Theorem zsubcld 12763

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409   − cmin 11498  ℤcz 12648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649

This theorem is used by:  eluzmn  12927  eluzsub  12950  uzsubsubfz  13634  fzm1  13695  eluzgtdifelfzo  13816  ubmelm1fzo  13852  elfznelfzo  13862  intfracq  13953  modsubdir  14037  modsumfzodifsn  14041  zesq  14323  bcval5  14415  ccatsymb  14681  swrdrn3  14755  swrdfv2  14764  ccatswrd  14771  revpfxsfxrev  14870  cshwidxmod  14907  2cshwcshw  14929  cshwcsh2id  14932  fzomaxdiflem  15463  iseralt  15805  fsum0diaglem  15895  mptfzshft  15897  pwm1geoser  15991  mertenslem1  16006  fprodrev  16097  eirrlem  16325  fzocongeq  16447  3dvds  16454  modremain  16531  bitsfzolem  16557  bitsmod  16559  bitscmp  16561  bitsinv1lem  16564  sadaddlem  16589  bezoutlem3  16664  cncongr1  16790  hashdvds  16899  crth  16902  eulerthlem2  16906  prmdiveq  16910  modprm0  16930  pythagtriplem4  16944  pythagtriplem6  16946  pythagtriplem7  16947  pythagtriplem11  16950  pythagtriplem13  16952  pythagtriplem15  16954  pcqcl  16981  pcaddlem  17013  pcbc  17025  gzmulcl  17063  4sqlem5  17067  4sqlem8  17070  4sqlem11  17080  4sqlem12  17081  4sqlem14  17083  4sqlem16  17085  chnub  18743  mndodconglem  19702  sylow1lem1  19759  sylow1lem3  19761  gsummptshft  20097  ablsimpgfindlem1  20270  pzriprnglem10  21743  fermltlchr  21782  znf1o  21804  zdis  25083  plydivex  26567  aaliou3lem8  26621  basellem3  27359  bcmono  27553  bcmax  27554  bposlem1  27560  lgsmod  27599  lgsdirprm  27607  lgsqrlem2  27623  gausslemma2dlem0h  27639  gausslemma2dlem1a  27641  gausslemma2dlem5a  27646  lgseisenlem1  27651  lgseisenlem2  27652  lgsquadlem1  27656  2lgslem2  27671  2sqlem4  27697  2sqlem8  27702  2sqmod  27712  pntrlog2bndlem1  27853  crctcshwlkn0lem3  30320  crctcshwlkn0lem4  30321  crctcshwlkn0lem6  30323  crctcshwlkn0  30329  clwlkclwwlklem2a1  30502  clwlkclwwlklem2fv1  30505  clwlkclwwlklem2a4  30507  clwlkclwwlklem2a  30508  fzspl  33300  fzsplit3  33304  ltesubnnd  33333  pfxlsw2ccat  33432  wrdt2ind  33435  cshwrnid  33441  cycpmco2lem6  33611  cycpmco2lem7  33612  archirngz  33669  znfermltl  33841  cos9thpiminplylem2  34334  smatrcl  34347  ballotlemfp1  35044  ballotlemimin  35058  ballotlemic  35059  ballotlem1c  35060  ballotlemfrceq  35081  ballotlemfrcn0  35082  signsplypnf  35099  signslema  35111  reprsuc  35164  breprexplema  35179  breprexplemc  35181  circlemeth  35189  bcprod  36418  fwddifnp1  36846  fzsplitnd  42946  lcmineqlem4  42996  lcmineqlem23  43015  dvrelogpow2b  43032  aks4d1p3  43042  aks4d1p7  43047  aks4d1p8  43051  aks4d1p9  43052  posbezout  43064  primrootspoweq0  43070  hashscontpow1  43085  aks6d1c2  43094  aks6d1c5lem1  43100  aks6d1c5lem3  43101  aks6d1c5lem2  43102  sticksstones10  43119  sticksstones12a  43121  sticksstones12  43122  aks6d1c6lem3  43136  bcled  43142  bcle2d  43143  aks6d1c7lem2  43145  unitscyglem2  43160  unitscyglem4  43162  unitscyglem5  43163  flt4lem3  43592  lzenom  43713  irrapxlem3  43763  pellexlem5  43772  rmspecnonsq  43846  congtr  43904  congmul  43906  congsym  43907  congrep  43912  acongrep  43919  acongeq  43922  dvdsacongtr  43923  jm2.18  43927  jm2.23  43935  jm2.20nn  43936  jm2.25  43938  jm2.26a  43939  jm2.26lem3  43940  jm2.27a  43944  jm2.27c  43946  jm3.1lem3  43958  jm3.1  43959  expdiophlem1  43960  hashnzfzclim  45244  binomcxplemnn0  45271  oddfl  46209  fmul01lt1lem2  46513  sumnnodd  46558  dvnmul  46869  dvnprodlem1  46872  dvnprodlem2  46873  stoweidlem26  46952  wallispilem4  46994  fourierdlem26  47059  fourierdlem41  47074  fourierdlem42  47075  fourierdlem48  47080  fouriersw  47157  elaa2lem  47159  etransclem3  47163  etransclem7  47167  etransclem10  47170  etransclem15  47175  etransclem20  47180  etransclem21  47181  etransclem22  47182  etransclem24  47184  etransclem25  47185  etransclem27  47187  etransclem35  47195  etransclem48  47208  2elfz2melfz  48304  m1modne  48340  minusmod5ne  48341  submodlt  48342  goldbachthlem2  48547  2pwp1prm  48590  fppr2odd  48745  fpprwpprb  48754  gpgvtx0  49067  gpgvtx1  49068  gpgedgvtx1  49076  gpg3nbgrvtx0  49090  pgnbgreunbgrlem2lem1  49128  pgnbgreunbgrlem2lem2  49129  pgnbgreunbgrlem2lem3  49130  altgsumbcALT  49381  digexp  49635  dignn0flhalflem1  49643