gg-dvcnp2 - Mathbox for Gino Giotto

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Theorem gg-dvcnp2 35163

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11187. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gg-dvcnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
gg-dvcnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)

**Assertion**
Ref	Expression
gg-dvcnp2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem gg-dvcnp2 Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3		gg-dvcnp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
4	3	cnfldtop 24292	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		cnex 11188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9		resttop 22656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
10	4, 8, 9	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
11		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12	3	cnfldtopon 24291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 22657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		toponuni 22408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
17	11, 16	sseqtrd 4022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
18		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)
19	18	ntrss2 22553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
20	10, 17, 19	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ↾_t 𝑆) = (𝐾 ↾_t 𝑆)
22		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
23		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
26	21, 3, 22, 23, 24, 25	eldv 25407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
27	26	simprbda 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
28	20, 27	sseldd 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
29	1, 28	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
30	29	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
31	2, 30	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
32		ssidd 4005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
33		txtopon 23087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
34	12, 12, 33	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
35	34	toponrestid 22415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) = ((𝐾 ×_t 𝐾) ↾_t (ℂ × ℂ))
36	11, 5	sstrd 3992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵)))
38	21, 3, 37, 23, 24, 25	eldv 25407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
39	38	simprbda 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
40	20, 39	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
41	1, 36, 40	dvlem 25405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
42	36	ssdifssd 4142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
43	42	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
44	36, 40	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	43, 45	subcld 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	26	simplbda 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
48		limcresi 25394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵)
49		difss 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
50		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵))
52	51	oveq1i 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
53	48, 52	sseqtri 4018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
54	44	subidd 11556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
55		ssid 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
56		cncfmptid 24421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
57	36, 55, 56	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
58		cncfmptc 24420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
59	44, 36, 32, 58	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
60	57, 59	subcncf 24954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
61		oveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
62	60, 40, 61	cnmptlimc 25399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
63	54, 62	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
64	53, 63	sselid 3980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
65	3	mpomulcn 35151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
66	23, 24, 25	dvcl 25408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
67		0cn 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
68		opelxpi 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	66, 67, 68	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
70	34	toponunii 22410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐾 ×_t 𝐾)
71	70	cncnpi 22774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
72	65, 69, 71	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
73	41, 46, 32, 32, 3, 35, 47, 64, 72	limccnp2 25401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
74		df-mpt 5232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))}
75	74	oveq1i 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵)
76	73, 75	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵))
77		0cnd 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ℂ)
78		ovmul 35149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
79	66, 77, 78	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
80	1, 36, 28	dvlem 25405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
81	36, 28	sseldd 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	81	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	43, 82	subcld 11568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
84		ovmul 35149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
85	80, 83, 84	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
86	85	eqeq2d 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) ↔ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
87	86	pm5.32da 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))))
88	87	opabbidv 5214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))})
89		df-mpt 5232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))}
90	88, 89	eqtr4di 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
91	90	oveq1d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
92	76, 79, 91	3eltr3d 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
93	66	mul01d 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
94	1	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
95		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
96	49, 95	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	94, 96	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
98	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
99	97, 98	subcld 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
100		eldifsni 4793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧 ≠ 𝐵)
101	100	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ≠ 𝐵)
102	43, 82, 101	subne0d 11577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ≠ 0)
103	99, 83, 102	divcan1d 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
104	103	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
105	104	oveq1d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
106	92, 93, 105	3eltr3d 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
107	31	fmpttd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))):𝐴⟶ℂ)
108	107	limcdif 25385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵))
109		resmpt 6036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
110	49, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
111	110	oveq1i 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵)
112	108, 111	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
113	106, 112	eleqtrrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
114		cncfmptc 24420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	29, 36, 32, 114	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
116		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
117	115, 28, 116	cnmptlimc 25399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
118	3	addcn 24373	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
119		opelxpi 5713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
120	67, 29, 119	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
121	70	cncnpi 22774	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
122	118, 120, 121	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
123	31, 30, 32, 32, 3, 35, 113, 117, 122	limccnp2 25401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
124	29	addlidd 11412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
125	2, 30	npcand 11572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝑧))
126	125	mpteq2dva 5248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
127	1	feqmptd 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
128	126, 127	eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = 𝐹)
129	128	oveq1d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
130	123, 124, 129	3eltr3d 2848	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
131		gg-dvcnp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
132	3, 131	cnplimc 25396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
133	36, 28, 132	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
134	1, 130, 133	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
135	134	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
136	135	exlimdv 1937	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
137		eldmg 5897	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
138	137	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
139	136, 138	impel 507	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∃wex 1782 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 Vcvv 3475 ∖ cdif 3945 ⊆ wss 3948 {csn 4628 ⟨cop 4634 ∪ cuni 4908 class class class wbr 5148 {copab 5210 ↦ cmpt 5231 × cxp 5674 dom cdm 5676 ↾ cres 5678 ⟶wf 6537 ‘cfv 6541 (class class class)co 7406 ∈ cmpo 7408 ℂcc 11105 0cc0 11107 + caddc 11110 · cmul 11112 − cmin 11441 / cdiv 11868 ↾_t crest 17363 TopOpenctopn 17364 ℂ_fldccnfld 20937 Topctop 22387 TopOnctopon 22404 intcnt 22513 Cn ccn 22720 CnP ccnp 22721 ×_t ctx 23056 –cn→ccncf 24384 lim_ℂ climc 25371 D cdv 25372

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-isom 6550 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7972 df-2nd 7973 df-supp 8144 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-1o 8463 df-2o 8464 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11869 df-nn 12210 df-2 12272 df-3 12273 df-4 12274 df-5 12275 df-6 12276 df-7 12277 df-8 12278 df-9 12279 df-n0 12470 df-z 12556 df-dec 12675 df-uz 12820 df-q 12930 df-rp 12972 df-xneg 13089 df-xadd 13090 df-xmul 13091 df-icc 13328 df-fz 13482 df-fzo 13625 df-seq 13964 df-exp 14025 df-hash 14288 df-cj 15043 df-re 15044 df-im 15045 df-sqrt 15179 df-abs 15180 df-struct 17077 df-sets 17094 df-slot 17112 df-ndx 17124 df-base 17142 df-ress 17171 df-plusg 17207 df-mulr 17208 df-starv 17209 df-sca 17210 df-vsca 17211 df-ip 17212 df-tset 17213 df-ple 17214 df-ds 17216 df-unif 17217 df-hom 17218 df-cco 17219 df-rest 17365 df-topn 17366 df-0g 17384 df-gsum 17385 df-topgen 17386 df-pt 17387 df-prds 17390 df-xrs 17445 df-qtop 17450 df-imas 17451 df-xps 17453 df-mre 17527 df-mrc 17528 df-acs 17530 df-mgm 18558 df-sgrp 18607 df-mnd 18623 df-submnd 18669 df-mulg 18946 df-cntz 19176 df-cmn 19645 df-psmet 20929 df-xmet 20930 df-met 20931 df-bl 20932 df-mopn 20933 df-cnfld 20938 df-top 22388 df-topon 22405 df-topsp 22427 df-bases 22441 df-ntr 22516 df-cn 22723 df-cnp 22724 df-tx 23058 df-hmeo 23251 df-xms 23818 df-ms 23819 df-tms 23820 df-cncf 24386 df-limc 25375 df-dv 25376

This theorem is referenced by: gg-dvmulbr 35164 gg-dvcobr 35165

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