MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difelfznle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difelfznle 12661
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12638 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 nn0addcl 11575 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
32nn0zd 11727 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
433adant3 1162 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
51, 4sylbi 208 . . . . 5 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6 elfzelz 12549 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 zsubcl 11666 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
85, 6, 7syl2anr 590 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
983adant3 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
106zred 11729 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12 elfzel2 12547 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1312zred 11729 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1413adantr 472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 nn0readdcl 11604 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16153adant3 1162 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
171, 16sylbi 208 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
1817adantl 473 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19 elfzle2 12552 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾𝑁)
20 elfzle1 12551 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
22 nn0re 11548 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2321, 22anim12ci 607 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24233adant3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
251, 24sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26 addge02 10793 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
2820, 27mpbid 223 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
2919, 28anim12i 606 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30 letr 10385 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3130imp 395 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾𝑁𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1492 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33323adant3 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34 zre 11628 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3521, 22anim12i 606 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36353adant3 1162 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
371, 36sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38 readdcl 10272 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
4034, 39anim12ci 607 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
416, 40sylan 575 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42413adant3 1162 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43 subge0 10795 . . . . 5 (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4442, 43syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
4533, 44mpbird 248 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46 elnn0z 11637 . . 3 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
479, 45, 46sylanbrc 578 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48 elfz3nn0 12641 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49483ad2ant1 1163 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50 elfzelz 12549 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51 zre 11628 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52 ltnle 10371 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
5352ancoms 450 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾𝑀))
54 ltle 10380 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5554ancoms 450 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾𝑀𝐾))
5653, 55sylbird 251 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
5734, 51, 56syl2an 589 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
586, 50, 57syl2an 589 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾𝑀𝑀𝐾))
59583impia 1145 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → 𝑀𝐾)
6050zred 11729 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
6160adantl 473 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
6261, 11, 14leadd1d 10875 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63623adant3 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6459, 63mpbid 223 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
6518, 11, 14lesubadd2d 10880 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66653adant3 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
6764, 66mpbird 248 . 2 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
68 elfz2nn0 12638 . 2 (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
6947, 49, 67, 68syl3anbrc 1443 1 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107  wcel 2155   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  0cn0 11538  cz 11624  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  13856
  Copyright terms: Public domain W3C validator