Theorem fzofzp1b 13797

Description: If a point is in a half-open range, the next point is in the closed range. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzp1b	⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)))

Proof of Theorem fzofzp1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzofzp1 13796	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) → (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵))
2		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3		eluzelz 12875	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
4		elfzuz3 13552	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1)))
5		eluzp1m1 12891	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘(𝐶 + 1))) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
6	3, 4, 5	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
7		elfzuzb 13549	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
8	2, 6, 7	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴...(𝐵 − 1)))
9		elfzel2 13553	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
11		fzoval 13691	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
13	8, 12	eleqtrrd 2873	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵))
14	13	ex 417	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵) → 𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵)))
15	1, 14	impbid2 229	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴..^𝐵) ↔ (𝐶 + 1) ∈ (𝐴...𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  1c1 11104   + caddc 11106   − cmin 11444  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12865  ...cfz 13538  ..^cfzo 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686

This theorem is referenced by:  iccpartres  48116