Theorem difelfznle 13537

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13513	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		nn0addcl 12411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzelz 13419	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		zsubcl 12509	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
9	8	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
10	6	zred 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		elfzel2 13417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nn0readdcl 12443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
17	1, 16	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19		elfzle2 13423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
20		elfzle1 13422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21		nn0re 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		nn0re 12385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12ci 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25	1, 24	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26		addge02 11623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
28	20, 27	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
29	19, 28	anim12i 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30		letr 11202	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
31	30	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33	32	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34		zre 12467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
35	21, 22	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36	35	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
37	1, 36	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38		readdcl 11084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
40	34, 39	anim12ci 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
41	6, 40	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42	41	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43		subge0 11625	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
45	33, 44	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46		elnn0z 12476	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
47	9, 45, 46	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48		elfz3nn0 13516	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	48	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50		elfzelz 13419	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zre 12467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52		ltnle 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
53	52	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
54		ltle 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
55	54	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
56	53, 55	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
57	34, 51, 56	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
58	6, 50, 57	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
59	58	3impia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
60	50	zred 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	60	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
62	61, 11, 14	leadd1d 11706	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63	62	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
64	59, 63	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
65	18, 11, 14	lesubadd2d 11711	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66	65	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
67	64, 66	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
68		elfz2nn0 13513	. 2 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ...cfz 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14727