Theorem nn0disj 13581

Description: The first 𝑁 + 1 elements of the set of nonnegative integers are distinct from any later members. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nn0disj	⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅

Proof of Theorem nn0disj

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
2		eluzle 12782	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
4		eluzel2 12774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
6		eluzelz 12779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		zlem1lt 12561	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
9	5, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
10	3, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
11		elinel1 4160	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
12		elfzle2 13465	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ≤ 𝑁)
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ≤ 𝑁)
14	7	zred 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
15		elin 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))))
16		elfzel2 13459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
18	15, 17	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
19	18	zred 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
20	14, 19	lenltd 11296	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑘))
21	18	zcnd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
22		pncan1 11578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	23	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
25	24	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝑘 ↔ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
26	25	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (¬ 𝑁 < 𝑘 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
27	20, 26	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘))
28	13, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ¬ ((𝑁 + 1) − 1) < 𝑘)
29	10, 28	pm2.21dd 195	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ∅)
30	29	ssriv 3947	. 2 ⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅
31		ss0 4361	. 2 ⊢ (((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ⊆ ∅ → ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅)
32	30, 31	ax-mp 5	1 ⊢ ((0...𝑁) ∩ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445

This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22723  chfacfpmmulgsum  22727  nnuzdisj  45324