Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnp2 24532
 Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
dvcnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcnp2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffvelrnda 6844 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 23398 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
5 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 cnex 10618 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
7 ssexg 5214 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9 resttop 21774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
104, 8, 9sylancr 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
11 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴𝑆)
123cnfldtopon 23397 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 21775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 5, 13sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15 toponuni 21528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1711, 16sseqtrd 3993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 (𝐾t 𝑆))
18 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
1918ntrss2 21671 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2010, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
22 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
23 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
2621, 3, 22, 23, 24, 25eldv 24510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))))
2726simprbda 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
2820, 27sseldd 3954 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
291, 28ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3029adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
312, 30subcld 10997 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
32 ssid 3975 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
34 txtopon 22205 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3512, 12, 34mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3635toponrestid 21535 . . . . . . 7 (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
3711, 5sstrd 3963 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
381, 37, 28dvlem 24508 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
3937ssdifssd 4105 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
4039sselda 3953 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
4137, 28sseldd 3954 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4241adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4340, 42subcld 10997 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
4426simplbda 503 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
45 limcresi 24497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)
46 difss 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
47 resmpt 5894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵))
4948oveq1i 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5045, 49sseqtri 3989 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5141subidd 10985 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) = 0)
523subcn 23480 . . . . . . . . . . . . . . 15 − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → − ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾))
54 cncfmptid 23527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5537, 32, 54sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
56 cncfmptc 23526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5741, 37, 33, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
583, 53, 55, 57cncfmpt2f 23529 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
59 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐵) = (𝐵𝐵))
6058, 28, 59cnmptlimc 24502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6151, 60eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6250, 61sseldi 3951 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
633mulcn 23481 . . . . . . . . . . 11 · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6423, 24, 25dvcl 24511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
65 0cn 10633 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
66 opelxpi 5580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6764, 65, 66sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6835toponunii 21530 . . . . . . . . . . . 12 (ℂ × ℂ) = (𝐾 ×t 𝐾)
6968cncnpi 21892 . . . . . . . . . . 11 (( · ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7063, 67, 69sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → · ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7138, 43, 33, 33, 3, 36, 44, 62, 70limccnp2 24504 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
7264mul01d 10839 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
731adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
74 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
7546, 74sseldi 3951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐴)
7673, 75ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7729adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
7876, 77subcld 10997 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
79 eldifsni 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧𝐵)
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐵)
8140, 42, 80subne0d 11006 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ≠ 0)
8278, 43, 81divcan1d 11417 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
8382mpteq2dva 5148 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
8483oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8571, 72, 843eltr3d 2930 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
8631fmpttd 6872 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))):𝐴⟶ℂ)
8786limcdif 24488 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
88 resmpt 5894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
8946, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
9089oveq1i 7161 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵)
9187, 90syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
9285, 91eleqtrrd 2919 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
93 cncfmptc 23526 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9429, 37, 33, 93syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
95 eqidd 2825 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐵))
9694, 28, 95cnmptlimc 24502 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) lim 𝐵))
973addcn 23479 . . . . . . . 8 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
98 opelxpi 5580 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
9965, 29, 98sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
10068cncnpi 21892 . . . . . . . 8 (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
10197, 99, 100sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
10231, 30, 33, 33, 3, 36, 92, 96, 101limccnp2 24504 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10329addid2d 10841 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
1042, 30npcand 11001 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝑧))
105104mpteq2dva 5148 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
1061feqmptd 6726 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
107105, 106eqtr4d 2862 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = 𝐹)
108107oveq1d 7166 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
109102, 103, 1083eltr3d 2930 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
110 dvcnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
1113, 110cnplimc 24499 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
11237, 28, 111syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
1131, 109, 112mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
114113ex 416 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
115114exlimdv 1935 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
116 eldmg 5755 . . 3 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
117116ibi 270 . 2 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
118115, 117impel 509 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ⟨cop 4556  ∪ cuni 4824   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133   × cxp 5541  dom cdm 5543   ↾ cres 5545  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  ℂcc 10535  0cc0 10537   + caddc 10540   · cmul 10542   − cmin 10870   / cdiv 11297   ↾t crest 16696  TopOpenctopn 16697  ℂfldccnfld 20100  Topctop 21507  TopOnctopon 21524  intcnt 21631   Cn ccn 21838   CnP ccnp 21839   ×t ctx 22174  –cn→ccncf 23490   limℂ climc 24474   D cdv 24475 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-2o 8101  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-pm 8407  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20092  df-xmet 20093  df-met 20094  df-bl 20095  df-mopn 20096  df-cnfld 20101  df-top 21508  df-topon 21525  df-topsp 21547  df-bases 21560  df-ntr 21634  df-cn 21841  df-cnp 21842  df-tx 22176  df-hmeo 22369  df-xms 22936  df-ms 22937  df-tms 22938  df-cncf 23492  df-limc 24478  df-dv 24479 This theorem is referenced by:  dvcn  24533  dvmulbr  24551  dvcobr  24558  fouriersw  42826
 Copyright terms: Public domain W3C validator