MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnp2 25836
Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11210. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
dvcnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
dvcnp2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))

Proof of Theorem dvcnp2
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
21ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3 dvcnp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 24687 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
5 simpl1 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ⊆ ℂ)
6 cnex 11211 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
7 ssexg 5317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → 𝑆 ∈ V)
85, 6, 7sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 ∈ V)
9 resttop 23051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
104, 8, 9sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ Top)
11 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴𝑆)
123cnfldtopon 24686 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
13 resttopon 23052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
1412, 5, 13sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
15 toponuni 22803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑆 = (𝐾t 𝑆))
1711, 16sseqtrd 4018 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 (𝐾t 𝑆))
18 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
1918ntrss2 22948 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾t 𝑆) ∈ Top ∧ 𝐴 (𝐾t 𝑆)) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
2010, 17, 19syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ⊆ 𝐴)
21 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾t 𝑆) = (𝐾t 𝑆)
22 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)))
23 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
24 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
25 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
2621, 3, 22, 23, 24, 25eldv 25814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))))
2726simprbda 498 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
2820, 27sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
291, 28ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
312, 30subcld 11593 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
32 ssidd 4001 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ℂ ⊆ ℂ)
33 txtopon 23482 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
3412, 12, 33mp2an 691 . . . . . . . 8 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
3534toponrestid 22810 . . . . . . 7 (𝐾 ×t 𝐾) = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (ℂ × ℂ))
3611, 5sstrd 3988 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐴 ⊆ ℂ)
37 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵)))
3821, 3, 37, 23, 24, 25eldv 25814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝐵)) / (𝑥𝐵))) lim 𝐵))))
3938simprbda 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ((int‘(𝐾t 𝑆))‘𝐴))
4020, 39sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵𝐴)
411, 36, 40dvlem 25812 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
4236ssdifssd 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
4342sselda 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ ℂ)
4436, 40sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4643, 45subcld 11593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
4726simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
48 limcresi 25801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)
49 difss 4127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
50 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵))
5251oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5348, 52sseqtri 4014 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵)
5444subidd 11581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) = 0)
55 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
56 cncfmptid 24820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5736, 55, 56sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝑧) ∈ (𝐴cn→ℂ))
58 cncfmptc 24819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
5944, 36, 32, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴𝐵) ∈ (𝐴cn→ℂ))
6057, 59subcncf 25360 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
61 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝐵) = (𝐵𝐵))
6260, 40, 61cnmptlimc 25806 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐵𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6354, 62eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
6453, 63sselid 3976 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ (𝑧𝐵)) lim 𝐵))
653mpomulcn 24772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
6623, 24, 25dvcl 25815 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
67 0cn 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℂ
68 opelxpi 5709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
6966, 67, 68sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
7034toponunii 22805 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℂ × ℂ) = (𝐾 ×t 𝐾)
7170cncnpi 23169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨𝑦, 0⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7265, 69, 71sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨𝑦, 0⟩))
7341, 46, 32, 32, 3, 35, 47, 64, 72limccnp2 25808 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) lim 𝐵))
74 df-mpt 5226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))}
7574oveq1i 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵)
7673, 75eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) ∈ ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵))
77 0cnd 11229 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ℂ)
78 ovmpot 7576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
7966, 77, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))0) = (𝑦 · 0))
801, 36, 28dvlem 25812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ)
8136, 28sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ ℂ)
8343, 82subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
84 ovmpot 7576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝐵) ∈ ℂ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))
8580, 83, 84syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))
8685eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)) ↔ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))))
8786pm5.32da 578 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))))
8887opabbidv 5208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))})
89 df-mpt 5226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)))}
9088, 89eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))))
9190oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ({⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑤 = ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝑧𝐵)))} lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
9276, 79, 913eltr3d 2842 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵))
9366mul01d 11435 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑦 · 0) = 0)
941adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
9649, 95sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐴)
9794, 96ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
9829adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
9997, 98subcld 11593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) ∈ ℂ)
100 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → 𝑧𝐵)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑧𝐵)
10243, 82, 101subne0d 11602 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (𝑧𝐵) ≠ 0)
10399, 83, 102divcan1d 12013 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
104103mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
105104oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) / (𝑧𝐵)) · (𝑧𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10692, 93, 1053eltr3d 2842 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
10731fmpttd 7119 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))):𝐴⟶ℂ)
108107limcdif 25792 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
109 resmpt 6035 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴 → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))))
11049, 109ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)))
111110oveq1i 7424 . . . . . . . . 9 (((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵)
112108, 111eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
113106, 112eleqtrrd 2831 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 0 ∈ ((𝑧𝐴 ↦ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
114 cncfmptc 24819 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11529, 36, 32, 114syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
116 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐵))
117115, 28, 116cnmptlimc 25806 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝐵)) lim 𝐵))
1183addcn 24768 . . . . . . . 8 + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾)
119 opelxpi 5709 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℂ) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
12067, 29, 119sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ))
12170cncnpi 23169 . . . . . . . 8 (( + ∈ ((𝐾 ×t 𝐾) Cn 𝐾) ∧ ⟨0, (𝐹𝐵)⟩ ∈ (ℂ × ℂ)) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
122118, 120, 121sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → + ∈ (((𝐾 ×t 𝐾) CnP 𝐾)‘⟨0, (𝐹𝐵)⟩))
12331, 30, 32, 32, 3, 35, 113, 117, 122limccnp2 25808 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) ∈ ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵))
12429addlidd 11437 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (0 + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝐵))
1252, 30npcand 11597 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵)) = (𝐹𝑧))
126125mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
1271feqmptd 6961 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 = (𝑧𝐴 ↦ (𝐹𝑧)))
128126, 127eqtr4d 2770 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) = 𝐹)
129128oveq1d 7429 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → ((𝑧𝐴 ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐵)) + (𝐹𝐵))) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
130123, 124, 1293eltr3d 2842 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
131 dvcnp.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
1323, 131cnplimc 25803 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
13336, 28, 132syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
1341, 130, 133mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
135134ex 412 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
136135exlimdv 1929 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
137 eldmg 5895 . . 3 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦))
138137ibi 267 . 2 (𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → ∃𝑦 𝐵(𝑆 D 𝐹)𝑦)
139136, 138impel 505 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝐵 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469  cdif 3941  wss 3944  {csn 4624  cop 4630   cuni 4903   class class class wbr 5142  {copab 5204  cmpt 5225   × cxp 5670  dom cdm 5672  cres 5674  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  cc 11128  0cc0 11130   + caddc 11133   · cmul 11135  cmin 11466   / cdiv 11893  t crest 17393  TopOpenctopn 17394  fldccnfld 21266  Topctop 22782  TopOnctopon 22799  intcnt 22908   Cn ccn 23115   CnP ccnp 23116   ×t ctx 23451  cnccncf 24783   lim climc 25778   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-ntr 22911  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  dvcn  25838  dvmulbr  25856  dvmulbrOLD  25857  dvcobr  25864  dvcobrOLD  25865  fouriersw  45542
  Copyright terms: Public domain W3C validator