Theorem elfzfzo 43757

Description: Relationship between membership in a half-open finite set of sequential integers and membership in a finite set of sequential intergers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elfzfzo	⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁))

Proof of Theorem elfzfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 13630	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐴 ∈ (𝑀...𝑁))
2		elfzolt2 13623	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁))
4		elfzuz 13479	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		elfzel2 13481	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 < 𝑁)
9		elfzo2 13617	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝑁))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁))
11	3, 10	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐴 < 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393   < clt 11230  ℤcz 12540  ℤ_≥cuz 12804  ...cfz 13466  ..^cfzo 13609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  44635  fourierdlem64  44657