Theorem swrdwlk 35340

Description: Two matching subwords of a walk also represent a walk. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
swrdwlk	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Proof of Theorem swrdwlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pfxwlk 35337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
2	1	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)))
3		revwlk 35338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿)(Walks‘𝐺)(𝑃 prefix (𝐿 + 1)) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))))
5		fznn0sub2 13563	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
6	5	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...𝐿))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
8	7	wlkf 29700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
10		pfxcl 14613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
11		revlen 14697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 prefix 𝐿) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)))
13		pfxlen 14619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
14	8, 13	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
15	14	3adant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 prefix 𝐿)) = 𝐿)
16	12, 15	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))) = 𝐿)
17	16	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))) = (0...𝐿))
18	6, 17	eleqtrrd 2840	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)))))
19		pfxwlk 35337	. . . . 5 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))(Walks‘𝐺)(reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) ∧ (𝐿 − 𝐵) ∈ (0...(♯‘(reverse‘(𝐹 prefix 𝐿))))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
20	4, 18, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
21		elfzel2 13450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
22	21	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐿 ∈ ℂ)
24		1cnd 11139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 1 ∈ ℂ)
25		elfzelz 13452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ ℤ)
26	25	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	23, 24, 27	addsubd 11525	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝐿 + 1) − 𝐵) = ((𝐿 − 𝐵) + 1))
29	28	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) = ((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 − 𝐵) + 1)))
30	20, 29	breqtrrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)))
31		revwlk 35338	. . 3 ⊢ (((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))(Walks‘𝐺)((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵)) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
32	30, 31	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵)))(Walks‘𝐺)(reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
33		swrdrevpfx 35330	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
34	8, 33	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝐹 prefix 𝐿)) prefix (𝐿 − 𝐵))))
35		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
36	35	wlkpwrd 29703	. . . 4 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
37	36	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38		fzelp1 13504	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝐿) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
39	38	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)))
40		fzp1elp1 13505	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
41	40	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...((♯‘𝐹) + 1)))
42		wlklenvp1 29704	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
43	42	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
44	43	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0...(♯‘𝑃)) = (0...((♯‘𝐹) + 1)))
45	41, 44	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃)))
46		swrdrevpfx 35330	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (0...(𝐿 + 1)) ∧ (𝐿 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑃))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
47	37, 39, 45, 46	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩) = (reverse‘((reverse‘(𝑃 prefix (𝐿 + 1))) prefix ((𝐿 + 1) − 𝐵))))
48	32, 34, 47	3brtr4d 5132	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨𝐵, 𝐿⟩)(Walks‘𝐺)(𝑃 substr ⟨𝐵, (𝐿 + 1)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℤcz 12500  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Word cword 14448   substr csubstr 14576   prefix cpfx 14606  reversecreverse 14693  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  Walkscwlks 29682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-reverse 14694  df-wlks 29685

This theorem is referenced by: (None)