Theorem zsubcld 12603

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12535	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   − cmin 11366  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491

This theorem is referenced by:  eluzmn  12760  eluzsub  12783  uzsubsubfz  13464  fzm1  13525  eluzgtdifelfzo  13645  ubmelm1fzo  13681  elfznelfzo  13691  intfracq  13781  modsubdir  13865  modsumfzodifsn  13869  zesq  14151  bcval5  14243  ccatsymb  14508  swrdfv2  14587  ccatswrd  14594  cshwidxmod  14728  2cshwcshw  14750  cshwcsh2id  14753  fzomaxdiflem  15268  iseralt  15610  fsum0diaglem  15701  mptfzshft  15703  pwm1geoser  15794  mertenslem1  15809  fprodrev  15902  eirrlem  16131  fzocongeq  16253  3dvds  16260  modremain  16337  bitsfzolem  16363  bitsmod  16365  bitscmp  16367  bitsinv1lem  16370  sadaddlem  16395  bezoutlem3  16470  cncongr1  16596  hashdvds  16704  crth  16707  eulerthlem2  16711  prmdiveq  16715  modprm0  16735  pythagtriplem4  16749  pythagtriplem6  16751  pythagtriplem7  16752  pythagtriplem11  16755  pythagtriplem13  16757  pythagtriplem15  16759  pcqcl  16786  pcaddlem  16818  pcbc  16830  gzmulcl  16868  4sqlem5  16872  4sqlem8  16875  4sqlem11  16885  4sqlem12  16886  4sqlem14  16888  4sqlem16  16890  chnub  18547  mndodconglem  19472  sylow1lem1  19529  sylow1lem3  19531  gsummptshft  19867  ablsimpgfindlem1  20040  pzriprnglem10  21447  fermltlchr  21486  znf1o  21508  zdis  24763  plydivex  26263  aaliou3lem8  26311  basellem3  27051  bcmono  27246  bcmax  27247  bposlem1  27253  lgsmod  27292  lgsdirprm  27300  lgsqrlem2  27316  gausslemma2dlem0h  27332  gausslemma2dlem1a  27334  gausslemma2dlem5a  27339  lgseisenlem1  27344  lgseisenlem2  27345  lgsquadlem1  27349  2lgslem2  27364  2sqlem4  27390  2sqlem8  27395  2sqmod  27405  pntrlog2bndlem1  27546  crctcshwlkn0lem3  29866  crctcshwlkn0lem4  29867  crctcshwlkn0lem6  29869  crctcshwlkn0  29875  clwlkclwwlklem2a1  30048  clwlkclwwlklem2fv1  30051  clwlkclwwlklem2a4  30053  clwlkclwwlklem2a  30054  fzspl  32848  fzsplit3  32852  ltesubnnd  32882  pfxlsw2ccat  33011  wrdt2ind  33014  swrdrn3  33016  cshwrnid  33022  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  archirngz  33250  znfermltl  33426  cos9thpiminplylem2  33919  smatrcl  33932  ballotlemfp1  34628  ballotlemimin  34642  ballotlemic  34643  ballotlem1c  34644  ballotlemfrceq  34665  ballotlemfrcn0  34666  signsplypnf  34686  signslema  34698  reprsuc  34751  breprexplema  34766  breprexplemc  34768  circlemeth  34776  revpfxsfxrev  35289  bcprod  35911  fwddifnp1  36338  fzsplitnd  42271  lcmineqlem4  42321  lcmineqlem23  42340  dvrelogpow2b  42357  aks4d1p3  42367  aks4d1p7  42372  aks4d1p8  42376  aks4d1p9  42377  posbezout  42389  primrootspoweq0  42395  hashscontpow1  42410  aks6d1c2  42419  aks6d1c5lem1  42425  aks6d1c5lem3  42426  aks6d1c5lem2  42427  sticksstones10  42444  sticksstones12a  42446  sticksstones12  42447  aks6d1c6lem3  42461  bcled  42467  bcle2d  42468  aks6d1c7lem2  42470  unitscyglem2  42485  unitscyglem4  42487  unitscyglem5  42488  flt4lem3  42928  lzenom  43049  irrapxlem3  43103  pellexlem5  43112  rmspecnonsq  43186  congtr  43244  congmul  43246  congsym  43247  congrep  43252  acongrep  43259  acongeq  43262  dvdsacongtr  43263  jm2.18  43267  jm2.23  43275  jm2.20nn  43276  jm2.25  43278  jm2.26a  43279  jm2.26lem3  43280  jm2.27a  43284  jm2.27c  43286  jm3.1lem3  43298  jm3.1  43299  expdiophlem1  43300  hashnzfzclim  44600  binomcxplemnn0  44627  oddfl  45563  fmul01lt1lem2  45868  sumnnodd  45913  dvnmul  46224  dvnprodlem1  46227  dvnprodlem2  46228  stoweidlem26  46307  wallispilem4  46349  fourierdlem26  46414  fourierdlem41  46429  fourierdlem42  46430  fourierdlem48  46435  fouriersw  46512  elaa2lem  46514  etransclem3  46518  etransclem7  46522  etransclem10  46525  etransclem15  46530  etransclem20  46535  etransclem21  46536  etransclem22  46537  etransclem24  46539  etransclem25  46540  etransclem27  46542  etransclem35  46550  etransclem48  46563  2elfz2melfz  47601  m1modne  47631  minusmod5ne  47632  submodlt  47633  goldbachthlem2  47829  2pwp1prm  47872  fppr2odd  48014  fpprwpprb  48023  gpgvtx0  48336  gpgvtx1  48337  gpgedgvtx1  48345  gpg3nbgrvtx0  48359  pgnbgreunbgrlem2lem1  48397  pgnbgreunbgrlem2lem2  48398  pgnbgreunbgrlem2lem3  48399  altgsumbcALT  48636  digexp  48890  dignn0flhalflem1  48898