Theorem zsubcld 12684

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12615	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398   − cmin 11416  ℤcz 12570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571

This theorem is referenced by:  eluzmn  12848  eluzsub  12871  uzsubsubfz  13553  fzm1  13614  eluzgtdifelfzo  13735  ubmelm1fzo  13771  elfznelfzo  13781  intfracq  13871  modsubdir  13955  modsumfzodifsn  13959  zesq  14241  bcval5  14333  ccatsymb  14598  swrdfv2  14677  ccatswrd  14684  cshwidxmod  14818  2cshwcshw  14840  cshwcsh2id  14843  fzomaxdiflem  15372  iseralt  15714  fsum0diaglem  15805  mptfzshft  15807  pwm1geoser  15901  mertenslem1  15916  fprodrev  16009  eirrlem  16238  fzocongeq  16360  3dvds  16367  modremain  16444  bitsfzolem  16470  bitsmod  16472  bitscmp  16474  bitsinv1lem  16477  sadaddlem  16502  bezoutlem3  16577  cncongr1  16703  hashdvds  16812  crth  16815  eulerthlem2  16819  prmdiveq  16823  modprm0  16843  pythagtriplem4  16857  pythagtriplem6  16859  pythagtriplem7  16860  pythagtriplem11  16863  pythagtriplem13  16865  pythagtriplem15  16867  pcqcl  16894  pcaddlem  16926  pcbc  16938  gzmulcl  16976  4sqlem5  16980  4sqlem8  16983  4sqlem11  16993  4sqlem12  16994  4sqlem14  16996  4sqlem16  16998  chnub  18656  mndodconglem  19583  sylow1lem1  19640  sylow1lem3  19642  gsummptshft  19978  ablsimpgfindlem1  20151  pzriprnglem10  21544  fermltlchr  21583  znf1o  21605  zdis  24879  plydivex  26363  aaliou3lem8  26411  basellem3  27149  bcmono  27343  bcmax  27344  bposlem1  27350  lgsmod  27389  lgsdirprm  27397  lgsqrlem2  27413  gausslemma2dlem0h  27429  gausslemma2dlem1a  27431  gausslemma2dlem5a  27436  lgseisenlem1  27441  lgseisenlem2  27442  lgsquadlem1  27446  2lgslem2  27461  2sqlem4  27487  2sqlem8  27492  2sqmod  27502  pntrlog2bndlem1  27643  crctcshwlkn0lem3  30014  crctcshwlkn0lem4  30015  crctcshwlkn0lem6  30017  crctcshwlkn0  30023  clwlkclwwlklem2a1  30196  clwlkclwwlklem2fv1  30199  clwlkclwwlklem2a4  30201  clwlkclwwlklem2a  30202  fzspl  32993  fzsplit3  32997  ltesubnnd  33027  pfxlsw2ccat  33130  wrdt2ind  33133  swrdrn3  33135  cshwrnid  33141  cycpmco2lem6  33313  cycpmco2lem7  33314  archirngz  33371  znfermltl  33554  cos9thpiminplylem2  34082  smatrcl  34095  ballotlemfp1  34791  ballotlemimin  34805  ballotlemic  34806  ballotlem1c  34807  ballotlemfrceq  34828  ballotlemfrcn0  34829  signsplypnf  34846  signslema  34858  reprsuc  34911  breprexplema  34926  breprexplemc  34928  circlemeth  34936  revpfxsfxrev  35470  bcprod  36093  fwddifnp1  36520  fzsplitnd  42604  lcmineqlem4  42654  lcmineqlem23  42673  dvrelogpow2b  42690  aks4d1p3  42700  aks4d1p7  42705  aks4d1p8  42709  aks4d1p9  42710  posbezout  42722  primrootspoweq0  42728  hashscontpow1  42743  aks6d1c2  42752  aks6d1c5lem1  42758  aks6d1c5lem3  42759  aks6d1c5lem2  42760  sticksstones10  42777  sticksstones12a  42779  sticksstones12  42780  aks6d1c6lem3  42794  bcled  42800  bcle2d  42801  aks6d1c7lem2  42803  unitscyglem2  42818  unitscyglem4  42820  unitscyglem5  42821  flt4lem3  43235  lzenom  43356  irrapxlem3  43406  pellexlem5  43415  rmspecnonsq  43489  congtr  43547  congmul  43549  congsym  43550  congrep  43555  acongrep  43562  acongeq  43565  dvdsacongtr  43566  jm2.18  43570  jm2.23  43578  jm2.20nn  43579  jm2.25  43581  jm2.26a  43582  jm2.26lem3  43583  jm2.27a  43587  jm2.27c  43589  jm3.1lem3  43601  jm3.1  43602  expdiophlem1  43603  hashnzfzclim  44903  binomcxplemnn0  44930  oddfl  45862  fmul01lt1lem2  46166  sumnnodd  46211  dvnmul  46522  dvnprodlem1  46525  dvnprodlem2  46526  stoweidlem26  46605  wallispilem4  46647  fourierdlem26  46712  fourierdlem41  46727  fourierdlem42  46728  fourierdlem48  46733  fouriersw  46810  elaa2lem  46812  etransclem3  46816  etransclem7  46820  etransclem10  46823  etransclem15  46828  etransclem20  46833  etransclem21  46834  etransclem22  46835  etransclem24  46837  etransclem25  46838  etransclem27  46840  etransclem35  46848  etransclem48  46861  2elfz2melfz  47917  m1modne  47953  minusmod5ne  47954  submodlt  47955  goldbachthlem2  48160  2pwp1prm  48203  fppr2odd  48358  fpprwpprb  48367  gpgvtx0  48680  gpgvtx1  48681  gpgedgvtx1  48689  gpg3nbgrvtx0  48703  pgnbgreunbgrlem2lem1  48741  pgnbgreunbgrlem2lem2  48742  pgnbgreunbgrlem2lem3  48743  altgsumbcALT  48980  digexp  49234  dignn0flhalflem1  49242