MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fznn0sub2 13007
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem fznn0sub2
StepHypRef Expression
1 elfzle1 12903 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2 elfzel2 12898 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 12900 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 zre 11971 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 zre 11971 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 subge02 11141 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
74, 5, 6syl2an 598 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
82, 3, 7syl2anc 587 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
91, 8mpbid 235 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ≤ 𝑁)
10 fznn0sub 12932 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
11 nn0uz 12266 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleqtrdi 2926 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0))
13 elfz5 12892 . . 3 (((𝑁𝐾) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
1412, 2, 13syl2anc 587 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁𝐾) ≤ 𝑁))
159, 14mpbird 260 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115   class class class wbr 5047  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522  cle 10661  cmin 10855  0cn0 11883  cz 11967  cuz 12229  ...cfz 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884
This theorem is referenced by:  uzsubfz0  13008  bccmpl  13663  pfxlswccat  14064  revcl  14112  revlen  14113  revccat  14117  revrev  14118  2cshwcshw  14176  cshwcshid  14178  revco  14185  fsum0diag2  15127  mertenslem1  15229  cshwshashlem2  16419  taylthlem2  24958  birthdaylem2  25527  basellem3  25657  eleclclwwlknlem2  27835  signstfveq0  31865  revpfxsfxrev  32380  swrdrevpfx  32381  swrdwlk  32391  dvnprodlem2  42431  ply1mulgsumlem2  44636
  Copyright terms: Public domain W3C validator