Theorem fzssp1 13470

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 21-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzssp1	⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))

Proof of Theorem fzssp1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzel2 13425	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		uzid 12750	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3		peano2uz 12802	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		fzss2 13467	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1)))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
7	5, 6	sseldd 3936	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
8	7	ssriv 3939	1 ⊢ (𝑀...𝑁) ⊆ (𝑀...(𝑁 + 1))

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by:  fzelp1  13479  fseq1p1m1  13501  monoord2  13940  seqf1olem1  13948  seqf1olem2  13949  seqz  13957  binomlem  15736  binom1dif  15740  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  bpoly4  15966  gsumsplit1r  18561  freshmansdream  21481  1stcfb  23330  axlowdimlem13  28899  axlowdimlem16  28902  gsumnunsn  34515  pthhashvtx  35111  cvmliftlem7  35274  poimirlem3  37613  poimirlem4  37614  volsupnfl  37655  sdclem2  37732  fdc  37735  mettrifi  37747  mapfzcons1cl  42701  2rexfrabdioph  42779  3rexfrabdioph  42780  4rexfrabdioph  42781  6rexfrabdioph  42782  7rexfrabdioph  42783  rabdiophlem2  42785  jm2.27dlem5  42996  monoord2xrv  45472  stoweidlem11  46002  stoweidlem34  46025  carageniuncllem1  46512