MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnp2 25970
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11233. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
dvcnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcnp2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 24820 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
5 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 cnex 11234 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
7 ssexg 5329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9 resttop 23184 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
104, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
11 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴𝑆)
123cnfldtopon 24819 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 23185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 5, 13sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15 toponuni 22936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1711, 16sseqtrd 4036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 (𝐾t 𝑆))
18 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
1918ntrss2 23081 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2010, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
22 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
23 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
2621, 3, 22, 23, 24, 25eldv 25948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))))
2726simprbda 498 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
2820, 27sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
291, 28ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
312, 30subcld 11618 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
32 ssidd 4019 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
33 txtopon 23615 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3412, 12, 33mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3534toponrestid 22943 . . . . . . 7 (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
3611, 5sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵)))
3821, 3, 37, 23, 24, 25eldv 25948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))))
3938simprbda 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
4020, 39sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
411, 36, 40dvlem 25946 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
4236ssdifssd 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
4342sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
4436, 40sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4643, 45subcld 11618 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
4726simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
48 limcresi 25935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)
49 difss 4146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
50 resmpt 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵))
5251oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5348, 52sseqtri 4032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5444subidd 11606 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) = 0)
55 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
56 cncfmptid 24953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5736, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
58 cncfmptc 24952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5944, 36, 32, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
6057, 59subcncf 25493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
61 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐵) = (𝐵𝐵))
6260, 40, 61cnmptlimc 25940 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6354, 62eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6453, 63sselid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
653mpomulcn 24905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6623, 24, 25dvcl 25949 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
67 0cn 11251 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
68 opelxpi 5726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6966, 67, 68sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
7034toponunii 22938 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ × ℂ) = (𝐾 ×t 𝐾)
7170cncnpi 23302 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7265, 69, 71sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7341, 46, 32, 32, 3, 35, 47, 64, 72limccnp2 25942 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) lim 𝐵))
74 df-mpt 5232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))}
7574oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵)
7673, 75eleqtrdi 2849 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵))
77 0cnd 11252 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ℂ)
78 ovmpot 7594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
7966, 77, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
801, 36, 28dvlem 25946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
8136, 28sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
8343, 82subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
84 ovmpot 7594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐵) ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))
8580, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))
8685eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) ↔ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))))
8786pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))))
8887opabbidv 5214 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))})
89 df-mpt 5232 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))}
9088, 89eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))))
9190oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
9276, 79, 913eltr3d 2853 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
9366mul01d 11458 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
941adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
9649, 95sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐴)
9794, 96ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
9829adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
9997, 98subcld 11618 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
100 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧𝐵)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐵)
10243, 82, 101subne0d 11627 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ≠ 0)
10399, 83, 102divcan1d 12042 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
104103mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
105104oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10692, 93, 1053eltr3d 2853 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10731fmpttd 7135 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))):𝐴⟶ℂ)
108107limcdif 25926 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
109 resmpt 6057 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
11049, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
111110oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵)
112108, 111eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
113106, 112eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
114 cncfmptc 24952 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11529, 36, 32, 114syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
116 eqidd 2736 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐵))
117115, 28, 116cnmptlimc 25940 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) lim 𝐵))
1183addcn 24901 . . . . . . . 8 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
119 opelxpi 5726 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
12067, 29, 119sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
12170cncnpi 23302 . . . . . . . 8 (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
122118, 120, 121sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
12331, 30, 32, 32, 3, 35, 113, 117, 122limccnp2 25942 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
12429addlidd 11460 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
1252, 30npcand 11622 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝑧))
126125mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
1271feqmptd 6977 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
128126, 127eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = 𝐹)
129128oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
130123, 124, 1293eltr3d 2853 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
131 dvcnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
1323, 131cnplimc 25937 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
13336, 28, 132syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
1341, 130, 133mpbir2and 713 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
135134ex 412 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
136135exlimdv 1931 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
137 eldmg 5912 . . 3 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
138137ibi 267 . 2 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
139136, 138impel 505 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  cop 4637   cuni 4912   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11151  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  intcnt 23041   Cn ccn 23248   CnP ccnp 23249   ×t ctx 23584  cnccncf 24916   lim climc 25912   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvcn  25972  dvmulbr  25990  dvmulbrOLD  25991  dvcobr  25998  dvcobrOLD  25999  fouriersw  46187
  Copyright terms: Public domain W3C validator