Theorem zsubcld 12080

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12012	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   − cmin 10859  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  eluzmn  12238  uzsubsubfz  12924  fzm1  12982  eluzgtdifelfzo  13094  ubmelm1fzo  13128  elfznelfzo  13137  intfracq  13222  modsubdir  13303  modsumfzodifsn  13307  zesq  13583  bcval5  13674  ccatsymb  13927  swrdfv2  14014  ccatswrd  14021  cshwidxmod  14156  2cshwcshw  14178  cshwcsh2id  14181  fzomaxdiflem  14694  iseralt  15033  fsum0diaglem  15123  mptfzshft  15125  pwm1geoser  15216  mertenslem1  15232  eirrlem  15549  fzocongeq  15666  3dvds  15672  modremain  15749  bitsfzolem  15773  bitsmod  15775  bitscmp  15777  bitsinv1lem  15780  sadaddlem  15805  bezoutlem3  15879  cncongr1  16001  hashdvds  16102  crth  16105  eulerthlem2  16109  prmdiveq  16113  modprm0  16132  pythagtriplem4  16146  pythagtriplem6  16148  pythagtriplem7  16149  pythagtriplem11  16152  pythagtriplem13  16154  pythagtriplem15  16156  pcqcl  16183  pcaddlem  16214  pcbc  16226  gzmulcl  16264  4sqlem5  16268  4sqlem8  16271  4sqlem11  16281  4sqlem12  16282  4sqlem14  16284  4sqlem16  16286  mndodconglem  18661  sylow1lem1  18715  sylow1lem3  18717  gsummptshft  19049  ablsimpgfindlem1  19222  znf1o  20243  zdis  23421  plydivex  24893  aaliou3lem8  24941  basellem3  25668  bcmono  25861  bcmax  25862  bposlem1  25868  lgsmod  25907  lgsdirprm  25915  lgsqrlem2  25931  gausslemma2dlem0h  25947  gausslemma2dlem1a  25949  gausslemma2dlem5a  25954  lgseisenlem1  25959  lgseisenlem2  25960  lgsquadlem1  25964  2lgslem2  25979  2sqlem4  26005  2sqlem8  26010  2sqmod  26020  pntrlog2bndlem1  26161  crctcshwlkn0lem3  27598  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0lem6  27601  crctcshwlkn0  27607  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2fv1  27780  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  fzspl  30539  fzsplit3  30543  ltesubnnd  30564  pfxlsw2ccat  30652  wrdt2ind  30653  swrdrn3  30655  cshwrnid  30661  cycpmco2lem6  30823  cycpmco2lem7  30824  archirngz  30868  smatrcl  31149  ballotlemfp1  31859  ballotlemimin  31873  ballotlemic  31874  ballotlem1c  31875  ballotlemfrceq  31896  ballotlemfrcn0  31897  signsplypnf  31930  signslema  31942  reprsuc  31996  breprexplema  32011  breprexplemc  32013  circlemeth  32021  revpfxsfxrev  32475  bcprod  33083  fwddifnp1  33739  fzsplitnd  39270  lcmineqlem4  39320  lcmineqlem23  39339  metakunt1  39350  metakunt3  39352  metakunt7  39356  metakunt15  39364  metakunt16  39365  metakunt19  39368  metakunt21  39370  metakunt22  39371  metakunt24  39373  metakunt25  39374  metakunt27  39376  metakunt28  39377  metakunt29  39378  metakunt30  39379  metakunt32  39381  metakunt33  39382  lzenom  39711  irrapxlem3  39765  pellexlem5  39774  rmspecnonsq  39848  congtr  39906  congmul  39908  congsym  39909  congrep  39914  acongrep  39921  acongeq  39924  dvdsacongtr  39925  jm2.18  39929  jm2.23  39937  jm2.20nn  39938  jm2.25  39940  jm2.26a  39941  jm2.26lem3  39942  jm2.27a  39946  jm2.27c  39948  jm3.1lem3  39960  jm3.1  39961  expdiophlem1  39962  hashnzfzclim  41026  binomcxplemnn0  41053  oddfl  41908  fmul01lt1lem2  42227  sumnnodd  42272  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  stoweidlem26  42668  wallispilem4  42710  fourierdlem26  42775  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem48  42796  fouriersw  42873  elaa2lem  42875  etransclem3  42879  etransclem7  42883  etransclem10  42886  etransclem15  42891  etransclem20  42896  etransclem21  42897  etransclem22  42898  etransclem24  42900  etransclem25  42901  etransclem27  42903  etransclem35  42911  etransclem48  42924  2elfz2melfz  43875  goldbachthlem2  44063  2pwp1prm  44106  fppr2odd  44249  fpprwpprb  44258  altgsumbcALT  44755  digexp  45021  dignn0flhalflem1  45029