MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0fz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0fz0 12993
Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0fz0 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0re 11894 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
32leidd 11194 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
4 fznn0 12987 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)))
51, 3, 4mpbir2and 709 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
6 elfz3nn0 12989 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6impbii 210 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  cle 10664  0cn0 11885  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  swrdrlen  14009  pfxid  14034  pfxccat1  14052  pfxpfxid  14059  pfxcctswrd  14060  pfxccatin12  14083  pfxccatid  14091  cshwlen  14149  cshwidxmod  14153  fallfacfac  15387  cayhamlem1  21402  cpmadugsumlemF  21412  wlkepvtx  27369  wlkp1lem7  27388  wlkp1lem8  27389  spthdep  27442  crctcshwlkn0lem6  27520  crctcsh  27529  wwlknllvtx  27551  wwlksnred  27597  wpthswwlks2on  27667  konigsbergiedgw  27954  konigsberglem1  27958  konigsberglem2  27959  konigsberglem3  27960  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28070  splfv3  30559  cycpmco2f1  30693  cycpmco2rn  30694  cycpmco2lem3  30697  cycpmco2lem4  30698  cycpmco2lem5  30699  cycpmco2lem6  30700  cycpmco2lem7  30701  cycpmco2  30702  iwrdsplit  31544  fibp1  31558  revpfxsfxrev  32259  poimirlem10  34783  poimirlem17  34790  poimirlem23  34796  poimirlem26  34799  poimirlem27  34800  iccpartiltu  43459  iccpartlt  43461  iccpartleu  43465  iccpartrn  43467  iccelpart  43470  iccpartiun  43471  iccpartdisj  43474
  Copyright terms: Public domain W3C validator