Theorem zsubcld 12707

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12639	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410   − cmin 11471  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594

This theorem is referenced by:  eluzmn  12864  eluzsub  12887  uzsubsubfz  13568  fzm1  13629  eluzgtdifelfzo  13748  ubmelm1fzo  13784  elfznelfzo  13793  intfracq  13881  modsubdir  13963  modsumfzodifsn  13967  zesq  14249  bcval5  14341  ccatsymb  14605  swrdfv2  14684  ccatswrd  14691  cshwidxmod  14826  2cshwcshw  14849  cshwcsh2id  14852  fzomaxdiflem  15366  iseralt  15706  fsum0diaglem  15797  mptfzshft  15799  pwm1geoser  15890  mertenslem1  15905  fprodrev  15998  eirrlem  16227  fzocongeq  16348  3dvds  16355  modremain  16432  bitsfzolem  16458  bitsmod  16460  bitscmp  16462  bitsinv1lem  16465  sadaddlem  16490  bezoutlem3  16565  cncongr1  16691  hashdvds  16799  crth  16802  eulerthlem2  16806  prmdiveq  16810  modprm0  16830  pythagtriplem4  16844  pythagtriplem6  16846  pythagtriplem7  16847  pythagtriplem11  16850  pythagtriplem13  16852  pythagtriplem15  16854  pcqcl  16881  pcaddlem  16913  pcbc  16925  gzmulcl  16963  4sqlem5  16967  4sqlem8  16970  4sqlem11  16980  4sqlem12  16981  4sqlem14  16983  4sqlem16  16985  mndodconglem  19527  sylow1lem1  19584  sylow1lem3  19586  gsummptshft  19922  ablsimpgfindlem1  20095  pzriprnglem10  21456  fermltlchr  21495  znf1o  21517  zdis  24761  plydivex  26262  aaliou3lem8  26310  basellem3  27050  bcmono  27245  bcmax  27246  bposlem1  27252  lgsmod  27291  lgsdirprm  27299  lgsqrlem2  27315  gausslemma2dlem0h  27331  gausslemma2dlem1a  27333  gausslemma2dlem5a  27338  lgseisenlem1  27343  lgseisenlem2  27344  lgsquadlem1  27348  2lgslem2  27363  2sqlem4  27389  2sqlem8  27394  2sqmod  27404  pntrlog2bndlem1  27545  crctcshwlkn0lem3  29799  crctcshwlkn0lem4  29800  crctcshwlkn0lem6  29802  crctcshwlkn0  29808  clwlkclwwlklem2a1  29978  clwlkclwwlklem2fv1  29981  clwlkclwwlklem2a4  29983  clwlkclwwlklem2a  29984  fzspl  32771  fzsplit3  32775  ltesubnnd  32806  pfxlsw2ccat  32931  wrdt2ind  32934  swrdrn3  32936  cshwrnid  32942  chnub  32997  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2lem7  33148  archirngz  33192  znfermltl  33386  cos9thpiminplylem2  33822  smatrcl  33832  ballotlemfp1  34529  ballotlemimin  34543  ballotlemic  34544  ballotlem1c  34545  ballotlemfrceq  34566  ballotlemfrcn0  34567  signsplypnf  34587  signslema  34599  reprsuc  34652  breprexplema  34667  breprexplemc  34669  circlemeth  34677  revpfxsfxrev  35143  bcprod  35760  fwddifnp1  36188  fzsplitnd  42000  lcmineqlem4  42050  lcmineqlem23  42069  dvrelogpow2b  42086  aks4d1p3  42096  aks4d1p7  42101  aks4d1p8  42105  aks4d1p9  42106  posbezout  42118  primrootspoweq0  42124  hashscontpow1  42139  aks6d1c2  42148  aks6d1c5lem1  42154  aks6d1c5lem3  42155  aks6d1c5lem2  42156  sticksstones10  42173  sticksstones12a  42175  sticksstones12  42176  aks6d1c6lem3  42190  bcled  42196  bcle2d  42197  aks6d1c7lem2  42199  unitscyglem2  42214  unitscyglem4  42216  unitscyglem5  42217  flt4lem3  42646  lzenom  42768  irrapxlem3  42822  pellexlem5  42831  rmspecnonsq  42905  congtr  42964  congmul  42966  congsym  42967  congrep  42972  acongrep  42979  acongeq  42982  dvdsacongtr  42983  jm2.18  42987  jm2.23  42995  jm2.20nn  42996  jm2.25  42998  jm2.26a  42999  jm2.26lem3  43000  jm2.27a  43004  jm2.27c  43006  jm3.1lem3  43018  jm3.1  43019  expdiophlem1  43020  hashnzfzclim  44321  binomcxplemnn0  44348  oddfl  45286  fmul01lt1lem2  45594  sumnnodd  45639  dvnmul  45952  dvnprodlem1  45955  dvnprodlem2  45956  stoweidlem26  46035  wallispilem4  46077  fourierdlem26  46142  fourierdlem41  46157  fourierdlem42  46158  fourierdlem48  46163  fouriersw  46240  elaa2lem  46242  etransclem3  46246  etransclem7  46250  etransclem10  46253  etransclem15  46258  etransclem20  46263  etransclem21  46264  etransclem22  46265  etransclem24  46267  etransclem25  46268  etransclem27  46270  etransclem35  46278  etransclem48  46291  upwordnul  46889  2elfz2melfz  47327  m1modne  47357  minusmod5ne  47358  submodlt  47359  goldbachthlem2  47540  2pwp1prm  47583  fppr2odd  47725  fpprwpprb  47734  gpgvtx0  48037  gpgvtx1  48038  gpgedgvtx1  48046  gpg3nbgrvtx0  48058  altgsumbcALT  48308  digexp  48567  dignn0flhalflem1  48575