Theorem nn0fz0 13682

Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0fz0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0re 12562	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3	2	leidd 11856	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ≤ 𝑁)
4		fznn0 13676	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
5	1, 3, 4	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6		elfz3nn0 13678	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	5, 6	impbii 209	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  swrdrlen  14707  pfxid  14732  pfxccat1  14750  pfxpfxid  14757  pfxcctswrd  14758  pfxccatin12  14781  pfxccatid  14789  cshwlen  14847  cshwidxmod  14851  fallfacfac  16093  cayhamlem1  22893  cpmadugsumlemF  22903  wlkepvtx  29696  wlkp1lem7  29715  wlkp1lem8  29716  spthdep  29770  crctcshwlkn0lem6  29848  crctcsh  29857  wwlknllvtx  29879  wwlksnred  29925  wpthswwlks2on  29994  konigsbergiedgw  30280  konigsberglem1  30284  konigsberglem2  30285  konigsberglem3  30286  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30396  splfv3  32925  cycpmco2f1  33117  cycpmco2rn  33118  cycpmco2lem3  33121  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2lem7  33125  cycpmco2  33126  iwrdsplit  34352  fibp1  34366  revpfxsfxrev  35083  poimirlem10  37590  poimirlem17  37597  poimirlem23  37603  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  iccpartiltu  47296  iccpartlt  47298  iccpartleu  47302  iccpartrn  47304  iccelpart  47307  iccpartiun  47308  iccpartdisj  47311  usgrexmpl1lem  47836