MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvfval 25406
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
dvfval ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑧   π‘₯,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑧   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑧)
Proof of Theorem dvfval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25376 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
43oveq1i 7416 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt 𝑠) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠)
5 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 7422 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = (𝐾 β†Ύt 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
86, 7eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2787 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 6893 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜π‘‡))
11 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 5904 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413fdmd 6726 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 6896 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄))
1715difeq1d 4121 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) = (𝐴 βˆ– {π‘₯}))
1811fveq1d 6891 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
1911fveq1d 6891 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2018, 19oveq12d 7424 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2120oveq1d 7421 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
2217, 21mpteq12dv 5239 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
2322oveq1d 7421 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
2423xpeq2d 5706 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
2516, 24iuneq12d 5025 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
26 simpr 486 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 7422 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
28 simp1 1137 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 cnex 11188 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3029elpw2 5345 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
3128, 30sylibr 233 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
3229a1i 11 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ β„‚ ∈ V)
33 simp2 1138 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
34 simp3 1139 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
35 elpm2r 8836 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 838 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
37 limccl 25384 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
38 xpss2 5696 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚ β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
4039rgenw 3066 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
41 ss2iun 5015 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚)
43 iunxpconst 5747 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
4442, 43sseqtri 4018 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
4544a1i 11 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
46 fvex 6902 . . . . . 6 ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ V
4746, 29xpex 7737 . . . . 5 (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V
4847ssex 5321 . . . 4 (βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
4945, 48syl 17 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
502, 25, 27, 31, 36, 49ovmpodx 7556 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5150, 45eqsstrd 4020 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
5250, 51jca 513 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ (𝐴 βˆ– {π‘₯}) ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑pm cpm 8818  β„‚cc 11105   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  β„‚fldccnfld 20937  intcnt 22513   limβ„‚ climc 25371   D cdv 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cnp 22724  df-xms 23818  df-ms 23819  df-limc 25375  df-dv 25376
This theorem is referenced by:  eldv  25407  dvbssntr  25409
  Copyright terms: Public domain W3C validator