmulcl  15921  4sqlem5  15925  4sqlem8  15928  4sqlem11  15938  4sqlem12  15939  4sqlem14  15941  4sqlem16  15943  mndodconglem  18224  sylow1lem1  18277  sylow1lem3  18279  gsummptshft  18602  znf1o  20172  zdis  22898  plydivex  24343  aaliou3lem8  24391  basellem3  25100  bcmono  25293  bcmax  25294  bposlem1  25300  lgsmod  25339  lgsdirprm  25347  lgsqrlem2  25363  gausslemma2dlem0h  25379  gausslemma2dlem1a  25381  gausslemma2dlem5a  25386  lgseisenlem1  25391  lgseisenlem2  25392  lgsquadlem1  25396  2lgslem2  25411  2sqlem4  25437  2sqlem8  25442  pntrlog2bndlem1  25557  crctcshwlkn0lem3  26997  crctcshwlkn0lem4  26998  crctcshwlkn0lem6  27000  crctcshwlkn0  27006  clwlkclwwlklem2a1  27219  clwlkclwwlklem2fv1  27222  clwlkclwwlklem2a4  27224  clwlkclwwlklem2a  27225  fzspl  29999  fzsplit3  30002  ltesubnnd  30017  2sqmod  30095  archirngz  30190  smatrcl  30309  ballotlemfp1  31001  ballotlemimin  31015  ballotlemic  31016  ballotlem1c  31017  ballotlemfrceq  31038  ballotlemfrcn0  31039  signsplypnf  31076  signslema  31088  reprsuc  31144  breprexplema  31159  breprexplemc  31161  circlemeth  31169  bcprod  32069  fwddifnp1  32716  lzenom  38011  irrapxlem3  38066  pellexlem5  38075  rmspecnonsq  38149  congtr  38209  congmul  38211  congsym  38212  congrep  38217  acongrep  38224  acongeq  38227  dvdsacongtr  38228  jm2.18  38232  jm2.23  38240  jm2.20nn  38241  jm2.25  38243  jm2.26a  38244  jm2.26lem3  38245  jm2.27a  38249  jm2.27c  38251  jm3.1lem3  38263  jm3.1  38264  expdiophlem1  38265  hashnzfzclim  39195  binomcxplemnn0  39222  oddfl  40129  fmul01lt1lem2  40455  sumnnodd  40500  dvnmul  40796  dvnprodlem1  40799  dvnprodlem2  40800  stoweidlem26  40880  wallispilem4  40922  fourierdlem26  40987  fourierdlem41  41002  fourierdlem42  41003  fourierdlem48  41008  fouriersw  41085  elaa2lem  41087  etransclem3  41091  etransclem7  41095  etransclem10  41098  etransclem15  41103  etransclem20  41108  etransclem21  41109  etransclem22  41110  etransclem24  41112  etransclem25  41113  etransclem27  41115  etransclem35  41123  etransclem48  41136  2elfz2melfz  42062  goldbachthlem2  42134  pwm1geoserALT  42178  2pwp1prm  42179  altgsumbcALT  42800  digexp  43070  dignn0flhalflem1  43078
  Copyright terms: Public domain W3C validator