MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difelfznle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelfznle 13463
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 13440 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 nn0addcl 12361 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 12517 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
433adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 216 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6 elfzelz 13349 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 zsubcl 12455 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2anr 597 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
983adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
106zred 12519 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 elfzel2 13347 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 12519 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nn0readdcl 12392 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16153adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
171, 16sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19 elfzle2 13353 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
20 elfzle1 13352 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21 nn0re 12335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
22 nn0re 12335 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2321, 22anim12ci 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
251, 24sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26 addge02 11579 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2820, 27mpbid 231 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
2919, 28anim12i 613 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30 letr 11162 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3130imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33323adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34 zre 12416 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3521, 22anim12i 613 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36353adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
371, 36sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38 readdcl 11047 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4034, 39anim12ci 614 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
416, 40sylan 580 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42413adant3 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43 subge0 11581 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4533, 44mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46 elnn0z 12425 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
479, 45, 46sylanbrc 583 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48 elfz3nn0 13443 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49483ad2ant1 1132 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50 elfzelz 13349 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 zre 12416 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52 ltnle 11147 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
5352ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
54 ltle 11156 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5554ancoms 459 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5653, 55sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
5734, 51, 56syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
586, 50, 57syl2an 596 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
59583impia 1116 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑀𝐾)
6050zred 12519 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
6160adantl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6261, 11, 14leadd1d 11662 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63623adant3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6459, 63mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
6518, 11, 14lesubadd2d 11667 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66653adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6764, 66mpbird 256 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
68 elfz2nn0 13440 . 2 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
6947, 49, 67, 68syl3anbrc 1342 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086  wcel 2105   class class class wbr 5089  (class class class)co 7329  cr 10963  0cc0 10964   + caddc 10967   < clt 11102  cle 11103  cmin 11298  0cn0 12326  cz 12412  ...cfz 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14629
  Copyright terms: Public domain W3C validator