Theorem elfzelfzlble 47271

Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelfzlble	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzelfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3simpc 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	1, 3	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
6		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
9		zsubcl 12657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
11	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
16		elfzel2 13559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 12720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19		zre 12615	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		elfzelz 13561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	zred 12720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
24	18, 20, 23	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
25		simp1 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		readdcl 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
27	26	3adant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
28		ltle 11347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
30		lesubadd2 11734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
31	29, 30	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
32	24, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
33	32	3impia 1116	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾)
34		elfzle2 13565	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
35	34	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
36	15, 33, 35	jca32 515	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
37		elfz2 13551	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
38	36, 37	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℤcz 12611  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by: (None)