MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0fz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0fz0 12989
Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0fz0 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0re 11885 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
32leidd 11184 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
4 fznn0 12983 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)))
51, 3, 4mpbir2and 711 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
6 elfz3nn0 12985 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6impbii 211 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wcel 2114   class class class wbr 5042  (class class class)co 7133  0cc0 10515  cle 10654  0cn0 11876  ...cfz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877
This theorem is referenced by:  swrdrlen  14001  pfxid  14026  pfxccat1  14044  pfxpfxid  14051  pfxcctswrd  14052  pfxccatin12  14075  pfxccatid  14083  cshwlen  14141  cshwidxmod  14145  fallfacfac  15379  cayhamlem1  21450  cpmadugsumlemF  21460  wlkepvtx  27429  wlkp1lem7  27448  wlkp1lem8  27449  spthdep  27502  crctcshwlkn0lem6  27580  crctcsh  27589  wwlknllvtx  27611  wwlksnred  27657  wpthswwlks2on  27726  konigsbergiedgw  28012  konigsberglem1  28016  konigsberglem2  28017  konigsberglem3  28018  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28128  splfv3  30619  cycpmco2f1  30774  cycpmco2rn  30775  cycpmco2lem3  30778  cycpmco2lem4  30779  cycpmco2lem5  30780  cycpmco2lem6  30781  cycpmco2lem7  30782  cycpmco2  30783  iwrdsplit  31653  fibp1  31667  revpfxsfxrev  32370  poimirlem10  34943  poimirlem17  34950  poimirlem23  34956  poimirlem26  34959  poimirlem27  34960  iccpartiltu  43730  iccpartlt  43732  iccpartleu  43736  iccpartrn  43738  iccelpart  43741  iccpartiun  43742  iccpartdisj  43745
  Copyright terms: Public domain W3C validator