Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv1 35289
Description: If the difference quotient (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) is unbounded near 𝐴 then 𝐹 is not differentiable at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv1.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
unbdqndv1.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unbdqndv1.2 (𝜑𝑋𝑆)
unbdqndv1.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv1.4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐴   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐹   𝐺,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑆   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑋   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4328 . . . . . . . 8 ¬ 𝑦 ∈ ∅
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ ∅)
3 unbdqndv1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
4 unbdqndv1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3990 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
76ssdifssd 4140 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ⊆ ℂ)
8 unbdqndv1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
98adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
104, 8, 3dvbss 25387 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1110sselda 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
129, 6, 11dvlem 25382 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) ∈ ℂ)
13 unbdqndv1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
1412, 13fmptd 7101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐺:(𝑋 ∖ {𝐴})⟶ℂ)
156, 11sseldd 3981 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 unbdqndv1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
187, 14, 15, 17unblimceq0 35288 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐺 lim 𝐴) = ∅)
192, 18neleqtrrd 2857 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
2019intnand 490 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴)))
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2321, 22, 13, 4, 8, 3eldv 25384 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2423notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2524adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2620, 25mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
2726alrimiv 1931 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
28 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
29 eldmg 5893 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3130notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
32 alnex 1784 . . . . . 6 (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3433bicomd 222 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3531, 34bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3627, 35mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
3736pm2.01da 798 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  cdif 3943  wss 3946  c0 4320  {csn 4624   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5672  wf 6531  cfv 6535  (class class class)co 7396  cc 11095   < clt 11235  cle 11236  cmin 11431   / cdiv 11858  +crp 12961  abscabs 15168  t crest 17353  TopOpenctopn 17354  fldccnfld 20918  intcnt 22490   lim climc 25348   D cdv 25349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13472  df-seq 13954  df-exp 14015  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-struct 17067  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-rest 17355  df-topn 17356  df-topgen 17376  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-ntr 22493  df-cnp 22701  df-xms 23795  df-ms 23796  df-limc 25352  df-dv 25353
This theorem is referenced by:  unbdqndv2  35292
  Copyright terms: Public domain W3C validator