Theorem zsubcld 12733

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12663	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416   − cmin 11468  ℤcz 12618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619

This theorem is used by:  eluzmn  12897  eluzsub  12920  uzsubsubfz  13603  fzm1  13664  eluzgtdifelfzo  13785  ubmelm1fzo  13821  elfznelfzo  13831  intfracq  13922  modsubdir  14006  modsumfzodifsn  14010  zesq  14292  bcval5  14384  ccatsymb  14650  swrdrn3  14724  swrdfv2  14733  ccatswrd  14740  revpfxsfxrev  14839  cshwidxmod  14876  2cshwcshw  14898  cshwcsh2id  14901  fzomaxdiflem  15432  iseralt  15774  fsum0diaglem  15864  mptfzshft  15866  pwm1geoser  15960  mertenslem1  15975  fprodrev  16068  eirrlem  16296  fzocongeq  16418  3dvds  16425  modremain  16502  bitsfzolem  16528  bitsmod  16530  bitscmp  16532  bitsinv1lem  16535  sadaddlem  16560  bezoutlem3  16635  cncongr1  16761  hashdvds  16870  crth  16873  eulerthlem2  16877  prmdiveq  16881  modprm0  16901  pythagtriplem4  16915  pythagtriplem6  16917  pythagtriplem7  16918  pythagtriplem11  16921  pythagtriplem13  16923  pythagtriplem15  16925  pcqcl  16952  pcaddlem  16984  pcbc  16996  gzmulcl  17034  4sqlem5  17038  4sqlem8  17041  4sqlem11  17051  4sqlem12  17052  4sqlem14  17054  4sqlem16  17056  chnub  18714  mndodconglem  19669  sylow1lem1  19726  sylow1lem3  19728  gsummptshft  20064  ablsimpgfindlem1  20237  pzriprnglem10  21704  fermltlchr  21743  znf1o  21765  zdis  25044  plydivex  26528  aaliou3lem8  26578  basellem3  27317  bcmono  27511  bcmax  27512  bposlem1  27518  lgsmod  27557  lgsdirprm  27565  lgsqrlem2  27581  gausslemma2dlem0h  27597  gausslemma2dlem1a  27599  gausslemma2dlem5a  27604  lgseisenlem1  27609  lgseisenlem2  27610  lgsquadlem1  27614  2lgslem2  27629  2sqlem4  27655  2sqlem8  27660  2sqmod  27670  pntrlog2bndlem1  27811  crctcshwlkn0lem3  30266  crctcshwlkn0lem4  30267  crctcshwlkn0lem6  30269  crctcshwlkn0  30275  clwlkclwwlklem2a1  30448  clwlkclwwlklem2fv1  30451  clwlkclwwlklem2a4  30453  clwlkclwwlklem2a  30454  fzspl  33247  fzsplit3  33251  ltesubnnd  33280  pfxlsw2ccat  33379  wrdt2ind  33382  cshwrnid  33388  cycpmco2lem6  33558  cycpmco2lem7  33559  archirngz  33616  znfermltl  33788  cos9thpiminplylem2  34280  smatrcl  34293  ballotlemfp1  34990  ballotlemimin  35004  ballotlemic  35005  ballotlem1c  35006  ballotlemfrceq  35027  ballotlemfrcn0  35028  signsplypnf  35045  signslema  35057  reprsuc  35110  breprexplema  35125  breprexplemc  35127  circlemeth  35135  bcprod  36304  fwddifnp1  36732  fzsplitnd  42835  lcmineqlem4  42885  lcmineqlem23  42904  dvrelogpow2b  42921  aks4d1p3  42931  aks4d1p7  42936  aks4d1p8  42940  aks4d1p9  42941  posbezout  42953  primrootspoweq0  42959  hashscontpow1  42974  aks6d1c2  42983  aks6d1c5lem1  42989  aks6d1c5lem3  42990  aks6d1c5lem2  42991  sticksstones10  43008  sticksstones12a  43010  sticksstones12  43011  aks6d1c6lem3  43025  bcled  43031  bcle2d  43032  aks6d1c7lem2  43034  unitscyglem2  43049  unitscyglem4  43051  unitscyglem5  43052  flt4lem3  43481  lzenom  43602  irrapxlem3  43652  pellexlem5  43661  rmspecnonsq  43735  congtr  43793  congmul  43795  congsym  43796  congrep  43801  acongrep  43808  acongeq  43811  dvdsacongtr  43812  jm2.18  43816  jm2.23  43824  jm2.20nn  43825  jm2.25  43827  jm2.26a  43828  jm2.26lem3  43829  jm2.27a  43833  jm2.27c  43835  jm3.1lem3  43847  jm3.1  43848  expdiophlem1  43849  hashnzfzclim  45133  binomcxplemnn0  45160  oddfl  46098  fmul01lt1lem2  46402  sumnnodd  46447  dvnmul  46758  dvnprodlem1  46761  dvnprodlem2  46762  stoweidlem26  46841  wallispilem4  46883  fourierdlem26  46948  fourierdlem41  46963  fourierdlem42  46964  fourierdlem48  46969  fouriersw  47046  elaa2lem  47048  etransclem3  47052  etransclem7  47056  etransclem10  47059  etransclem15  47064  etransclem20  47069  etransclem21  47070  etransclem22  47071  etransclem24  47073  etransclem25  47074  etransclem27  47076  etransclem35  47084  etransclem48  47097  2elfz2melfz  48193  m1modne  48229  minusmod5ne  48230  submodlt  48231  goldbachthlem2  48436  2pwp1prm  48479  fppr2odd  48634  fpprwpprb  48643  gpgvtx0  48956  gpgvtx1  48957  gpgedgvtx1  48965  gpg3nbgrvtx0  48979  pgnbgreunbgrlem2lem1  49017  pgnbgreunbgrlem2lem2  49018  pgnbgreunbgrlem2lem3  49019  altgsumbcALT  49270  digexp  49524  dignn0flhalflem1  49532