Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv1 36510
Description: If the difference quotient (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) is unbounded near 𝐴 then 𝐹 is not differentiable at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv1.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
unbdqndv1.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unbdqndv1.2 (𝜑𝑋𝑆)
unbdqndv1.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv1.4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐴   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐹   𝐺,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑆   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑋   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4337 . . . . . . . 8 ¬ 𝑦 ∈ ∅
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ ∅)
3 unbdqndv1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
4 unbdqndv1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
76ssdifssd 4146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ⊆ ℂ)
8 unbdqndv1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
104, 8, 3dvbss 25937 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1110sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
129, 6, 11dvlem 25932 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) ∈ ℂ)
13 unbdqndv1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
1412, 13fmptd 7133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐺:(𝑋 ∖ {𝐴})⟶ℂ)
156, 11sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 unbdqndv1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
187, 14, 15, 17unblimceq0 36509 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐺 lim 𝐴) = ∅)
192, 18neleqtrrd 2863 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
2019intnand 488 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴)))
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2321, 22, 13, 4, 8, 3eldv 25934 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2423notbid 318 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2620, 25mpbird 257 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
2726alrimiv 1926 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
28 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
29 eldmg 5908 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3130notbid 318 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
32 alnex 1780 . . . . . 6 (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3433bicomd 223 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3531, 34bitrd 279 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3627, 35mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
3736pm2.01da 798 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1537   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  cdif 3947  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  dom cdm 5684  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493   / cdiv 11921  +crp 13035  abscabs 15274  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21365  intcnt 23026   lim climc 25898   D cdv 25899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-ntr 23029  df-cnp 23237  df-xms 24331  df-ms 24332  df-limc 25902  df-dv 25903
This theorem is referenced by:  unbdqndv2  36513
  Copyright terms: Public domain W3C validator