Theorem zsubcld 12585

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12517	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   − cmin 11347  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  eluzmn  12742  eluzsub  12765  uzsubsubfz  13449  fzm1  13510  eluzgtdifelfzo  13630  ubmelm1fzo  13666  elfznelfzo  13675  intfracq  13763  modsubdir  13847  modsumfzodifsn  13851  zesq  14133  bcval5  14225  ccatsymb  14489  swrdfv2  14568  ccatswrd  14575  cshwidxmod  14709  2cshwcshw  14732  cshwcsh2id  14735  fzomaxdiflem  15250  iseralt  15592  fsum0diaglem  15683  mptfzshft  15685  pwm1geoser  15776  mertenslem1  15791  fprodrev  15884  eirrlem  16113  fzocongeq  16235  3dvds  16242  modremain  16319  bitsfzolem  16345  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  sadaddlem  16377  bezoutlem3  16452  cncongr1  16578  hashdvds  16686  crth  16689  eulerthlem2  16693  prmdiveq  16697  modprm0  16717  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem6  16733  pythagtriplem7  16734  pythagtriplem11  16737  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem15  16741  pcqcl  16768  pcaddlem  16800  pcbc  16812  gzmulcl  16850  4sqlem5  16854  4sqlem8  16857  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem16  16872  mndodconglem  19420  sylow1lem1  19477  sylow1lem3  19479  gsummptshft  19815  ablsimpgfindlem1  19988  pzriprnglem10  21397  fermltlchr  21436  znf1o  21458  zdis  24703  plydivex  26203  aaliou3lem8  26251  basellem3  26991  bcmono  27186  bcmax  27187  bposlem1  27193  lgsmod  27232  lgsdirprm  27240  lgsqrlem2  27256  gausslemma2dlem0h  27272  gausslemma2dlem1a  27274  gausslemma2dlem5a  27279  lgseisenlem1  27284  lgseisenlem2  27285  lgsquadlem1  27289  2lgslem2  27304  2sqlem4  27330  2sqlem8  27335  2sqmod  27345  pntrlog2bndlem1  27486  crctcshwlkn0lem3  29761  crctcshwlkn0lem4  29762  crctcshwlkn0lem6  29764  crctcshwlkn0  29770  clwlkclwwlklem2a1  29940  clwlkclwwlklem2fv1  29943  clwlkclwwlklem2a4  29945  clwlkclwwlklem2a  29946  fzspl  32741  fzsplit3  32745  ltesubnnd  32776  pfxlsw2ccat  32901  wrdt2ind  32904  swrdrn3  32906  cshwrnid  32912  chnub  32963  cycpmco2lem6  33082  cycpmco2lem7  33083  archirngz  33140  znfermltl  33312  cos9thpiminplylem2  33766  smatrcl  33779  ballotlemfp1  34476  ballotlemimin  34490  ballotlemic  34491  ballotlem1c  34492  ballotlemfrceq  34513  ballotlemfrcn0  34514  signsplypnf  34534  signslema  34546  reprsuc  34599  breprexplema  34614  breprexplemc  34616  circlemeth  34624  revpfxsfxrev  35109  bcprod  35731  fwddifnp1  36159  fzsplitnd  41975  lcmineqlem4  42025  lcmineqlem23  42044  dvrelogpow2b  42061  aks4d1p3  42071  aks4d1p7  42076  aks4d1p8  42080  aks4d1p9  42081  posbezout  42093  primrootspoweq0  42099  hashscontpow1  42114  aks6d1c2  42123  aks6d1c5lem1  42129  aks6d1c5lem3  42130  aks6d1c5lem2  42131  sticksstones10  42148  sticksstones12a  42150  sticksstones12  42151  aks6d1c6lem3  42165  bcled  42171  bcle2d  42172  aks6d1c7lem2  42174  unitscyglem2  42189  unitscyglem4  42191  unitscyglem5  42192  flt4lem3  42641  lzenom  42763  irrapxlem3  42817  pellexlem5  42826  rmspecnonsq  42900  congtr  42958  congmul  42960  congsym  42961  congrep  42966  acongrep  42973  acongeq  42976  dvdsacongtr  42977  jm2.18  42981  jm2.23  42989  jm2.20nn  42990  jm2.25  42992  jm2.26a  42993  jm2.26lem3  42994  jm2.27a  42998  jm2.27c  43000  jm3.1lem3  43012  jm3.1  43013  expdiophlem1  43014  hashnzfzclim  44315  binomcxplemnn0  44342  oddfl  45280  fmul01lt1lem2  45586  sumnnodd  45631  dvnmul  45944  dvnprodlem1  45947  dvnprodlem2  45948  stoweidlem26  46027  wallispilem4  46069  fourierdlem26  46134  fourierdlem41  46149  fourierdlem42  46150  fourierdlem48  46155  fouriersw  46232  elaa2lem  46234  etransclem3  46238  etransclem7  46242  etransclem10  46245  etransclem15  46250  etransclem20  46255  etransclem21  46256  etransclem22  46257  etransclem24  46259  etransclem25  46260  etransclem27  46262  etransclem35  46270  etransclem48  46283  upwordnul  46881  2elfz2melfz  47322  m1modne  47352  minusmod5ne  47353  submodlt  47354  goldbachthlem2  47550  2pwp1prm  47593  fppr2odd  47735  fpprwpprb  47744  gpgvtx0  48057  gpgvtx1  48058  gpgedgvtx1  48066  gpg3nbgrvtx0  48080  pgnbgreunbgrlem2lem1  48118  pgnbgreunbgrlem2lem2  48119  pgnbgreunbgrlem2lem3  48120  altgsumbcALT  48357  digexp  48612  dignn0flhalflem1  48620