Theorem elfzelfzlble 47236

Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelfzlble	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzelfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	1, 3	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
6		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	anim2i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
9		zsubcl 12685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
11	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
16		elfzel2 13582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 12747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19		zre 12643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		elfzelz 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	zred 12747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
23	22	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
24	18, 20, 23	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
25		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		readdcl 11267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
27	26	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
28		ltle 11378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
29	25, 27, 28	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
30		lesubadd2 11763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
31	29, 30	sylibrd 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
32	24, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
33	32	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾)
34		elfzle2 13588	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
35	34	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
36	15, 33, 35	jca32 515	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
37		elfz2 13574	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
38	36, 37	sylibr 234	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℤcz 12639  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by: (None)