MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1b 13653
Description: Membership in a 1-based finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 30-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
elfz1b (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem elfz1b
StepHypRef Expression
1 elfz2 13574 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)))
2 simpl2 1192 . . . . 5 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 1red 11291 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
4 zre 12643 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
543ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 zre 12643 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
763ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 letr 11384 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
93, 5, 7, 8syl3anc 1371 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑁𝑁𝑀) → 1 ≤ 𝑀))
109imp 406 . . . . 5 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 1 ≤ 𝑀)
11 elnnz1 12669 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑀))
122, 10, 11sylanbrc 582 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
131, 12sylbi 217 . . 3 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
14 elfzel2 13582 . . . 4 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
15 fznn 13652 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀)))
1615biimpd 229 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀)))
1714, 16mpcom 38 . . 3 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
18 3anan12 1096 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀)))
1913, 17, 18sylanbrc 582 . 2 (𝑁 ∈ (1...𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
20 nnz 12660 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2120, 15syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀)))
2221biimprd 248 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ (1...𝑀)))
2322expd 415 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁𝑀𝑁 ∈ (1...𝑀))))
24233imp21 1114 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁 ∈ (1...𝑀))
2519, 24impbii 209 1 (𝑁 ∈ (1...𝑀) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  cr 11183  1c1 11185  cle 11325  cn 12293  cz 12639  ...cfz 13567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568
This theorem is referenced by:  ubmelfzo  13781  cshwidxm  14856  cshwidxn  14857  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem2  27429  gausslemma2dlem4  27431  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30396  pmtrto1cl  33092  psgnfzto1stlem  33093  fzto1st  33096  psgnfzto1st  33098  hgt750lemb  34633  poimirlem32  37612
  Copyright terms: Public domain W3C validator