Theorem zsubcld 12633

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12564	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 591	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7360   − cmin 11372  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  eluzmn  12790  eluzsub  12813  uzsubsubfz  13495  fzm1  13556  eluzgtdifelfzo  13677  ubmelm1fzo  13713  elfznelfzo  13723  intfracq  13813  modsubdir  13897  modsumfzodifsn  13901  zesq  14183  bcval5  14275  ccatsymb  14540  swrdfv2  14619  ccatswrd  14626  cshwidxmod  14760  2cshwcshw  14782  cshwcsh2id  14785  fzomaxdiflem  15300  iseralt  15642  fsum0diaglem  15733  mptfzshft  15735  pwm1geoser  15829  mertenslem1  15844  fprodrev  15937  eirrlem  16166  fzocongeq  16288  3dvds  16295  modremain  16372  bitsfzolem  16398  bitsmod  16400  bitscmp  16402  bitsinv1lem  16405  sadaddlem  16430  bezoutlem3  16505  cncongr1  16631  hashdvds  16740  crth  16743  eulerthlem2  16747  prmdiveq  16751  modprm0  16771  pythagtriplem4  16785  pythagtriplem6  16787  pythagtriplem7  16788  pythagtriplem11  16791  pythagtriplem13  16793  pythagtriplem15  16795  pcqcl  16822  pcaddlem  16854  pcbc  16866  gzmulcl  16904  4sqlem5  16908  4sqlem8  16911  4sqlem11  16921  4sqlem12  16922  4sqlem14  16924  4sqlem16  16926  chnub  18583  mndodconglem  19511  sylow1lem1  19568  sylow1lem3  19570  gsummptshft  19906  ablsimpgfindlem1  20079  pzriprnglem10  21469  fermltlchr  21508  znf1o  21530  zdis  24804  plydivex  26285  aaliou3lem8  26333  basellem3  27068  bcmono  27262  bcmax  27263  bposlem1  27269  lgsmod  27308  lgsdirprm  27316  lgsqrlem2  27332  gausslemma2dlem0h  27348  gausslemma2dlem1a  27350  gausslemma2dlem5a  27355  lgseisenlem1  27360  lgseisenlem2  27361  lgsquadlem1  27365  2lgslem2  27380  2sqlem4  27406  2sqlem8  27411  2sqmod  27421  pntrlog2bndlem1  27562  crctcshwlkn0lem3  29902  crctcshwlkn0lem4  29903  crctcshwlkn0lem6  29905  crctcshwlkn0  29911  clwlkclwwlklem2a1  30084  clwlkclwwlklem2fv1  30087  clwlkclwwlklem2a4  30089  clwlkclwwlklem2a  30090  fzspl  32885  fzsplit3  32889  ltesubnnd  32919  pfxlsw2ccat  33033  wrdt2ind  33036  swrdrn3  33038  cshwrnid  33044  cycpmco2lem6  33216  cycpmco2lem7  33217  archirngz  33274  znfermltl  33453  cos9thpiminplylem2  33979  smatrcl  33992  ballotlemfp1  34688  ballotlemimin  34702  ballotlemic  34703  ballotlem1c  34704  ballotlemfrceq  34725  ballotlemfrcn0  34726  signsplypnf  34746  signslema  34758  reprsuc  34811  breprexplema  34826  breprexplemc  34828  circlemeth  34836  revpfxsfxrev  35359  bcprod  35981  fwddifnp1  36408  fzsplitnd  42482  lcmineqlem4  42532  lcmineqlem23  42551  dvrelogpow2b  42568  aks4d1p3  42578  aks4d1p7  42583  aks4d1p8  42587  aks4d1p9  42588  posbezout  42600  primrootspoweq0  42606  hashscontpow1  42621  aks6d1c2  42630  aks6d1c5lem1  42636  aks6d1c5lem3  42637  aks6d1c5lem2  42638  sticksstones10  42655  sticksstones12a  42657  sticksstones12  42658  aks6d1c6lem3  42672  bcled  42678  bcle2d  42679  aks6d1c7lem2  42681  unitscyglem2  42696  unitscyglem4  42698  unitscyglem5  42699  flt4lem3  43113  lzenom  43234  irrapxlem3  43284  pellexlem5  43293  rmspecnonsq  43367  congtr  43425  congmul  43427  congsym  43428  congrep  43433  acongrep  43440  acongeq  43443  dvdsacongtr  43444  jm2.18  43448  jm2.23  43456  jm2.20nn  43457  jm2.25  43459  jm2.26a  43460  jm2.26lem3  43461  jm2.27a  43465  jm2.27c  43467  jm3.1lem3  43479  jm3.1  43480  expdiophlem1  43481  hashnzfzclim  44781  binomcxplemnn0  44808  oddfl  45740  fmul01lt1lem2  46044  sumnnodd  46089  dvnmul  46400  dvnprodlem1  46403  dvnprodlem2  46404  stoweidlem26  46483  wallispilem4  46525  fourierdlem26  46590  fourierdlem41  46605  fourierdlem42  46606  fourierdlem48  46611  fouriersw  46688  elaa2lem  46690  etransclem3  46694  etransclem7  46698  etransclem10  46701  etransclem15  46706  etransclem20  46711  etransclem21  46712  etransclem22  46713  etransclem24  46715  etransclem25  46716  etransclem27  46718  etransclem35  46726  etransclem48  46739  2elfz2melfz  47795  m1modne  47831  minusmod5ne  47832  submodlt  47833  goldbachthlem2  48038  2pwp1prm  48081  fppr2odd  48236  fpprwpprb  48245  gpgvtx0  48558  gpgvtx1  48559  gpgedgvtx1  48567  gpg3nbgrvtx0  48581  pgnbgreunbgrlem2lem1  48619  pgnbgreunbgrlem2lem2  48620  pgnbgreunbgrlem2lem3  48621  altgsumbcALT  48858  digexp  49112  dignn0flhalflem1  49120