Theorem zsubcld 12675

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411   − cmin 11448  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  eluzmn  12833  eluzsub  12856  uzsubsubfz  13527  fzm1  13585  eluzgtdifelfzo  13698  ubmelm1fzo  13732  elfznelfzo  13741  intfracq  13828  modsubdir  13909  modsumfzodifsn  13913  zesq  14193  bcval5  14282  ccatsymb  14536  swrdfv2  14615  ccatswrd  14622  cshwidxmod  14757  2cshwcshw  14780  cshwcsh2id  14783  fzomaxdiflem  15293  iseralt  15635  fsum0diaglem  15726  mptfzshft  15728  pwm1geoser  15819  mertenslem1  15834  fprodrev  15925  eirrlem  16151  fzocongeq  16271  3dvds  16278  modremain  16355  bitsfzolem  16379  bitsmod  16381  bitscmp  16383  bitsinv1lem  16386  sadaddlem  16411  bezoutlem3  16487  cncongr1  16608  hashdvds  16712  crth  16715  eulerthlem2  16719  prmdiveq  16723  modprm0  16742  pythagtriplem4  16756  pythagtriplem6  16758  pythagtriplem7  16759  pythagtriplem11  16762  pythagtriplem13  16764  pythagtriplem15  16766  pcqcl  16793  pcaddlem  16825  pcbc  16837  gzmulcl  16875  4sqlem5  16879  4sqlem8  16882  4sqlem11  16892  4sqlem12  16893  4sqlem14  16895  4sqlem16  16897  mndodconglem  19450  sylow1lem1  19507  sylow1lem3  19509  gsummptshft  19845  ablsimpgfindlem1  20018  pzriprnglem10  21259  znf1o  21326  zdis  24552  plydivex  26046  aaliou3lem8  26094  basellem3  26823  bcmono  27016  bcmax  27017  bposlem1  27023  lgsmod  27062  lgsdirprm  27070  lgsqrlem2  27086  gausslemma2dlem0h  27102  gausslemma2dlem1a  27104  gausslemma2dlem5a  27109  lgseisenlem1  27114  lgseisenlem2  27115  lgsquadlem1  27119  2lgslem2  27134  2sqlem4  27160  2sqlem8  27165  2sqmod  27175  pntrlog2bndlem1  27316  crctcshwlkn0lem3  29333  crctcshwlkn0lem4  29334  crctcshwlkn0lem6  29336  crctcshwlkn0  29342  clwlkclwwlklem2a1  29512  clwlkclwwlklem2fv1  29515  clwlkclwwlklem2a4  29517  clwlkclwwlklem2a  29518  fzspl  32268  fzsplit3  32272  ltesubnnd  32295  pfxlsw2ccat  32383  wrdt2ind  32384  swrdrn3  32386  cshwrnid  32392  cycpmco2lem6  32560  cycpmco2lem7  32561  archirngz  32605  fermltlchr  32752  znfermltl  32753  smatrcl  33074  ballotlemfp1  33788  ballotlemimin  33802  ballotlemic  33803  ballotlem1c  33804  ballotlemfrceq  33825  ballotlemfrcn0  33826  signsplypnf  33859  signslema  33871  reprsuc  33925  breprexplema  33940  breprexplemc  33942  circlemeth  33950  revpfxsfxrev  34404  bcprod  35012  fwddifnp1  35441  fzsplitnd  41154  lcmineqlem4  41203  lcmineqlem23  41222  dvrelogpow2b  41239  aks4d1p3  41249  aks4d1p7  41254  aks4d1p8  41258  aks4d1p9  41259  sticksstones10  41277  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  metakunt1  41291  metakunt3  41293  metakunt7  41297  metakunt15  41305  metakunt16  41306  metakunt19  41309  metakunt21  41311  metakunt22  41312  metakunt24  41314  metakunt25  41315  metakunt27  41317  metakunt28  41318  metakunt29  41319  metakunt30  41320  metakunt32  41322  metakunt33  41323  flt4lem3  41692  lzenom  41810  irrapxlem3  41864  pellexlem5  41873  rmspecnonsq  41947  congtr  42006  congmul  42008  congsym  42009  congrep  42014  acongrep  42021  acongeq  42024  dvdsacongtr  42025  jm2.18  42029  jm2.23  42037  jm2.20nn  42038  jm2.25  42040  jm2.26a  42041  jm2.26lem3  42042  jm2.27a  42046  jm2.27c  42048  jm3.1lem3  42060  jm3.1  42061  expdiophlem1  42062  hashnzfzclim  43383  binomcxplemnn0  43410  oddfl  44285  fmul01lt1lem2  44599  sumnnodd  44644  dvnmul  44957  dvnprodlem1  44960  dvnprodlem2  44961  stoweidlem26  45040  wallispilem4  45082  fourierdlem26  45147  fourierdlem41  45162  fourierdlem42  45163  fourierdlem48  45168  fouriersw  45245  elaa2lem  45247  etransclem3  45251  etransclem7  45255  etransclem10  45258  etransclem15  45263  etransclem20  45268  etransclem21  45269  etransclem22  45270  etransclem24  45272  etransclem25  45273  etransclem27  45275  etransclem35  45283  etransclem48  45296  upwordnul  45892  2elfz2melfz  46324  goldbachthlem2  46512  2pwp1prm  46555  fppr2odd  46697  fpprwpprb  46706  altgsumbcALT  47117  digexp  47380  dignn0flhalflem1  47388