Theorem elfzelfzlble 46970

Description: Membership of an element of a finite set of sequential integers in a finite set of sequential integers with the same upper bound and a lower bound less than the upper bound. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelfzlble	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzelfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13539	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
2		3simpc 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
3	2	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4	1, 3	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
5	4	anim2i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
6		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	anim2i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	ancomd 460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
9		zsubcl 12650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
11	6	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
14	5, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
16		elfzel2 13547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	zred 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
18	17	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
19		zre 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21		elfzelz 13549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	21	zred 12712	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
23	22	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
24	18, 20, 23	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
25		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		readdcl 11232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
27	26	3adant1 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ)
28		ltle 11343	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
29	25, 27, 28	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
30		lesubadd2 11728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝐾)))
31	29, 30	sylibrd 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
32	24, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝑀 + 𝐾) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾))
33	32	3impia 1114	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾)
34		elfzle2 13553	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
35	34	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
36	15, 33, 35	jca32 514	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
37		elfz2 13539	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 − 𝑀) ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
38	36, 37	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 < (𝑀 + 𝐾)) → 𝐾 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149   + caddc 11152   < clt 11289   ≤ cle 11290   − cmin 11485  ℤcz 12604  ...cfz 13532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533

This theorem is referenced by: (None)