Theorem dvlem 25844

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4739	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		dvlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	3, 4	ffvelcdmd 7027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	3, 7	ffvelcdmd 7027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 11483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 7	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	12, 13, 15	subne0d 11492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
17	9, 14, 16	divcld 11908	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
18	1, 17	sylan2b 594	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11015   − cmin 11355   / cdiv 11785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786

This theorem is referenced by:  perfdvf  25851  dvreslem  25857  dvcnp  25867  dvcnp2  25868  dvcnp2OLD  25869  dvaddbr  25887  dvmulbr  25888  dvmulbrOLD  25889  dvcobr  25896  dvcobrOLD  25897  dvcjbr  25900  dvcnvlem  25927  dvferm1  25936  dvferm2  25938  ftc1lem6  25995  ulmdvlem3  26358  unbdqndv1  36624  ftc1cnnc  37805  fperdvper  46079