dvcnp2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvcnp2 26240

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11280. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvcnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
dvcnp.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)

**Assertion**
Ref	Expression
dvcnp2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2 Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
3		dvcnp.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂ_fld)
4	3	cnfldtop 25102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ Top
5		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6		cnex 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9		resttop 23478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
10	4, 8, 9	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top)
11		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
12	3	cnfldtopon 25101	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13		resttopon 23479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
14	12, 5, 13	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15		toponuni 23232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
17	11, 16	sseqtrd 3967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆))
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆) = ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)
19	18	ntrss2 23375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ↾_t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐾 ↾_t 𝑆)) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
20	10, 17, 19	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ↾_t 𝑆) = (𝐾 ↾_t 𝑆)
22		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)))
23		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
26	21, 3, 22, 23, 24, 25	eldv 26218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
27	26	simprbda 504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
28	20, 27	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
29	1, 28	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
31	2, 30	subcld 11669	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
32		ssidd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
33		txtopon 23910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
34	12, 12, 33	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
35	34	toponrestid 23239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ×_t 𝐾) = ((𝐾 ×_t 𝐾) ↾_t (ℂ × ℂ))
36	11, 5	sstrd 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵)))
38	21, 3, 37, 23, 24, 25	eldv 26218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑥 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))))
39	38	simprbda 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾 ↾_t 𝑆))‘𝐴))
40	20, 39	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ 𝐴)
41	1, 36, 40	dvlem 26216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
42	36	ssdifssd 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
43	42	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
44	36, 40	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
45	44	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
46	43, 45	subcld 11669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
47	26	simplbda 505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
48		limcresi 26205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵)
49		difss 4083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
50		resmpt 6029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵))
52	51	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
53	48, 52	sseqtri 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵)
54	44	subidd 11657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
55		ssid 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
56		cncfmptid 25234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
57	36, 55, 56	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝑧) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
58		cncfmptc 25233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
59	44, 36, 32, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
60	57, 59	subcncf 25766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
61		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐵))
62	60, 40, 61	cnmptlimc 26210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵 − 𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
63	54, 62	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
64	53, 63	sselid 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧 − 𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
65	3	mpomulcn 25188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
66	23, 24, 25	dvcl 26219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
67		0cn 11298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℂ
68		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
69	66, 67, 68	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
70	34	toponunii 23234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ (𝐾 ×_t 𝐾)
71	70	cncnpi 23596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
72	65, 69, 71	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
73	41, 46, 32, 32, 3, 35, 47, 64, 72	limccnp2 26212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
74		df-mpt 5187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))}
75	74	oveq1i 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵)
76	73, 75	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵))
77		0cnd 11299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ℂ)
78		ovmpot 7581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
79	66, 77, 78	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
80	1, 36, 28	dvlem 26216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ)
81	36, 28	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
83	43, 82	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ)
84		ovmpot 7581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑧 − 𝐵) ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
85	80, 83, 84	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))
86	85	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)) ↔ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
87	86	pm5.32da 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))))
88	87	opabbidv 5171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))})
89		df-mpt 5187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)))}
90	88, 89	eqtr4di 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))))
91	90	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧 − 𝐵)))} lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
92	76, 79, 91	3eltr3d 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
93	66	mul01d 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
94	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
95		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
96	49, 95	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ 𝐴)
97	94, 96	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
98	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
99	97, 98	subcld 11669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) ∈ ℂ)
100		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧 ≠ 𝐵)
101	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ≠ 𝐵)
102	43, 82, 101	subne0d 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧 − 𝐵) ≠ 0)
103	99, 83, 102	divcan1d 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
104	103	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
105	104	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) / (𝑧 − 𝐵)) · (𝑧 − 𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
106	92, 93, 105	3eltr3d 2875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
107	31	fmpttd 7115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))):𝐴⟶ℂ)
108	107	limcdif 26196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵))
109		resmpt 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))))
110	49, 109	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)))
111	110	oveq1i 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵)
112	108, 111	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
113	106, 112	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
114		cncfmptc 25233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
115	29, 36, 32, 114	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
116		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝐵) = (𝐹‘𝐵))
117	115, 28, 116	cnmptlimc 26210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) lim_ℂ 𝐵))
118	3	addcn 25185	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾)
119		opelxpi 5688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
120	67, 29, 119	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
121	70	cncnpi 23596	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ∈ ((𝐾 ×_t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
122	118, 120, 121	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×_t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹‘𝐵)⟩))
123	31, 30, 32, 32, 3, 35, 113, 117, 122	limccnp2 26212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵))
124	29	addlidd 11511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝐵))
125	2, 30	npcand 11673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵)) = (𝐹‘𝑧))
126	125	mpteq2dva 5198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
127	1	feqmptd 6953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑧)))
128	126, 127	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) = 𝐹)
129	128	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐵)) + (𝐹‘𝐵))) lim_ℂ 𝐵) = (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
130	123, 124, 129	3eltr3d 2875	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))
131		dvcnp.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾_t 𝐴)
132	3, 131	cnplimc 26207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
133	36, 28, 132	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 lim_ℂ 𝐵))))
134	1, 130, 133	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
135	134	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
136	135	exlimdv 1966	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
137		eldmg 5880	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
138	137	ibi 270	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
139	136, 138	impel 515	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 Vcvv 3451 ∖ cdif 3896 ⊆ wss 3899 {csn 4584 ⟨cop 4590 ∪ cuni 4867 class class class wbr 5103 {copab 5167 ↦ cmpt 5186 × cxp 5649 dom cdm 5651 ↾ cres 5653 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ∈ cmpo 7422 ℂcc 11198 0cc0 11200 + caddc 11203 · cmul 11205 − cmin 11541 / cdiv 11973 ↾_t crest 17591 TopOpenctopn 17592 ℂ_fldccnfld 21678 Topctop 23211 TopOnctopon 23228 intcnt 23335 Cn ccn 23542 CnP ccnp 23543 ×_t ctx 23879 –cn→ccncf 25197 lim_ℂ climc 26182 D cdv 26183

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278 ax-addf 11279

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-of 7693 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8178 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-2o 8477 df-er 8717 df-map 8849 df-pm 8850 df-ixp 8926 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-fsupp 9354 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9504 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-5 12408 df-6 12409 df-7 12410 df-8 12411 df-9 12412 df-n0 12607 df-z 12694 df-dec 12815 df-uz 12966 df-q 13076 df-rp 13121 df-xneg 13241 df-xadd 13242 df-xmul 13243 df-icc 13483 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-seq 14145 df-exp 14205 df-hash 14475 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-struct 17325 df-sets 17342 df-slot 17360 df-ndx 17372 df-base 17388 df-ress 17409 df-plusg 17441 df-mulr 17442 df-starv 17443 df-sca 17444 df-vsca 17445 df-ip 17446 df-tset 17447 df-ple 17448 df-ds 17450 df-unif 17451 df-hom 17452 df-cco 17453 df-rest 17593 df-topn 17594 df-0g 17612 df-gsum 17613 df-topgen 17614 df-pt 17615 df-prds 17618 df-xrs 17674 df-qtop 17679 df-imas 17680 df-xps 17682 df-mre 17756 df-mrc 17757 df-acs 17759 df-mgm 18816 df-sgrp 18908 df-mnd 18924 df-submnd 18979 df-mulg 19278 df-cntz 19531 df-cmn 19996 df-psmet 21670 df-xmet 21671 df-met 21672 df-bl 21673 df-mopn 21674 df-cnfld 21679 df-top 23212 df-topon 23229 df-topsp 23251 df-bases 23264 df-ntr 23338 df-cn 23545 df-cnp 23546 df-tx 23881 df-hmeo 24074 df-xms 24639 df-ms 24640 df-tms 24641 df-cncf 25199 df-limc 26186 df-dv 26187

This theorem is used by: dvcn 26241 dvmulbr 26259 dvcobr 26266 fouriersw 47240

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