Theorem difelfznle 13587

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13563	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2		nn0addcl 12463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 12540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 218	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
6		elfzelz 13469	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		zsubcl 12560	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
8	5, 6, 7	syl2anr 603	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
9	8	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
10	6	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
11	10	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
12		elfzel2 13467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
15		nn0readdcl 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
16	15	3adant3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
17	1, 16	sylbi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
19		elfzle2 13473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
20		elfzle1 13472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
21		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		nn0re 12437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
23	21, 22	anim12ci 620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
24	23	3adant3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
25	1, 24	sylbi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
26		addge02 11652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
28	20, 27	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))
29	19, 28	anim12i 619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
30		letr 11231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
31	30	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝑀 + 𝑁))) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
33	32	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁))
34		zre 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
35	21, 22	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36	35	3adant3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
37	1, 36	sylbi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
38		readdcl 11112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
40	34, 39	anim12ci 620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
41	6, 40	sylan 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
42	41	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ))
43		subge0 11654	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
44	42, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ↔ 𝐾 ≤ (𝑀 + 𝑁)))
45	33, 44	mpbird 258	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾))
46		elnn0z 12528	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾)))
47	9, 45, 46	sylanbrc 589	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0)
48		elfz3nn0 13566	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49	48	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
50		elfzelz 13469	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		zre 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
52		ltnle 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
53	52	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀))
54		ltle 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
55	54	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 → 𝑀 ≤ 𝐾))
56	53, 55	sylbird 261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
57	34, 51, 56	syl2an 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
58	6, 50, 57	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (¬ 𝐾 ≤ 𝑀 → 𝑀 ≤ 𝐾))
59	58	3impia 1123	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
60	50	zred 12624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
61	60	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
62	61, 11, 14	leadd1d 11735	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
63	62	3adant3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
64	59, 63	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁))
65	18, 11, 14	lesubadd2d 11740	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
66	65	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 + 𝑁) ≤ (𝐾 + 𝑁)))
67	64, 66	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
68		elfz2nn0 13563	. 2 ⊢ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1350	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ ¬ 𝐾 ≤ 𝑀) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝐾) ∈ (0...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  14778