Theorem zsubcld 12705

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12636	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   − cmin 11441  ℤcz 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592

This theorem is referenced by:  eluzmn  12869  eluzsub  12892  uzsubsubfz  13574  fzm1  13635  eluzgtdifelfzo  13756  ubmelm1fzo  13792  elfznelfzo  13802  intfracq  13892  modsubdir  13976  modsumfzodifsn  13980  zesq  14262  bcval5  14354  ccatsymb  14620  swrdfv2  14699  ccatswrd  14706  cshwidxmod  14840  2cshwcshw  14862  cshwcsh2id  14865  fzomaxdiflem  15394  iseralt  15736  fsum0diaglem  15827  mptfzshft  15829  pwm1geoser  15923  mertenslem1  15938  fprodrev  16031  eirrlem  16260  fzocongeq  16382  3dvds  16389  modremain  16466  bitsfzolem  16492  bitsmod  16494  bitscmp  16496  bitsinv1lem  16499  sadaddlem  16524  bezoutlem3  16599  cncongr1  16725  hashdvds  16834  crth  16837  eulerthlem2  16841  prmdiveq  16845  modprm0  16865  pythagtriplem4  16879  pythagtriplem6  16881  pythagtriplem7  16882  pythagtriplem11  16885  pythagtriplem13  16887  pythagtriplem15  16889  pcqcl  16916  pcaddlem  16948  pcbc  16960  gzmulcl  16998  4sqlem5  17002  4sqlem8  17005  4sqlem11  17015  4sqlem12  17016  4sqlem14  17018  4sqlem16  17020  chnub  18678  mndodconglem  19611  sylow1lem1  19668  sylow1lem3  19670  gsummptshft  20006  ablsimpgfindlem1  20179  pzriprnglem10  21609  fermltlchr  21648  znf1o  21670  zdis  24943  plydivex  26427  aaliou3lem8  26475  basellem3  27213  bcmono  27407  bcmax  27408  bposlem1  27414  lgsmod  27453  lgsdirprm  27461  lgsqrlem2  27477  gausslemma2dlem0h  27493  gausslemma2dlem1a  27495  gausslemma2dlem5a  27500  lgseisenlem1  27505  lgseisenlem2  27506  lgsquadlem1  27510  2lgslem2  27525  2sqlem4  27551  2sqlem8  27556  2sqmod  27566  pntrlog2bndlem1  27707  crctcshwlkn0lem3  30102  crctcshwlkn0lem4  30103  crctcshwlkn0lem6  30105  crctcshwlkn0  30111  clwlkclwwlklem2a1  30284  clwlkclwwlklem2fv1  30287  clwlkclwwlklem2a4  30289  clwlkclwwlklem2a  30290  fzspl  33075  fzsplit3  33079  ltesubnnd  33108  pfxlsw2ccat  33211  wrdt2ind  33214  swrdrn3  33216  cshwrnid  33222  cycpmco2lem6  33392  cycpmco2lem7  33393  archirngz  33450  znfermltl  33624  cos9thpiminplylem2  34118  smatrcl  34131  ballotlemfp1  34827  ballotlemimin  34841  ballotlemic  34842  ballotlem1c  34843  ballotlemfrceq  34864  ballotlemfrcn0  34865  signsplypnf  34882  signslema  34894  reprsuc  34947  breprexplema  34962  breprexplemc  34964  circlemeth  34972  revpfxsfxrev  35540  bcprod  36163  fwddifnp1  36590  fzsplitnd  42674  lcmineqlem4  42724  lcmineqlem23  42743  dvrelogpow2b  42760  aks4d1p3  42770  aks4d1p7  42775  aks4d1p8  42779  aks4d1p9  42780  posbezout  42792  primrootspoweq0  42798  hashscontpow1  42813  aks6d1c2  42822  aks6d1c5lem1  42828  aks6d1c5lem3  42829  aks6d1c5lem2  42830  sticksstones10  42847  sticksstones12a  42849  sticksstones12  42850  aks6d1c6lem3  42864  bcled  42870  bcle2d  42871  aks6d1c7lem2  42873  unitscyglem2  42888  unitscyglem4  42890  unitscyglem5  42891  flt4lem3  43307  lzenom  43428  irrapxlem3  43478  pellexlem5  43487  rmspecnonsq  43561  congtr  43619  congmul  43621  congsym  43622  congrep  43627  acongrep  43634  acongeq  43637  dvdsacongtr  43638  jm2.18  43642  jm2.23  43650  jm2.20nn  43651  jm2.25  43653  jm2.26a  43654  jm2.26lem3  43655  jm2.27a  43659  jm2.27c  43661  jm3.1lem3  43673  jm3.1  43674  expdiophlem1  43675  hashnzfzclim  44959  binomcxplemnn0  44986  oddfl  45924  fmul01lt1lem2  46228  sumnnodd  46273  dvnmul  46584  dvnprodlem1  46587  dvnprodlem2  46588  stoweidlem26  46667  wallispilem4  46709  fourierdlem26  46774  fourierdlem41  46789  fourierdlem42  46790  fourierdlem48  46795  fouriersw  46872  elaa2lem  46874  etransclem3  46878  etransclem7  46882  etransclem10  46885  etransclem15  46890  etransclem20  46895  etransclem21  46896  etransclem22  46897  etransclem24  46899  etransclem25  46900  etransclem27  46902  etransclem35  46910  etransclem48  46923  2elfz2melfz  47979  m1modne  48015  minusmod5ne  48016  submodlt  48017  goldbachthlem2  48222  2pwp1prm  48265  fppr2odd  48420  fpprwpprb  48429  gpgvtx0  48742  gpgvtx1  48743  gpgedgvtx1  48751  gpg3nbgrvtx0  48765  pgnbgreunbgrlem2lem1  48803  pgnbgreunbgrlem2lem2  48804  pgnbgreunbgrlem2lem3  48805  altgsumbcALT  49053  digexp  49307  dignn0flhalflem1  49315