Theorem zsubcld 12360

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
zaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zsubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		zaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   − cmin 11135  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  eluzmn  12518  uzsubsubfz  13207  fzm1  13265  eluzgtdifelfzo  13377  ubmelm1fzo  13411  elfznelfzo  13420  intfracq  13507  modsubdir  13588  modsumfzodifsn  13592  zesq  13869  bcval5  13960  ccatsymb  14215  swrdfv2  14302  ccatswrd  14309  cshwidxmod  14444  2cshwcshw  14466  cshwcsh2id  14469  fzomaxdiflem  14982  iseralt  15324  fsum0diaglem  15416  mptfzshft  15418  pwm1geoser  15509  mertenslem1  15524  fprodrev  15615  eirrlem  15841  fzocongeq  15961  3dvds  15968  modremain  16045  bitsfzolem  16069  bitsmod  16071  bitscmp  16073  bitsinv1lem  16076  sadaddlem  16101  bezoutlem3  16177  cncongr1  16300  hashdvds  16404  crth  16407  eulerthlem2  16411  prmdiveq  16415  modprm0  16434  pythagtriplem4  16448  pythagtriplem6  16450  pythagtriplem7  16451  pythagtriplem11  16454  pythagtriplem13  16456  pythagtriplem15  16458  pcqcl  16485  pcaddlem  16517  pcbc  16529  gzmulcl  16567  4sqlem5  16571  4sqlem8  16574  4sqlem11  16584  4sqlem12  16585  4sqlem14  16587  4sqlem16  16589  mndodconglem  19064  sylow1lem1  19118  sylow1lem3  19120  gsummptshft  19452  ablsimpgfindlem1  19625  znf1o  20671  zdis  23885  plydivex  25362  aaliou3lem8  25410  basellem3  26137  bcmono  26330  bcmax  26331  bposlem1  26337  lgsmod  26376  lgsdirprm  26384  lgsqrlem2  26400  gausslemma2dlem0h  26416  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem5a  26423  lgseisenlem1  26428  lgseisenlem2  26429  lgsquadlem1  26433  2lgslem2  26448  2sqlem4  26474  2sqlem8  26479  2sqmod  26489  pntrlog2bndlem1  26630  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem4  28079  crctcshwlkn0lem6  28081  crctcshwlkn0  28087  clwlkclwwlklem2a1  28257  clwlkclwwlklem2fv1  28260  clwlkclwwlklem2a4  28262  clwlkclwwlklem2a  28263  fzspl  31013  fzsplit3  31017  ltesubnnd  31038  pfxlsw2ccat  31126  wrdt2ind  31127  swrdrn3  31129  cshwrnid  31135  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2lem7  31301  archirngz  31345  znfermltl  31464  smatrcl  31648  ballotlemfp1  32358  ballotlemimin  32372  ballotlemic  32373  ballotlem1c  32374  ballotlemfrceq  32395  ballotlemfrcn0  32396  signsplypnf  32429  signslema  32441  reprsuc  32495  breprexplema  32510  breprexplemc  32512  circlemeth  32520  revpfxsfxrev  32977  bcprod  33610  fwddifnp1  34394  fzsplitnd  39919  lcmineqlem4  39968  lcmineqlem23  39987  dvrelogpow2b  40004  aks4d1p3  40014  aks4d1p7  40019  aks4d1p8  40023  aks4d1p9  40024  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  metakunt1  40053  metakunt3  40055  metakunt7  40059  metakunt15  40067  metakunt16  40068  metakunt19  40071  metakunt21  40073  metakunt22  40074  metakunt24  40076  metakunt25  40077  metakunt27  40079  metakunt28  40080  metakunt29  40081  metakunt30  40082  metakunt32  40084  metakunt33  40085  flt4lem3  40401  lzenom  40508  irrapxlem3  40562  pellexlem5  40571  rmspecnonsq  40645  congtr  40703  congmul  40705  congsym  40706  congrep  40711  acongrep  40718  acongeq  40721  dvdsacongtr  40722  jm2.18  40726  jm2.23  40734  jm2.20nn  40735  jm2.25  40737  jm2.26a  40738  jm2.26lem3  40739  jm2.27a  40743  jm2.27c  40745  jm3.1lem3  40757  jm3.1  40758  expdiophlem1  40759  hashnzfzclim  41829  binomcxplemnn0  41856  oddfl  42705  fmul01lt1lem2  43016  sumnnodd  43061  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  stoweidlem26  43457  wallispilem4  43499  fourierdlem26  43564  fourierdlem41  43579  fourierdlem42  43580  fourierdlem48  43585  fouriersw  43662  elaa2lem  43664  etransclem3  43668  etransclem7  43672  etransclem10  43675  etransclem15  43680  etransclem20  43685  etransclem21  43686  etransclem22  43687  etransclem24  43689  etransclem25  43690  etransclem27  43692  etransclem35  43700  etransclem48  43713  2elfz2melfz  44698  goldbachthlem2  44886  2pwp1prm  44929  fppr2odd  45071  fpprwpprb  45080  altgsumbcALT  45577  digexp  45841  dignn0flhalflem1  45849