Theorem zsubcld 12582

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12514	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   − cmin 11344  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  eluzmn  12739  eluzsub  12762  uzsubsubfz  13446  fzm1  13507  eluzgtdifelfzo  13627  ubmelm1fzo  13663  elfznelfzo  13673  intfracq  13763  modsubdir  13847  modsumfzodifsn  13851  zesq  14133  bcval5  14225  ccatsymb  14490  swrdfv2  14569  ccatswrd  14576  cshwidxmod  14710  2cshwcshw  14732  cshwcsh2id  14735  fzomaxdiflem  15250  iseralt  15592  fsum0diaglem  15683  mptfzshft  15685  pwm1geoser  15776  mertenslem1  15791  fprodrev  15884  eirrlem  16113  fzocongeq  16235  3dvds  16242  modremain  16319  bitsfzolem  16345  bitsmod  16347  bitscmp  16349  bitsinv1lem  16352  sadaddlem  16377  bezoutlem3  16452  cncongr1  16578  hashdvds  16686  crth  16689  eulerthlem2  16693  prmdiveq  16697  modprm0  16717  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem6  16733  pythagtriplem7  16734  pythagtriplem11  16737  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem15  16741  pcqcl  16768  pcaddlem  16800  pcbc  16812  gzmulcl  16850  4sqlem5  16854  4sqlem8  16857  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  4sqlem14  16870  4sqlem16  16872  chnub  18528  mndodconglem  19453  sylow1lem1  19510  sylow1lem3  19512  gsummptshft  19848  ablsimpgfindlem1  20021  pzriprnglem10  21427  fermltlchr  21466  znf1o  21488  zdis  24732  plydivex  26232  aaliou3lem8  26280  basellem3  27020  bcmono  27215  bcmax  27216  bposlem1  27222  lgsmod  27261  lgsdirprm  27269  lgsqrlem2  27285  gausslemma2dlem0h  27301  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem5a  27308  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgsquadlem1  27318  2lgslem2  27333  2sqlem4  27359  2sqlem8  27364  2sqmod  27374  pntrlog2bndlem1  27515  crctcshwlkn0lem3  29790  crctcshwlkn0lem4  29791  crctcshwlkn0lem6  29793  crctcshwlkn0  29799  clwlkclwwlklem2a1  29972  clwlkclwwlklem2fv1  29975  clwlkclwwlklem2a4  29977  clwlkclwwlklem2a  29978  fzspl  32772  fzsplit3  32776  ltesubnnd  32805  pfxlsw2ccat  32931  wrdt2ind  32934  swrdrn3  32936  cshwrnid  32942  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  archirngz  33158  znfermltl  33331  cos9thpiminplylem2  33796  smatrcl  33809  ballotlemfp1  34505  ballotlemimin  34519  ballotlemic  34520  ballotlem1c  34521  ballotlemfrceq  34542  ballotlemfrcn0  34543  signsplypnf  34563  signslema  34575  reprsuc  34628  breprexplema  34643  breprexplemc  34645  circlemeth  34653  revpfxsfxrev  35160  bcprod  35782  fwddifnp1  36209  fzsplitnd  42074  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem23  42143  dvrelogpow2b  42160  aks4d1p3  42170  aks4d1p7  42175  aks4d1p8  42179  aks4d1p9  42180  posbezout  42192  primrootspoweq0  42198  hashscontpow1  42213  aks6d1c2  42222  aks6d1c5lem1  42228  aks6d1c5lem3  42229  aks6d1c5lem2  42230  sticksstones10  42247  sticksstones12a  42249  sticksstones12  42250  aks6d1c6lem3  42264  bcled  42270  bcle2d  42271  aks6d1c7lem2  42273  unitscyglem2  42288  unitscyglem4  42290  unitscyglem5  42291  flt4lem3  42740  lzenom  42862  irrapxlem3  42916  pellexlem5  42925  rmspecnonsq  42999  congtr  43057  congmul  43059  congsym  43060  congrep  43065  acongrep  43072  acongeq  43075  dvdsacongtr  43076  jm2.18  43080  jm2.23  43088  jm2.20nn  43089  jm2.25  43091  jm2.26a  43092  jm2.26lem3  43093  jm2.27a  43097  jm2.27c  43099  jm3.1lem3  43111  jm3.1  43112  expdiophlem1  43113  hashnzfzclim  44414  binomcxplemnn0  44441  oddfl  45378  fmul01lt1lem2  45684  sumnnodd  45729  dvnmul  46040  dvnprodlem1  46043  dvnprodlem2  46044  stoweidlem26  46123  wallispilem4  46165  fourierdlem26  46230  fourierdlem41  46245  fourierdlem42  46246  fourierdlem48  46251  fouriersw  46328  elaa2lem  46330  etransclem3  46334  etransclem7  46338  etransclem10  46341  etransclem15  46346  etransclem20  46351  etransclem21  46352  etransclem22  46353  etransclem24  46355  etransclem25  46356  etransclem27  46358  etransclem35  46366  etransclem48  46379  2elfz2melfz  47417  m1modne  47447  minusmod5ne  47448  submodlt  47449  goldbachthlem2  47645  2pwp1prm  47688  fppr2odd  47830  fpprwpprb  47839  gpgvtx0  48152  gpgvtx1  48153  gpgedgvtx1  48161  gpg3nbgrvtx0  48175  pgnbgreunbgrlem2lem1  48213  pgnbgreunbgrlem2lem2  48214  pgnbgreunbgrlem2lem3  48215  altgsumbcALT  48452  digexp  48707  dignn0flhalflem1  48715