Theorem dvlem 25853

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		dvlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	3, 4	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	3, 7	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 7	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	12, 13, 15	subne0d 11501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
17	9, 14, 16	divcld 11917	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
18	1, 17	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   − cmin 11364   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  perfdvf  25860  dvreslem  25866  dvcnp  25876  dvcnp2  25877  dvcnp2OLD  25878  dvaddbr  25896  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  dvcobr  25905  dvcobrOLD  25906  dvcjbr  25909  dvcnvlem  25936  dvferm1  25945  dvferm2  25947  ftc1lem6  26004  ulmdvlem3  26367  unbdqndv1  36708  ftc1cnnc  37893  fperdvper  46163