Theorem fznn0sub2 13685

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub2	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fznn0sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 13576	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2		elfzel2 13571	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13573	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zre 12615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		zre 12615	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		subge02 11750	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁)
10		fznn0sub 13606	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0uz 12921	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleqtrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘0))
13		elfz5 13565	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
14	12, 2, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
15	9, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℝcr 11119  0cc0 11120   ≤ cle 11264   − cmin 11461  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12883  ...cfz 13556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-fz 13557

This theorem is used by:  uzsubfz0  13686  bccmpl  14368  pfxlswccat  14777  revcl  14825  revlen  14826  revccat  14830  revrev  14831  revpfxsfxrev  14832  swrdrevpfx  14833  2cshwcshw  14891  cshwcshid  14893  revco  14900  fsum0diag2  15862  mertenslem1  15966  cshwshashlem2  17183  taylthlem2  26593  birthdaylem2  27173  basellem3  27303  swrdwlk  30100  eleclclwwlknlem2  30484  gsummptrev  33445  selvply1rhmlemb  33978  vietalem  34038  vieta  34039  signstfveq0  35034  dvnprodlem2  46739  ply1mulgsumlem2  49244