Theorem dvfval 25261

Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvfval	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑧)

Proof of Theorem dvfval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 25231	. . . 4 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
3		dvval.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑠) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)
5		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑠 = 𝑆)
6	5	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = (𝐾 ↾t 𝑆))
7		dvval.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8	6, 7	eqtr4di 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = 𝑇)
9	4, 8	eqtr3id 2790	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠) = 𝑇)
10	9	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)) = (int‘𝑇))
11		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑓 = 𝐹)
12	11	dmeqd 5861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
13		simpl2 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	fdmd 6679	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = 𝐴)
16	10, 15	fveq12d 6849	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘𝑇)‘𝐴))
17	15	difeq1d 4081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	11	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
19	11	fveq1d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
20	18, 19	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
21	20	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
22	17, 21	mpteq12dv 5196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
23	22	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
24	23	xpeq2d 5663	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
25	16, 24	iuneq12d 4982	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
26		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
27	26	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
28		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29		cnex 11132	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	elpw2 5302	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
31	28, 30	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
32	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ℂ ∈ V)
33		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
35		elpm2r 8783	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	32, 31, 33, 34, 35	syl22anc 837	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		limccl 25239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
38		xpss2 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
40	39	rgenw 3068	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
41		ss2iun 4972	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ)
43		iunxpconst 5704	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ) = (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
44	42, 43	sseqtri 3980	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
46		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ V
47	46, 29	xpex 7687	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V
48	47	ssex 5278	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
49	45, 48	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
50	2, 25, 27, 31, 36, 49	ovmpodx 7506	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
51	50, 45	eqsstrd 3982	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
52	50, 51	jca 512	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586  ∪ ciun 4954   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_pm cpm 8766  ℂcc 11049   − cmin 11385   / cdiv 11812   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  intcnt 22368   lim_ℂ climc 25226   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  eldv  25262  dvbssntr  25264