Theorem nn0fz0 13579

Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0fz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0re 12446	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11716	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
4		fznn0 13573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 714	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6		elfz3nn0 13575	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  swrdrlen  14622  pfxid  14647  pfxccat1  14664  pfxpfxid  14671  pfxcctswrd  14672  pfxccatin12  14695  pfxccatid  14703  cshwlen  14761  cshwidxmod  14765  fallfacfac  16010  cayhamlem1  22831  cpmadugsumlemF  22841  wlkepvtx  29727  wlkp1lem7  29746  wlkp1lem8  29747  dfpth2  29797  spthdep  29802  crctcshwlkn0lem6  29883  crctcsh  29892  wwlknllvtx  29914  wwlksnred  29960  wpthswwlks2on  30032  konigsbergiedgw  30318  konigsberglem1  30322  konigsberglem2  30323  konigsberglem3  30324  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30434  splfv3  33018  gsummulsubdishift1  33129  gsummulsubdishift2  33130  gsummulsubdishift1s  33131  gsummulsubdishift2s  33132  cycpmco2f1  33185  cycpmco2rn  33186  cycpmco2lem3  33189  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  cycpmco2  33194  esplyfvn  33721  iwrdsplit  34531  fibp1  34545  revpfxsfxrev  35298  poimirlem10  37951  poimirlem17  37958  poimirlem23  37964  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  iccpartiltu  47882  iccpartlt  47884  iccpartleu  47888  iccpartrn  47890  iccelpart  47893  iccpartiun  47894  iccpartdisj  47897  upgrimpthslem2  48384  upgrimpths  48385  upgrimcycls  48387  cycl3grtri  48423  usgrexmpl1lem  48497