Theorem elfzelfzlble 45706

Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelfzlble	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzelfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	1, 3	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
6		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	ancomd 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
9		zsubcl 12569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
11	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
16		elfzel2 13464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19		zre 12527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		elfzelz 13466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	zred 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
23	22	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
24	18, 20, 23	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
25		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		readdcl 11158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
27	26	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
28		ltle 11267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
29	25, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
30		lesubadd2 11652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
31	29, 30	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
32	24, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
33	32	3impia 1117	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾)
34		elfzle2 13470	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
35	34	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
36	15, 33, 35	jca32 516	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
37		elfz2 13456	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
38	36, 37	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  ℝcr 11074  0cc0 11075   + caddc 11078   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11409  ℤcz 12523  ...cfz 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450

This theorem is referenced by: (None)