MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcld 12613
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
zsubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 zaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
3 zsubcl 12546 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  cmin 11386  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  eluzmn  12771  eluzsub  12794  uzsubsubfz  13464  fzm1  13522  eluzgtdifelfzo  13635  ubmelm1fzo  13669  elfznelfzo  13678  intfracq  13765  modsubdir  13846  modsumfzodifsn  13850  zesq  14130  bcval5  14219  ccatsymb  14471  swrdfv2  14550  ccatswrd  14557  cshwidxmod  14692  2cshwcshw  14715  cshwcsh2id  14718  fzomaxdiflem  15228  iseralt  15570  fsum0diaglem  15662  mptfzshft  15664  pwm1geoser  15755  mertenslem1  15770  fprodrev  15861  eirrlem  16087  fzocongeq  16207  3dvds  16214  modremain  16291  bitsfzolem  16315  bitsmod  16317  bitscmp  16319  bitsinv1lem  16322  sadaddlem  16347  bezoutlem3  16423  cncongr1  16544  hashdvds  16648  crth  16651  eulerthlem2  16655  prmdiveq  16659  modprm0  16678  pythagtriplem4  16692  pythagtriplem6  16694  pythagtriplem7  16695  pythagtriplem11  16698  pythagtriplem13  16700  pythagtriplem15  16702  pcqcl  16729  pcaddlem  16761  pcbc  16773  gzmulcl  16811  4sqlem5  16815  4sqlem8  16818  4sqlem11  16828  4sqlem12  16829  4sqlem14  16831  4sqlem16  16833  mndodconglem  19324  sylow1lem1  19381  sylow1lem3  19383  gsummptshft  19714  ablsimpgfindlem1  19887  znf1o  20961  zdis  24182  plydivex  25660  aaliou3lem8  25708  basellem3  26435  bcmono  26628  bcmax  26629  bposlem1  26635  lgsmod  26674  lgsdirprm  26682  lgsqrlem2  26698  gausslemma2dlem0h  26714  gausslemma2dlem1a  26716  gausslemma2dlem5a  26721  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgsquadlem1  26731  2lgslem2  26746  2sqlem4  26772  2sqlem8  26777  2sqmod  26787  pntrlog2bndlem1  26928  crctcshwlkn0lem3  28760  crctcshwlkn0lem4  28761  crctcshwlkn0lem6  28763  crctcshwlkn0  28769  clwlkclwwlklem2a1  28939  clwlkclwwlklem2fv1  28942  clwlkclwwlklem2a4  28944  clwlkclwwlklem2a  28945  fzspl  31696  fzsplit3  31700  ltesubnnd  31721  pfxlsw2ccat  31809  wrdt2ind  31810  swrdrn3  31812  cshwrnid  31818  cycpmco2lem6  31983  cycpmco2lem7  31984  archirngz  32028  fermltlchr  32157  znfermltl  32158  smatrcl  32380  ballotlemfp1  33094  ballotlemimin  33108  ballotlemic  33109  ballotlem1c  33110  ballotlemfrceq  33131  ballotlemfrcn0  33132  signsplypnf  33165  signslema  33177  reprsuc  33231  breprexplema  33246  breprexplemc  33248  circlemeth  33256  revpfxsfxrev  33712  bcprod  34314  fwddifnp1  34753  fzsplitnd  40443  lcmineqlem4  40492  lcmineqlem23  40511  dvrelogpow2b  40528  aks4d1p3  40538  aks4d1p7  40543  aks4d1p8  40547  aks4d1p9  40548  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  metakunt1  40580  metakunt3  40582  metakunt7  40586  metakunt15  40594  metakunt16  40595  metakunt19  40598  metakunt21  40600  metakunt22  40601  metakunt24  40603  metakunt25  40604  metakunt27  40606  metakunt28  40607  metakunt29  40608  metakunt30  40609  metakunt32  40611  metakunt33  40612  flt4lem3  40989  lzenom  41096  irrapxlem3  41150  pellexlem5  41159  rmspecnonsq  41233  congtr  41292  congmul  41294  congsym  41295  congrep  41300  acongrep  41307  acongeq  41310  dvdsacongtr  41311  jm2.18  41315  jm2.23  41323  jm2.20nn  41324  jm2.25  41326  jm2.26a  41327  jm2.26lem3  41328  jm2.27a  41332  jm2.27c  41334  jm3.1lem3  41346  jm3.1  41347  expdiophlem1  41348  hashnzfzclim  42609  binomcxplemnn0  42636  oddfl  43518  fmul01lt1lem2  43833  sumnnodd  43878  dvnmul  44191  dvnprodlem1  44194  dvnprodlem2  44195  stoweidlem26  44274  wallispilem4  44316  fourierdlem26  44381  fourierdlem41  44396  fourierdlem42  44397  fourierdlem48  44402  fouriersw  44479  elaa2lem  44481  etransclem3  44485  etransclem7  44489  etransclem10  44492  etransclem15  44497  etransclem20  44502  etransclem21  44503  etransclem22  44504  etransclem24  44506  etransclem25  44507  etransclem27  44509  etransclem35  44517  etransclem48  44530  upwordnul  45126  2elfz2melfz  45557  goldbachthlem2  45745  2pwp1prm  45788  fppr2odd  45930  fpprwpprb  45939  altgsumbcALT  46436  digexp  46700  dignn0flhalflem1  46708
  Copyright terms: Public domain W3C validator