Theorem zsubcld 12095

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12027	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   − cmin 10872  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  eluzmn  12253  uzsubsubfz  12932  fzm1  12990  eluzgtdifelfzo  13102  ubmelm1fzo  13136  elfznelfzo  13145  intfracq  13230  modsubdir  13311  modsumfzodifsn  13315  zesq  13590  bcval5  13681  ccatsymb  13938  swrdfv2  14025  ccatswrd  14032  cshwidxmod  14167  2cshwcshw  14189  cshwcsh2id  14192  fzomaxdiflem  14704  iseralt  15043  fsum0diaglem  15133  mptfzshft  15135  pwm1geoser  15226  mertenslem1  15242  eirrlem  15559  fzocongeq  15676  3dvds  15682  modremain  15761  bitsfzolem  15785  bitsmod  15787  bitscmp  15789  bitsinv1lem  15792  sadaddlem  15817  bezoutlem3  15891  cncongr1  16013  hashdvds  16114  crth  16117  eulerthlem2  16121  prmdiveq  16125  modprm0  16144  pythagtriplem4  16158  pythagtriplem6  16160  pythagtriplem7  16161  pythagtriplem11  16164  pythagtriplem13  16166  pythagtriplem15  16168  pcqcl  16195  pcaddlem  16226  pcbc  16238  gzmulcl  16276  4sqlem5  16280  4sqlem8  16283  4sqlem11  16293  4sqlem12  16294  4sqlem14  16296  4sqlem16  16298  mndodconglem  18671  sylow1lem1  18725  sylow1lem3  18727  gsummptshft  19058  ablsimpgfindlem1  19231  znf1o  20700  zdis  23426  plydivex  24888  aaliou3lem8  24936  basellem3  25662  bcmono  25855  bcmax  25856  bposlem1  25862  lgsmod  25901  lgsdirprm  25909  lgsqrlem2  25925  gausslemma2dlem0h  25941  gausslemma2dlem1a  25943  gausslemma2dlem5a  25948  lgseisenlem1  25953  lgseisenlem2  25954  lgsquadlem1  25958  2lgslem2  25973  2sqlem4  25999  2sqlem8  26004  2sqmod  26014  pntrlog2bndlem1  26155  crctcshwlkn0lem3  27592  crctcshwlkn0lem4  27593  crctcshwlkn0lem6  27595  crctcshwlkn0  27601  clwlkclwwlklem2a1  27772  clwlkclwwlklem2fv1  27775  clwlkclwwlklem2a4  27777  clwlkclwwlklem2a  27778  fzspl  30515  fzsplit3  30519  ltesubnnd  30540  pfxlsw2ccat  30628  wrdt2ind  30629  swrdrn3  30631  cshwrnid  30637  cycpmco2lem6  30775  cycpmco2lem7  30776  archirngz  30820  smatrcl  31063  ballotlemfp1  31751  ballotlemimin  31765  ballotlemic  31766  ballotlem1c  31767  ballotlemfrceq  31788  ballotlemfrcn0  31789  signsplypnf  31822  signslema  31834  reprsuc  31888  breprexplema  31903  breprexplemc  31905  circlemeth  31913  revpfxsfxrev  32364  bcprod  32972  fwddifnp1  33628  lzenom  39374  irrapxlem3  39428  pellexlem5  39437  rmspecnonsq  39511  congtr  39569  congmul  39571  congsym  39572  congrep  39577  acongrep  39584  acongeq  39587  dvdsacongtr  39588  jm2.18  39592  jm2.23  39600  jm2.20nn  39601  jm2.25  39603  jm2.26a  39604  jm2.26lem3  39605  jm2.27a  39609  jm2.27c  39611  jm3.1lem3  39623  jm3.1  39624  expdiophlem1  39625  hashnzfzclim  40661  binomcxplemnn0  40688  oddfl  41550  fmul01lt1lem2  41873  sumnnodd  41918  dvnmul  42235  dvnprodlem1  42238  dvnprodlem2  42239  stoweidlem26  42318  wallispilem4  42360  fourierdlem26  42425  fourierdlem41  42440  fourierdlem42  42441  fourierdlem48  42446  fouriersw  42523  elaa2lem  42525  etransclem3  42529  etransclem7  42533  etransclem10  42536  etransclem15  42541  etransclem20  42546  etransclem21  42547  etransclem22  42548  etransclem24  42550  etransclem25  42551  etransclem27  42553  etransclem35  42561  etransclem48  42574  2elfz2melfz  43525  goldbachthlem2  43715  2pwp1prm  43758  fppr2odd  43903  fpprwpprb  43912  altgsumbcALT  44408  digexp  44674  dignn0flhalflem1  44682