Theorem dvfval 25932

Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
dvfval	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐴   𝑥,𝐹,𝑧   𝑥,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑧)

Proof of Theorem dvfval

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dv 25902	. . . 4 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
3		dvval.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
4	3	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑠) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)
5		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑠 = 𝑆)
6	5	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = (𝐾 ↾t 𝑆))
7		dvval.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8	6, 7	eqtr4di 2795	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = 𝑇)
9	4, 8	eqtr3id 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠) = 𝑇)
10	9	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠)) = (int‘𝑇))
11		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑓 = 𝐹)
12	11	dmeqd 5916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
13		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	fdmd 6746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = 𝐴)
16	10, 15	fveq12d 6913	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘𝑇)‘𝐴))
17	15	difeq1d 4125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) = (𝐴 ∖ {𝑥}))
18	11	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
19	11	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
20	18, 19	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
21	20	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
22	17, 21	mpteq12dv 5233	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
23	22	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
24	23	xpeq2d 5715	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
25	16, 24	iuneq12d 5021	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
27	26	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
28		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29		cnex 11236	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	elpw2 5334	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
31	28, 30	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
32	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ℂ ∈ V)
33		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
35		elpm2r 8885	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	32, 31, 33, 34, 35	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		limccl 25910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
38		xpss2 5705	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
40	39	rgenw 3065	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
41		ss2iun 5010	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ)
43		iunxpconst 5758	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ) = (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
44	42, 43	sseqtri 4032	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
46		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ V
47	46, 29	xpex 7773	. . . . 5 ⊢ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V
48	47	ssex 5321	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
49	45, 48	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
50	2, 25, 27, 31, 36, 49	ovmpodx 7584	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
51	50, 45	eqsstrd 4018	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
52	50, 51	jca 511	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ∪ ciun 4991   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153   − cmin 11492   / cdiv 11920   ↾_t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ℂ_fldccnfld 21364  intcnt 23025   lim_ℂ climc 25897   D cdv 25898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-xms 24330  df-ms 24331  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  eldv  25933  dvbssntr  25935