Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  swrdwlk Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdwlk 34117
Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
swrdwlk ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ))

Proof of Theorem swrdwlk
StepHypRef Expression
1 pfxwlk 34114 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)))
213adant2 1132 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)))
3 revwlk 34115 . . . . . 6 ((๐น prefix ๐ฟ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1)) โ†’ (reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))))
5 fznn0sub2 13608 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...๐ฟ))
653ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...๐ฟ))
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (iEdgโ€˜๐บ) = (iEdgโ€˜๐บ)
87wlkf 28871 . . . . . . . . . 10 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ ๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
983ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
10 pfxcl 14627 . . . . . . . . 9 (๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โ†’ (๐น prefix ๐ฟ) โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ))
11 revlen 14712 . . . . . . . . 9 ((๐น prefix ๐ฟ) โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))
13 pfxlen 14633 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
148, 13sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
15143adant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) = ๐ฟ)
1612, 15eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))) = ๐ฟ)
1716oveq2d 7425 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))) = (0...๐ฟ))
186, 17eleqtrrd 2837 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)))))
19 pfxwlk 34114 . . . . 5 (((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) โˆง (๐ฟ โˆ’ ๐ต) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜(reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ))))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
204, 18, 19syl2anc 585 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
21 elfzel2 13499 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
22213ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„ค)
2322zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ฟ โˆˆ โ„‚)
24 1cnd 11209 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
25 elfzelz 13501 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
26253ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2726zcnd 12667 . . . . . 6 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2823, 24, 27addsubd 11592 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต) = ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1))
2928oveq2d 7425 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)) = ((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ โˆ’ ๐ต) + 1)))
3020, 29breqtrrd 5177 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)))
31 revwlk 34115 . . 3 (((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))(Walksโ€˜๐บ)((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต)) โ†’ (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต)))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
3230, 31syl 17 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต)))(Walksโ€˜๐บ)(reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
33 swrdrevpfx 34107 . . 3 ((๐น โˆˆ Word dom (iEdgโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))))
348, 33syl3an1 1164 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐น prefix ๐ฟ)) prefix (๐ฟ โˆ’ ๐ต))))
35 eqid 2733 . . . . 5 (Vtxโ€˜๐บ) = (Vtxโ€˜๐บ)
3635wlkpwrd 28874 . . . 4 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ))
37363ad2ant1 1134 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ))
38 fzelp1 13553 . . . 4 (๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)))
39383ad2ant2 1135 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)))
40 fzp1elp1 13554 . . . . 5 (๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น)) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
41403ad2ant3 1136 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
42 wlklenvp1 28875 . . . . . 6 (๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + 1))
43423ad2ant1 1134 . . . . 5 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ƒ) = ((โ™ฏโ€˜๐น) + 1))
4443oveq2d 7425 . . . 4 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ)) = (0...((โ™ฏโ€˜๐น) + 1)))
4541, 44eleqtrrd 2837 . . 3 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ)))
46 swrdrevpfx 34107 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ Word (Vtxโ€˜๐บ) โˆง ๐ต โˆˆ (0...(๐ฟ + 1)) โˆง (๐ฟ + 1) โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
4737, 39, 45, 46syl3anc 1372 . 2 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ) = (reverseโ€˜((reverseโ€˜(๐‘ƒ prefix (๐ฟ + 1))) prefix ((๐ฟ + 1) โˆ’ ๐ต))))
4832, 34, 473brtr4d 5181 1 ((๐น(Walksโ€˜๐บ)๐‘ƒ โˆง ๐ต โˆˆ (0...๐ฟ) โˆง ๐ฟ โˆˆ (0...(โ™ฏโ€˜๐น))) โ†’ (๐น substr โŸจ๐ต, ๐ฟโŸฉ)(Walksโ€˜๐บ)(๐‘ƒ substr โŸจ๐ต, (๐ฟ + 1)โŸฉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   โˆ’ cmin 11444  โ„คcz 12558  ...cfz 13484  โ™ฏchash 14290  Word cword 14464   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620  reversecreverse 14708  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  Walkscwlks 28853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-reverse 14709  df-wlks 28856
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator