Theorem swrdwlk 35099

Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Proof of Theorem swrdwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxwlk 35096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
2	1	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
3		revwlk 35097	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
5		fznn0sub2 13556	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	wlkf 29578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
10		pfxcl 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
11		revlen 14686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
13		pfxlen 14608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
14	8, 13	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	14	3adant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	12, 15	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = 𝐿)
17	16	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))) = (0...𝐿))
18	6, 17	eleqtrrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))))
19		pfxwlk 35096	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) ∧ (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
20	4, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
21		elfzel2 13443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℂ)
24		1cnd 11129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
25		elfzelz 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	addsubd 11514	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝐿 + 1) − 𝐵) = ((𝐿 − 𝐵) + 1))
29	28	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) = ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
30	20, 29	breqtrrd 5123	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)))
31		revwlk 35097	. . 3 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
32	30, 31	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
33		swrdrevpfx 35089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
34	8, 33	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
35		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
36	35	wlkpwrd 29581	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
37	36	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38		fzelp1 13497	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
39	38	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
40		fzp1elp1 13498	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
41	40	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
42		wlklenvp1 29582	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
43	42	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
44	43	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝐹) + 1)))
45	41, 44	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
46		swrdrevpfx 35089	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)) ∧ (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
47	37, 39, 45, 46	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
48	32, 34, 47	3brtr4d 5127	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4585   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11365  ℤcz 12489  ...cfz 13428  ♯chash 14255  Word cword 14438   substr csubstr 14565   prefix cpfx 14595  reversecreverse 14682  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  Walkscwlks 29560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-reverse 14683  df-wlks 29563

This theorem is referenced by: (None)