Theorem zsubcld 12638

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   − cmin 11377  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  eluzmn  12795  eluzsub  12818  uzsubsubfz  13500  fzm1  13561  eluzgtdifelfzo  13682  ubmelm1fzo  13718  elfznelfzo  13728  intfracq  13818  modsubdir  13902  modsumfzodifsn  13906  zesq  14188  bcval5  14280  ccatsymb  14545  swrdfv2  14624  ccatswrd  14631  cshwidxmod  14765  2cshwcshw  14787  cshwcsh2id  14790  fzomaxdiflem  15305  iseralt  15647  fsum0diaglem  15738  mptfzshft  15740  pwm1geoser  15834  mertenslem1  15849  fprodrev  15942  eirrlem  16171  fzocongeq  16293  3dvds  16300  modremain  16377  bitsfzolem  16403  bitsmod  16405  bitscmp  16407  bitsinv1lem  16410  sadaddlem  16435  bezoutlem3  16510  cncongr1  16636  hashdvds  16745  crth  16748  eulerthlem2  16752  prmdiveq  16756  modprm0  16776  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem6  16792  pythagtriplem7  16793  pythagtriplem11  16796  pythagtriplem13  16798  pythagtriplem15  16800  pcqcl  16827  pcaddlem  16859  pcbc  16871  gzmulcl  16909  4sqlem5  16913  4sqlem8  16916  4sqlem11  16926  4sqlem12  16927  4sqlem14  16929  4sqlem16  16931  chnub  18588  mndodconglem  19516  sylow1lem1  19573  sylow1lem3  19575  gsummptshft  19911  ablsimpgfindlem1  20084  pzriprnglem10  21470  fermltlchr  21509  znf1o  21531  zdis  24782  plydivex  26263  aaliou3lem8  26311  basellem3  27046  bcmono  27240  bcmax  27241  bposlem1  27247  lgsmod  27286  lgsdirprm  27294  lgsqrlem2  27310  gausslemma2dlem0h  27326  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2dlem5a  27333  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgsquadlem1  27343  2lgslem2  27358  2sqlem4  27384  2sqlem8  27389  2sqmod  27399  pntrlog2bndlem1  27540  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem4  29881  crctcshwlkn0lem6  29883  crctcshwlkn0  29889  clwlkclwwlklem2a1  30062  clwlkclwwlklem2fv1  30065  clwlkclwwlklem2a4  30067  clwlkclwwlklem2a  30068  fzspl  32862  fzsplit3  32866  ltesubnnd  32896  pfxlsw2ccat  33010  wrdt2ind  33013  swrdrn3  33015  cshwrnid  33021  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  archirngz  33250  znfermltl  33426  cos9thpiminplylem2  33927  smatrcl  33940  ballotlemfp1  34636  ballotlemimin  34650  ballotlemic  34651  ballotlem1c  34652  ballotlemfrceq  34673  ballotlemfrcn0  34674  signsplypnf  34694  signslema  34706  reprsuc  34759  breprexplema  34774  breprexplemc  34776  circlemeth  34784  revpfxsfxrev  35298  bcprod  35920  fwddifnp1  36347  fzsplitnd  42421  lcmineqlem4  42471  lcmineqlem23  42490  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p3  42517  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  posbezout  42539  primrootspoweq0  42545  hashscontpow1  42560  aks6d1c2  42569  aks6d1c5lem1  42575  aks6d1c5lem3  42576  aks6d1c5lem2  42577  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem3  42611  bcled  42617  bcle2d  42618  aks6d1c7lem2  42620  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  unitscyglem5  42638  flt4lem3  43081  lzenom  43202  irrapxlem3  43252  pellexlem5  43261  rmspecnonsq  43335  congtr  43393  congmul  43395  congsym  43396  congrep  43401  acongrep  43408  acongeq  43411  dvdsacongtr  43412  jm2.18  43416  jm2.23  43424  jm2.20nn  43425  jm2.25  43427  jm2.26a  43428  jm2.26lem3  43429  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  jm3.1lem3  43447  jm3.1  43448  expdiophlem1  43449  hashnzfzclim  44749  binomcxplemnn0  44776  oddfl  45711  fmul01lt1lem2  46015  sumnnodd  46060  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  stoweidlem26  46454  wallispilem4  46496  fourierdlem26  46561  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem48  46582  fouriersw  46659  elaa2lem  46661  etransclem3  46665  etransclem7  46669  etransclem10  46672  etransclem15  46677  etransclem20  46682  etransclem21  46683  etransclem22  46684  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem27  46689  etransclem35  46697  etransclem48  46710  2elfz2melfz  47766  m1modne  47802  minusmod5ne  47803  submodlt  47804  goldbachthlem2  48009  2pwp1prm  48052  fppr2odd  48207  fpprwpprb  48216  gpgvtx0  48529  gpgvtx1  48530  gpgedgvtx1  48538  gpg3nbgrvtx0  48552  pgnbgreunbgrlem2lem1  48590  pgnbgreunbgrlem2lem2  48591  pgnbgreunbgrlem2lem3  48592  altgsumbcALT  48829  digexp  49083  dignn0flhalflem1  49091