Theorem fzssp1 13495

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzssp1	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))

Proof of Theorem fzssp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel2 13450	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3		peano2uz 12826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		fzss2 13492	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
7	5, 6	sseldd 3936	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
8	7	ssriv 3939	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  fzelp1  13504  fseq1p1m1  13526  monoord2  13968  seqf1olem1  13976  seqf1olem2  13977  seqz  13985  binomlem  15764  binom1dif  15768  bpolycl  15987  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  bpoly4  15994  gsumsplit1r  18624  freshmansdream  21544  1stcfb  23404  axlowdimlem13  29043  axlowdimlem16  29046  vietalem  33760  gsumnunsn  34723  pthhashvtx  35348  cvmliftlem7  35511  poimirlem3  37878  poimirlem4  37879  volsupnfl  37920  sdclem2  37997  fdc  38000  mettrifi  38012  mapfzcons1cl  43079  2rexfrabdioph  43157  3rexfrabdioph  43158  4rexfrabdioph  43159  6rexfrabdioph  43160  7rexfrabdioph  43161  rabdiophlem2  43163  jm2.27dlem5  43374  monoord2xrv  45845  stoweidlem11  46373  stoweidlem34  46396  carageniuncllem1  46883