dvcnp2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvcnp2 26110

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11191. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvcnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
dvcnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)

**Assertion**
Ref	Expression
dvcnp2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2 Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3		dvcnp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
4	3	cnfldtop 24971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		cnex 11192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9		resttop 23347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
10	4, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12	3	cnfldtopon 24970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 23348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		toponuni 23101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
17	11, 16	sseqtrd 3974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
18		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)
19	18	ntrss2 23244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
20	10, 17, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ↾_t 𝑆) = (𝐾 ↾_t 𝑆)
22		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
23		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
26	21, 3, 22, 23, 24, 25	eldv 26088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
27	26	simprbda 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
28	20, 27	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
29	1, 28	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
31	2, 30	subcld 11580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
32		ssidd 3961	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
33		txtopon 23779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
34	12, 12, 33	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
35	34	toponrestid 23108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) = ((𝐾 ×_t 𝐾) ↾_t (ℂ × ℂ))
36	11, 5	sstrd 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵)))
38	21, 3, 37, 23, 24, 25	eldv 26088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
39	38	simprbda 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
40	20, 39	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
41	1, 36, 40	dvlem 26086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
42	36	ssdifssd 4101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
43	42	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
44	36, 40	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	43, 45	subcld 11580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	26	simplbda 505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
48		limcresi 26075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵)
49		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
50		resmpt 6041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵))
52	51	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
53	48, 52	sseqtri 3986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
54	44	subidd 11568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
55		ssid 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
56		cncfmptid 25103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
57	36, 55, 56	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
58		cncfmptc 25102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
59	44, 36, 32, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
60	57, 59	subcncf 25635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
61		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
62	60, 40, 61	cnmptlimc 26080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
63	54, 62	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
64	53, 63	sselid 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
65	3	mpomulcn 25057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
66	23, 24, 25	dvcl 26089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
67		0cn 11209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
68		opelxpi 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	66, 67, 68	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
70	34	toponunii 23103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐾 ×_t 𝐾)
71	70	cncnpi 23465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
72	65, 69, 71	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
73	41, 46, 32, 32, 3, 35, 47, 64, 72	limccnp2 26082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
74		df-mpt 5195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))}
75	74	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵)
76	73, 75	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵))
77		0cnd 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ℂ)
78		ovmpot 7577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
79	66, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
80	1, 36, 28	dvlem 26086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
81	36, 28	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	43, 82	subcld 11580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
84		ovmpot 7577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
85	80, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
86	85	eqeq2d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) ↔ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
87	86	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))))
88	87	opabbidv 5179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))})
89		df-mpt 5195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))}
90	88, 89	eqtr4di 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
91	90	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
92	76, 79, 91	3eltr3d 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
93	66	mul01d 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
94	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
95		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
96	49, 95	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	94, 96	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
98	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
99	97, 98	subcld 11580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
100		eldifsni 4760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧 ≠ 𝐵)
101	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ≠ 𝐵)
102	43, 82, 101	subne0d 11589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ≠ 0)
103	99, 83, 102	divcan1d 12003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
104	103	mpteq2dva 5206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
105	104	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
106	92, 93, 105	3eltr3d 2879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
107	31	fmpttd 7114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))):𝐴⟶ℂ)
108	107	limcdif 26066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵))
109		resmpt 6041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
110	49, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
111	110	oveq1i 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵)
112	108, 111	eqtrdi 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
113	106, 112	eleqtrrd 2868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
114		cncfmptc 25102	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	29, 36, 32, 114	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
116		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
117	115, 28, 116	cnmptlimc 26080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
118	3	addcn 25054	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
119		opelxpi 5700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
120	67, 29, 119	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
121	70	cncnpi 23465	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
122	118, 120, 121	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
123	31, 30, 32, 32, 3, 35, 113, 117, 122	limccnp2 26082	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
124	29	addlidd 11422	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
125	2, 30	npcand 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝑧))
126	125	mpteq2dva 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
127	1	feqmptd 6953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
128	126, 127	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = 𝐹)
129	128	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
130	123, 124, 129	3eltr3d 2879	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
131		dvcnp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
132	3, 131	cnplimc 26077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
133	36, 28, 132	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
134	1, 130, 133	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
135	134	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
136	135	exlimdv 1966	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
137		eldmg 5890	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
138	137	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
139	136, 138	impel 515	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 Vcvv 3457 ∖ cdif 3903 ⊆ wss 3906 {csn 4591 ⟨cop 4597 ∪ cuni 4874 class class class wbr 5111 {copab 5175 ↦ cmpt 5194 × cxp 5661 dom cdm 5663 ↾ cres 5665 ⟶wf 6536 ‘cfv 6540 (class class class)co 7416 ∈ cmpo 7418 ℂcc 11109 0cc0 11111 + caddc 11114 · cmul 11116 − cmin 11452 / cdiv 11882 ↾_t crest 17491 TopOpenctopn 17492 ℂ_fldccnfld 21552 Topctop 23080 TopOnctopon 23097 intcnt 23204 Cn ccn 23411 CnP ccnp 23412 ×_t ctx 23748 –cn→ccncf 25066 lim_ℂ climc 26052 D cdv 26053

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7738 ax-cnex 11167 ax-resscn 11168 ax-1cn 11169 ax-icn 11170 ax-addcl 11171 ax-addrcl 11172 ax-mulcl 11173 ax-mulrcl 11174 ax-mulcom 11175 ax-addass 11176 ax-mulass 11177 ax-distr 11178 ax-i2m1 11179 ax-1ne0 11180 ax-1rid 11181 ax-rnegex 11182 ax-rrecex 11183 ax-cnre 11184 ax-pre-lttri 11185 ax-pre-lttrn 11186 ax-pre-ltadd 11187 ax-pre-mulgt0 11188 ax-pre-sup 11189 ax-addf 11190

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-se 5617 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7373 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-of 7680 df-om 7865 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8360 df-rdg 8399 df-1o 8455 df-2o 8456 df-er 8696 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9325 df-fi 9374 df-sup 9405 df-inf 9406 df-oi 9475 df-card 9937 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11454 df-neg 11455 df-div 11883 df-nn 12245 df-2 12314 df-3 12315 df-4 12316 df-5 12317 df-6 12318 df-7 12319 df-8 12320 df-9 12321 df-n0 12516 df-z 12603 df-dec 12724 df-uz 12875 df-q 12985 df-rp 13029 df-xneg 13149 df-xadd 13150 df-xmul 13151 df-icc 13391 df-fz 13548 df-fzo 13696 df-seq 14052 df-exp 14112 df-hash 14381 df-cj 15170 df-re 15171 df-im 15172 df-sqrt 15306 df-abs 15307 df-struct 17225 df-sets 17242 df-slot 17260 df-ndx 17272 df-base 17288 df-ress 17309 df-plusg 17341 df-mulr 17342 df-starv 17343 df-sca 17344 df-vsca 17345 df-ip 17346 df-tset 17347 df-ple 17348 df-ds 17350 df-unif 17351 df-hom 17352 df-cco 17353 df-rest 17493 df-topn 17494 df-0g 17512 df-gsum 17513 df-topgen 17514 df-pt 17515 df-prds 17518 df-xrs 17574 df-qtop 17579 df-imas 17580 df-xps 17582 df-mre 17656 df-mrc 17657 df-acs 17659 df-mgm 18716 df-sgrp 18799 df-mnd 18815 df-submnd 18866 df-mulg 19158 df-cntz 19411 df-cmn 19876 df-psmet 21544 df-xmet 21545 df-met 21546 df-bl 21547 df-mopn 21548 df-cnfld 21553 df-top 23081 df-topon 23098 df-topsp 23120 df-bases 23133 df-ntr 23207 df-cn 23414 df-cnp 23415 df-tx 23750 df-hmeo 23943 df-xms 24508 df-ms 24509 df-tms 24510 df-cncf 25068 df-limc 26056 df-dv 26057

This theorem is used by: dvcn 26111 dvmulbr 26129 dvcobr 26136 fouriersw 46978

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