Theorem dvlem 24496

Description: Closure for a difference quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
dvlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
dvlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dvlem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Proof of Theorem dvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4721	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		dvlem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
3	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
4		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝐷)
5	3, 4	ffvelrnd 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
6		dvlem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
7	6	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝐷)
8	3, 7	ffvelrnd 6854	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
9	5, 8	subcld 10999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
10		dvlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
12	11, 4	sseldd 3970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	11, 7	sseldd 3970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 10999	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
16	12, 13, 15	subne0d 11008	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
17	9, 14, 16	divcld 11418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
18	1, 17	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐷 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝐵)) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935   ⊆ wss 3938  {csn 4569  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   − cmin 10872   / cdiv 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by:  perfdvf  24503  dvreslem  24509  dvcnp  24518  dvcnp2  24519  dvaddbr  24537  dvmulbr  24538  dvcobr  24545  dvcjbr  24548  dvcnvlem  24575  dvferm1  24584  dvferm2  24586  ftc1lem6  24640  ulmdvlem3  24992  unbdqndv1  33849  ftc1cnnc  34968  fperdvper  42210