MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfval 25952
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvfval ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑧)

Proof of Theorem dvfval
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 25922 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21a1i 11 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43oveq1i 7458 . . . . . . 7 (𝐾t 𝑠) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)
5 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 7464 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝐾t 𝑠) = (𝐾t 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
86, 7eqtr4di 2798 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝐾t 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2794 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 6924 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)) = (int‘𝑇))
11 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 5930 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1413fdmd 6757 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2780 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 6927 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘𝑇)‘𝐴))
1715difeq1d 4148 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑥}))
1811fveq1d 6922 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
1911fveq1d 6922 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2018, 19oveq12d 7466 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
2120oveq1d 7463 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
2217, 21mpteq12dv 5257 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
2322oveq1d 7463 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
2423xpeq2d 5730 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
2516, 24iuneq12d 5044 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
26 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 7464 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
28 simp1 1136 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29 cnex 11265 . . . . 5 ℂ ∈ V
3029elpw2 5352 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3128, 30sylibr 234 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3229a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ℂ ∈ V)
33 simp2 1137 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34 simp3 1138 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
35 elpm2r 8903 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 838 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37 limccl 25930 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ⊆ ℂ
38 xpss2 5720 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ⊆ ℂ → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
4039rgenw 3071 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
41 ss2iun 5033 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ)
43 iunxpconst 5772 . . . . . 6 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ) = (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
4442, 43sseqtri 4045 . . . . 5 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
4544a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
46 fvex 6933 . . . . . 6 ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ V
4746, 29xpex 7788 . . . . 5 (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V
4847ssex 5339 . . . 4 ( 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∈ V)
4945, 48syl 17 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∈ V)
502, 25, 27, 31, 36, 49ovmpodx 7601 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
5150, 45eqsstrd 4047 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
5250, 51jca 511 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wral 3067  Vcvv 3488  cdif 3973  wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   ciun 5015  cmpt 5249   × cxp 5698  dom cdm 5700  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  cmpo 7450  pm cpm 8885  cc 11182  cmin 11520   / cdiv 11947  t crest 17480  TopOpenctopn 17481  fldccnfld 21387  intcnt 23046   lim climc 25917   D cdv 25918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cnp 23257  df-xms 24351  df-ms 24352  df-limc 25921  df-dv 25922
This theorem is referenced by:  eldv  25953  dvbssntr  25955
  Copyright terms: Public domain W3C validator