Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdwlk 34186
Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
swrdwlk ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ))

Proof of Theorem swrdwlk
StepHypRef Expression
1 pfxwlk 34183 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)))
213adant2 1131 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)))
3 revwlk 34184 . . . . . 6 ((๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)) โ†’ (reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))))
5 fznn0sub2 13610 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...๐ฟ))
653ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...๐ฟ))
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (iEdgโ€˜๐บ) = (iEdgโ€˜๐บ)
87wlkf 28909 . . . . . . . . . 10 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ ๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
983ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
10 pfxcl 14629 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ) โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
11 revlen 14714 . . . . . . . . 9 ((๐น prefix ๐ฟ) โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))
13 pfxlen 14635 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
148, 13sylan 580 . . . . . . . . 9 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
15143adant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
1612, 15eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = ๐ฟ)
1716oveq2d 7427 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))) = (0...๐ฟ))
186, 17eleqtrrd 2836 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))))
19 pfxwlk 34183 . . . . 5 (((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) โˆง (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
204, 18, 19syl2anc 584 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
21 elfzel2 13501 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
22213ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
2322zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11211 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
25 elfzelz 13503 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
26253ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12669 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2823, 24, 27addsubd 11594 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต) = ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1))
2928oveq2d 7427 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)) = ((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
3020, 29breqtrrd 5176 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)))
31 revwlk 34184 . . 3 (((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)) โ†’ (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต)))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
3230, 31syl 17 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต)))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
33 swrdrevpfx 34176 . . 3 ((๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))))
348, 33syl3an1 1163 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))))
35 eqid 2732 . . . . 5 (Vtxโ€˜๐บ) = (Vtxโ€˜๐บ)
3635wlkpwrd 28912 . . . 4 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ))
37363ad2ant1 1133 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ))
38 fzelp1 13555 . . . 4 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)))
39383ad2ant2 1134 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)))
40 fzp1elp1 13556 . . . . 5 (๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น)) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
41403ad2ant3 1135 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
42 wlklenvp1 28913 . . . . . 6 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + 1))
43423ad2ant1 1133 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + 1))
4443oveq2d 7427 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ)) = (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
4541, 44eleqtrrd 2836 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ)))
46 swrdrevpfx 34176 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)) โˆง (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
4737, 39, 45, 46syl3anc 1371 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
4832, 34, 473brtr4d 5180 1 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   โˆ’ cmin 11446  โ„คcz 12560  ...cfz 13486  โ™ฏchash 14292  Word cword 14466   substr csubstr 14592   prefix cpfx 14622  reversecreverse 14710  Vtxcvtx 28294  iEdgciedg 28295  Walkscwlks 28891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-reverse 14711  df-wlks 28894
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator