Theorem difelfznle 13570

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13546	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		nn0addcl 12448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzelz 13452	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		zsubcl 12545	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
9	8	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
10	6	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		elfzel2 13450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nn0readdcl 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
17	1, 16	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19		elfzle2 13456	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
20		elfzle1 13455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12ci 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25	1, 24	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26		addge02 11660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
28	20, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
29	19, 28	anim12i 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30		letr 11239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
31	30	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33	32	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34		zre 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
35	21, 22	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36	35	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
37	1, 36	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38		readdcl 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
40	34, 39	anim12ci 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
41	6, 40	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42	41	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43		subge0 11662	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
45	33, 44	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46		elnn0z 12513	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
47	9, 45, 46	sylanbrc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48		elfz3nn0 13549	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	48	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50		elfzelz 13452	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zre 12504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52		ltnle 11224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
54		ltle 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
55	54	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
56	53, 55	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
57	34, 51, 56	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
58	6, 50, 57	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
59	58	3impia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
60	50	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
62	61, 11, 14	leadd1d 11743	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63	62	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
64	59, 63	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
65	18, 11, 14	lesubadd2d 11748	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66	65	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
67	64, 66	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
68		elfz2nn0 13546	. 2 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14760