Theorem fznn0sub2 13668

Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fznn0sub2	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fznn0sub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 13559	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2		elfzel2 13554	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13556	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4		zre 12599	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		zre 12599	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6		subge02 11734	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
8	2, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
9	1, 8	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁)
10		fznn0sub 13589	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℕ0)
11		nn0uz 12904	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘0))
13		elfz5 13548	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
14	12, 2, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 − 𝐾) ≤ 𝑁))
15	9, 14	mpbird 260	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   ≤ cle 11248   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  uzsubfz0  13669  bccmpl  14350  pfxlswccat  14755  revcl  14803  revlen  14804  revccat  14808  revrev  14809  2cshwcshw  14867  cshwcshid  14869  revco  14876  fsum0diag2  15839  mertenslem1  15943  cshwshashlem2  17160  taylthlem2  26546  birthdaylem2  27126  basellem3  27256  eleclclwwlknlem2  30421  gsummptrev  33385  selvply1rhmlemb  33918  vietalem  33978  vieta  33979  signstfveq0  34973  revpfxsfxrev  35615  swrdrevpfx  35616  swrdwlk  35627  dvnprodlem2  46689  ply1mulgsumlem2  49195