Theorem swrdwlk 30273

Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Proof of Theorem swrdwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxwlk 30271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
2	1	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
3		revwlk 30272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
5		fznn0sub2 13772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	wlkf 30200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
10		pfxcl 14831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
11		revlen 14915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
13		pfxlen 14837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
14	8, 13	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	14	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	12, 15	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = 𝐿)
17	16	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))) = (0...𝐿))
18	6, 17	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))))
19		pfxwlk 30271	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) ∧ (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
20	4, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
21		elfzel2 13657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℂ)
24		1cnd 11305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
25		elfzelz 13659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	addsubd 11693	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝐿 + 1) − 𝐵) = ((𝐿 − 𝐵) + 1))
29	28	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) = ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
30	20, 29	breqtrrd 5132	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)))
31		revwlk 30272	. . 3 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
32	30, 31	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
33		swrdrevpfx 14922	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
34	8, 33	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
35		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
36	35	wlkpwrd 30203	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
37	36	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38		fzelp1 13713	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
39	38	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
40		fzp1elp1 13714	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
41	40	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
42		wlklenvp1 30204	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
44	43	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝐹) + 1)))
45	41, 44	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
46		swrdrevpfx 14922	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)) ∧ (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
47	37, 39, 45, 46	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
48	32, 34, 47	3brtr4d 5136	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   − cmin 11544  ℤcz 12696  ...cfz 13642  ♯chash 14477  Word cword 14661   substr csubstr 14792   prefix cpfx 14824  reversecreverse 14911  Vtxcvtx 29579  iEdgciedg 29580  Walkscwlks 30182

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-reverse 14912  df-wlks 30185

This theorem is used by: (None)