Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv1 33960
Description: If the difference quotient (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) is unbounded near 𝐴 then 𝐹 is not differentiable at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv1.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
unbdqndv1.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unbdqndv1.2 (𝜑𝑋𝑆)
unbdqndv1.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv1.4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐴   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐹   𝐺,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑆   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑋   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4247 . . . . . . . 8 ¬ 𝑦 ∈ ∅
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ ∅)
3 unbdqndv1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
4 unbdqndv1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3925 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
76ssdifssd 4070 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ⊆ ℂ)
8 unbdqndv1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
98adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
104, 8, 3dvbss 24504 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1110sselda 3915 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
129, 6, 11dvlem 24499 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) ∈ ℂ)
13 unbdqndv1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
1412, 13fmptd 6855 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐺:(𝑋 ∖ {𝐴})⟶ℂ)
156, 11sseldd 3916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 unbdqndv1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
1716adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
187, 14, 15, 17unblimceq0 33959 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐺 lim 𝐴) = ∅)
192, 18neleqtrrd 2912 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
2019intnand 492 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴)))
21 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22 eqid 2798 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2321, 22, 13, 4, 8, 3eldv 24501 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2423notbid 321 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2620, 25mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
2726alrimiv 1928 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
28 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
29 eldmg 5731 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3130notbid 321 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
32 alnex 1783 . . . . . 6 (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3433bicomd 226 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3531, 34bitrd 282 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3627, 35mpbird 260 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
3736pm2.01da 798 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2111  wral 3106  wrex 3107  cdif 3878  wss 3881  c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  +crp 12377  abscabs 14585  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  fldccnfld 20091  intcnt 21622   lim climc 24465   D cdv 24466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-ntr 21625  df-cnp 21833  df-xms 22927  df-ms 22928  df-limc 24469  df-dv 24470
This theorem is referenced by:  unbdqndv2  33963
  Copyright terms: Public domain W3C validator