Theorem swrdwlk 30155

Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Proof of Theorem swrdwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxwlk 30153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
2	1	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
3		revwlk 30154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
5		fznn0sub2 13694	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
6	5	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
7		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	wlkf 30082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
10		pfxcl 14751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
11		revlen 14835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
12	9, 10, 11	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
13		pfxlen 14757	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
14	8, 13	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	14	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	12, 15	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = 𝐿)
17	16	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))) = (0...𝐿))
18	6, 17	eleqtrrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))))
19		pfxwlk 30153	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) ∧ (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
20	4, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
21		elfzel2 13580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℂ)
24		1cnd 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
25		elfzelz 13582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	addsubd 11618	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝐿 + 1) − 𝐵) = ((𝐿 − 𝐵) + 1))
29	28	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) = ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
30	20, 29	breqtrrd 5137	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)))
31		revwlk 30154	. . 3 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
32	30, 31	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
33		swrdrevpfx 14842	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
34	8, 33	syl3an1 1181	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
35		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
36	35	wlkpwrd 30085	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
37	36	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38		fzelp1 13635	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
39	38	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
40		fzp1elp1 13636	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
41	40	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
42		wlklenvp1 30086	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
43	42	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
44	43	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝐹) + 1)))
45	41, 44	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
46		swrdrevpfx 14842	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)) ∧ (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
47	37, 39, 45, 46	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
48	32, 34, 47	3brtr4d 5141	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   − cmin 11469  ℤcz 12619  ...cfz 13565  ♯chash 14398  Word cword 14582   substr csubstr 14712   prefix cpfx 14744  reversecreverse 14831  Vtxcvtx 29461  iEdgciedg 29462  Walkscwlks 30064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-reverse 14832  df-wlks 30067

This theorem is used by: (None)