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Theorem crctcshwlkn0 27291
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a walk 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crctcsh.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2 crctcsh.d . . . . . . 7 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
3 crctiswlk 27269 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54wlkf 27084 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
62, 3, 53syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7 cshwcl 14001 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 𝑆) ∈ Word dom 𝐼)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑆) ∈ Word dom 𝐼)
91, 8syl5eqel 2887 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
112, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12 crctcsh.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1312wlkp 27086 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
14 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
15 crctcsh.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
16 elfznn0 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 elfzonn0 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2017, 19nn0addcld 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0)
22 crctcsh.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (♯‘𝐹)
23 elfz3nn0 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2422, 23syl5eqelr 2888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2524ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26 elfzelz 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2726zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29 elfzoelz 12893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
3029zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
32 elfzel2 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3332zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 leaddsub 10969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
3628, 31, 34, 35syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
3736biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁)
3837, 22syl6breq 5007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹))
3921, 25, 383jca 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
4015, 39sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
41 elfz2nn0 12853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
4240, 41sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
4342adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
4414, 43ffvelrnd 6722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) ∈ 𝑉)
45 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
46 elfzoel2 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 zaddcl 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℤ)
4847adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℤ)
49 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5048, 49zsubcld 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsubcl 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
5352ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
5453zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
55 zre 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56 ltnle 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
5754, 55, 56syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
58 zre 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5958adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 zre 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
6255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
63 ltsubadd 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑥𝑁 < (𝑥 + 𝑆)))
6459, 61, 62, 63syl2an23an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥𝑁 < (𝑥 + 𝑆)))
6559adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6648zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ)
6765, 66posdifd 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 < (𝑥 + 𝑆) ↔ 0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
68 0red 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
6950zred 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℝ)
70 ltle 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7168, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7267, 71sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 < (𝑥 + 𝑆) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7364, 72sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7457, 73sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7574imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))
7651, 75jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7776exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
7877, 26syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
7929, 46, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
8079imp31 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
81 elnn0z 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
8280, 81sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0)
8324ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
84 elfzo0 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
85 elfz2nn0 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁))
86 nn0re 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
87863ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
88 nn0re 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
89883ad2ant1 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
9087, 89anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ))
91 nnre 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9291, 91jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
93923ad2ant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9590, 94jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
96 simpr3 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
97 ltle 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
9886, 91, 97syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
99983impia 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆𝑁)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → 𝑆𝑁)
10195, 96, 100jca32 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)))
10284, 85, 101syl2anb 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)))
103 le2add 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝑁𝑆𝑁) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104103imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁))
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁))
10666, 65, 653jca 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
107106ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
108107, 26syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
10929, 46, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
110109imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
111 lesubadd 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
113105, 112mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁)
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁)
115114, 22syl6breq 5007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹))
11682, 83, 1153jca 1121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
11715, 116sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
118 elfz2nn0 12853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
119117, 118sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
120119adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12145, 120ffvelrnd 6722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ 𝑉)
12244, 121ifclda 4419 . . . . . . . . . 10 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)
123122exp32 421 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)))
12413, 123syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)))
12511, 124mpcom 38 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉))
126125imp 407 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)
127 crctcsh.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
128126, 127fmptd 6746 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑁)⟶𝑉)
12912, 4, 2, 22, 15, 1crctcshlem2 27288 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
130129oveq2d 7037 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(♯‘𝐻)) = (0...𝑁))
131130feq2d 6373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉𝑄:(0...𝑁)⟶𝑉))
132128, 131mpbird 258 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉)
133132adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉)
13412, 4wlkprop 27081 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
1352, 3, 1343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
136135adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
13722eqcomi 2804 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = 𝑁
138137oveq2i 7032 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
139138raleqi 3373 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
140 fzo1fzo0n0 12943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ≠ 0))
141140simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁)))
14215, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁)))
143142imp 407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
144143ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
145 simplll 771 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
146 wkslem1 27077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
147146cbvralv 3403 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
148147biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
150 crctprop 27265 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
151137fveq2i 6546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃𝑁)
152151eqeq2i 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃𝑁))
153152biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘0) = (𝑃𝑁))
154153eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
155154adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
1562, 150, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
157156ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
158157adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
159144, 127, 1, 22, 145, 149, 158crctcshwlkn0lem7 27286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
160129oveq2d 7037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
161160raleqdv 3375 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
162161ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
163162adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
164159, 163mpbird 258 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
165164ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
166139, 165syl5bi 243 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
167166ex 413 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
168167com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
1691683impia 1110 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
170136, 169mpcom 38 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
17110, 133, 1703jca 1121 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
17212, 4, 2, 22, 15, 1, 127crctcshlem3 27289 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
173172adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
17412, 4iswlk 27080 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
175173, 174syl 17 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
176171, 175mpbird 258 1 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  if-wif 1055  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wral 3105  Vcvv 3437  wss 3863  ifcif 4385  {csn 4476  {cpr 4478   class class class wbr 4966  cmpt 5045  dom cdm 5448  wf 6226  cfv 6230  (class class class)co 7021  cr 10387  0cc0 10388  1c1 10389   + caddc 10391   < clt 10526  cle 10527  cmin 10722  cn 11491  0cn0 11750  cz 11834  ...cfz 12747  ..^cfzo 12888  chash 13545  Word cword 13712   cyclShift ccsh 13991  Vtxcvtx 26469  iEdgciedg 26470  Walkscwlks 27066  Trailsctrls 27162  Circuitsccrcts 27257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-pre-sup 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-sup 8757  df-inf 8758  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-div 11151  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-rp 12245  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-fl 13017  df-mod 13093  df-hash 13546  df-word 13713  df-concat 13774  df-substr 13844  df-pfx 13874  df-csh 13992  df-wlks 27069  df-trls 27164  df-crcts 27259
This theorem is referenced by:  crctcshwlk  27292
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