Theorem zsubcld 12633

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12564	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362   − cmin 11372  ℤcz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520

This theorem is referenced by:  eluzmn  12790  eluzsub  12813  uzsubsubfz  13495  fzm1  13556  eluzgtdifelfzo  13677  ubmelm1fzo  13713  elfznelfzo  13723  intfracq  13813  modsubdir  13897  modsumfzodifsn  13901  zesq  14183  bcval5  14275  ccatsymb  14540  swrdfv2  14619  ccatswrd  14626  cshwidxmod  14760  2cshwcshw  14782  cshwcsh2id  14785  fzomaxdiflem  15300  iseralt  15642  fsum0diaglem  15733  mptfzshft  15735  pwm1geoser  15829  mertenslem1  15844  fprodrev  15937  eirrlem  16166  fzocongeq  16288  3dvds  16295  modremain  16372  bitsfzolem  16398  bitsmod  16400  bitscmp  16402  bitsinv1lem  16405  sadaddlem  16430  bezoutlem3  16505  cncongr1  16631  hashdvds  16740  crth  16743  eulerthlem2  16747  prmdiveq  16751  modprm0  16771  pythagtriplem4  16785  pythagtriplem6  16787  pythagtriplem7  16788  pythagtriplem11  16791  pythagtriplem13  16793  pythagtriplem15  16795  pcqcl  16822  pcaddlem  16854  pcbc  16866  gzmulcl  16904  4sqlem5  16908  4sqlem8  16911  4sqlem11  16921  4sqlem12  16922  4sqlem14  16924  4sqlem16  16926  chnub  18583  mndodconglem  19511  sylow1lem1  19568  sylow1lem3  19570  gsummptshft  19906  ablsimpgfindlem1  20079  pzriprnglem10  21484  fermltlchr  21523  znf1o  21545  zdis  24796  plydivex  26278  aaliou3lem8  26326  basellem3  27064  bcmono  27258  bcmax  27259  bposlem1  27265  lgsmod  27304  lgsdirprm  27312  lgsqrlem2  27328  gausslemma2dlem0h  27344  gausslemma2dlem1a  27346  gausslemma2dlem5a  27351  lgseisenlem1  27356  lgseisenlem2  27357  lgsquadlem1  27361  2lgslem2  27376  2sqlem4  27402  2sqlem8  27407  2sqmod  27417  pntrlog2bndlem1  27558  crctcshwlkn0lem3  29899  crctcshwlkn0lem4  29900  crctcshwlkn0lem6  29902  crctcshwlkn0  29908  clwlkclwwlklem2a1  30081  clwlkclwwlklem2fv1  30084  clwlkclwwlklem2a4  30086  clwlkclwwlklem2a  30087  fzspl  32881  fzsplit3  32885  ltesubnnd  32915  pfxlsw2ccat  33029  wrdt2ind  33032  swrdrn3  33034  cshwrnid  33040  cycpmco2lem6  33211  cycpmco2lem7  33212  archirngz  33269  znfermltl  33445  cos9thpiminplylem2  33947  smatrcl  33960  ballotlemfp1  34656  ballotlemimin  34670  ballotlemic  34671  ballotlem1c  34672  ballotlemfrceq  34693  ballotlemfrcn0  34694  signsplypnf  34714  signslema  34726  reprsuc  34779  breprexplema  34794  breprexplemc  34796  circlemeth  34804  revpfxsfxrev  35318  bcprod  35940  fwddifnp1  36367  fzsplitnd  42441  lcmineqlem4  42491  lcmineqlem23  42510  dvrelogpow2b  42527  aks4d1p3  42537  aks4d1p7  42542  aks4d1p8  42546  aks4d1p9  42547  posbezout  42559  primrootspoweq0  42565  hashscontpow1  42580  aks6d1c2  42589  aks6d1c5lem1  42595  aks6d1c5lem3  42596  aks6d1c5lem2  42597  sticksstones10  42614  sticksstones12a  42616  sticksstones12  42617  aks6d1c6lem3  42631  bcled  42637  bcle2d  42638  aks6d1c7lem2  42640  unitscyglem2  42655  unitscyglem4  42657  unitscyglem5  42658  flt4lem3  43101  lzenom  43222  irrapxlem3  43276  pellexlem5  43285  rmspecnonsq  43359  congtr  43417  congmul  43419  congsym  43420  congrep  43425  acongrep  43432  acongeq  43435  dvdsacongtr  43436  jm2.18  43440  jm2.23  43448  jm2.20nn  43449  jm2.25  43451  jm2.26a  43452  jm2.26lem3  43453  jm2.27a  43457  jm2.27c  43459  jm3.1lem3  43471  jm3.1  43472  expdiophlem1  43473  hashnzfzclim  44773  binomcxplemnn0  44800  oddfl  45735  fmul01lt1lem2  46039  sumnnodd  46084  dvnmul  46395  dvnprodlem1  46398  dvnprodlem2  46399  stoweidlem26  46478  wallispilem4  46520  fourierdlem26  46585  fourierdlem41  46600  fourierdlem42  46601  fourierdlem48  46606  fouriersw  46683  elaa2lem  46685  etransclem3  46689  etransclem7  46693  etransclem10  46696  etransclem15  46701  etransclem20  46706  etransclem21  46707  etransclem22  46708  etransclem24  46710  etransclem25  46711  etransclem27  46713  etransclem35  46721  etransclem48  46734  2elfz2melfz  47784  m1modne  47820  minusmod5ne  47821  submodlt  47822  goldbachthlem2  48027  2pwp1prm  48070  fppr2odd  48225  fpprwpprb  48234  gpgvtx0  48547  gpgvtx1  48548  gpgedgvtx1  48556  gpg3nbgrvtx0  48570  pgnbgreunbgrlem2lem1  48608  pgnbgreunbgrlem2lem2  48609  pgnbgreunbgrlem2lem3  48610  altgsumbcALT  48847  digexp  49101  dignn0flhalflem1  49109