MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvfval 25746
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvfval ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑧   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑧)
Proof of Theorem dvfval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25716 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43oveq1i 7422 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt 𝑠) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠)
5 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = (𝐾 β†Ύt 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
86, 7eqtr4di 2789 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2785 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 6895 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜π‘‡))
11 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 5905 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413fdmd 6728 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 6898 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄))
1715difeq1d 4121 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) = (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
1811fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
1911fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2018, 19oveq12d 7430 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2120oveq1d 7427 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
2217, 21mpteq12dv 5239 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
2322oveq1d 7427 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
2423xpeq2d 5706 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
2516, 24iuneq12d 5025 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
26 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 7428 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
28 simp1 1135 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 cnex 11197 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3029elpw2 5345 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
3128, 30sylibr 233 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
3229a1i 11 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ β„‚ ∈ V)
33 simp2 1136 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
34 simp3 1137 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
35 elpm2r 8845 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 836 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
37 limccl 25724 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
38 xpss2 5696 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚ β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
4039rgenw 3064 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
41 ss2iun 5015 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚)
43 iunxpconst 5748 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
4442, 43sseqtri 4018 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
4544a1i 11 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
46 fvex 6904 . . . . . 6 ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ V
4746, 29xpex 7744 . . . . 5 (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V
4847ssex 5321 . . . 4 (βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
4945, 48syl 17 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
502, 25, 27, 31, 36, 49ovmpodx 7562 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5150, 45eqsstrd 4020 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
5250, 51jca 511 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑pm cpm 8827  β„‚cc 11114   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21233  intcnt 22841   limβ„‚ climc 25711   D cdv 25712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-bases 22769  df-cnp 23052  df-xms 24146  df-ms 24147  df-limc 25715  df-dv 25716
This theorem is referenced by:  eldv  25747  dvbssntr  25749
  Copyright terms: Public domain W3C validator