Theorem nn0fz0 13666

Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0fz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0re 12524	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11791	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
4		fznn0 13660	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6		elfz3nn0 13662	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	impbii 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111   ≤ cle 11255  ℕ₀cn0 12515  ...cfz 13547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548

This theorem is used by:  swrdrlen  14715  pfxid  14740  pfxccat1  14757  pfxpfxid  14764  pfxcctswrd  14765  pfxccatin12  14788  pfxccatid  14796  revpfxsfxrev  14823  cshwlen  14856  cshwidxmod  14860  fallfacfac  16117  cayhamlem1  23053  cpmadugsumlemF  23063  wlkepvtx  30042  wlkp1lem7  30061  wlkp1lem8  30062  dfpth2  30117  spthdep  30123  crctcshwlkn0lem6  30207  crctcsh  30216  wwlknllvtx  30238  wwlksnred  30284  wpthswwlks2on  30356  konigsbergiedgw  30646  konigsberglem1  30650  konigsberglem2  30651  konigsberglem3  30652  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30762  splfv3  33318  gsummulsubdishift1  33428  gsummulsubdishift2  33429  gsummulsubdishift1s  33430  gsummulsubdishift2s  33431  cycpmco2f1  33484  cycpmco2rn  33485  cycpmco2lem3  33488  cycpmco2lem4  33489  cycpmco2lem5  33490  cycpmco2lem6  33491  cycpmco2lem7  33492  cycpmco2  33493  esplyfvn  34007  iwrdsplit  34818  fibp1  34832  poimirlem10  38314  poimirlem17  38321  poimirlem23  38327  poimirlem26  38330  poimirlem27  38331  iccpartiltu  48204  iccpartlt  48206  iccpartleu  48210  iccpartrn  48212  iccelpart  48215  iccpartiun  48216  iccpartdisj  48219  upgrimpthslem2  48706  upgrimpths  48707  upgrimcycls  48709  cycl3grtri  48745  usgrexmpl1lem  48819