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Theorem crctcshwlkn0 27759
Description: Cyclically shifting the indices of a circuit 𝐹, 𝑃 results in a walk 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crctcsh.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
2 crctcsh.d . . . . . . 7 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
3 crctiswlk 27737 . . . . . . 7 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
54wlkf 27556 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
62, 3, 53syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
7 cshwcl 14249 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐹 cyclShift 𝑆) ∈ Word dom 𝐼)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 cyclShift 𝑆) ∈ Word dom 𝐼)
91, 8eqeltrid 2837 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
109adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
112, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
12 crctcsh.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1312wlkp 27558 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
14 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
15 crctcsh.s . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
16 elfznn0 13091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 elfzonn0 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
1918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2017, 19nn0addcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0)
22 crctcsh.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = (♯‘𝐹)
23 elfz3nn0 13092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2422, 23eqeltrrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2524ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
26 elfzelz 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
2726zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
29 elfzoelz 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
3029zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
3130adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ ℝ)
32 elfzel2 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3332zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
35 leaddsub 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
3628, 31, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
3736biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ 𝑁)
3837, 22breqtrdi 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹))
3921, 25, 383jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
4015, 39sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
41 elfz2nn0 13089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 + 𝑆) ≤ (♯‘𝐹)))
4240, 41sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
4342adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
4414, 43ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) ∈ 𝑉)
45 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
46 elfzoel2 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 zaddcl 12103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℤ)
4847adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℤ)
49 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
5048, 49zsubcld 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ)
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ)
52 zsubcl 12105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
5352ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℤ)
5453zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
55 zre 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
56 ltnle 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
5754, 55, 56syl2anr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)))
58 zre 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5958adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
60 zre 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ ℤ → 𝑆 ∈ ℝ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑆 ∈ ℝ)
6255adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
63 ltsubadd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑥𝑁 < (𝑥 + 𝑆)))
6459, 61, 62, 63syl2an23an 1424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥𝑁 < (𝑥 + 𝑆)))
6559adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6648zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ)
6765, 66posdifd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 < (𝑥 + 𝑆) ↔ 0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
68 0red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
6950zred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℝ)
70 ltle 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7168, 69, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7267, 71sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 < (𝑥 + 𝑆) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7364, 72sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑆) < 𝑥 → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7457, 73sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7574imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))
7651, 75jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
7776exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
7877, 26syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
7929, 46, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → (¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
8079imp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
81 elnn0z 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))
8280, 81sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0)
8324ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
84 elfzo0 13169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
85 elfz2nn0 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁))
86 nn0re 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
87863ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆 ∈ ℝ)
88 nn0re 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
89883ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
9087, 89anim12ci 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ))
91 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9291, 91jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
93923ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9590, 94jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
96 simpr3 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → 𝑥𝑁)
97 ltle 10807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
9886, 91, 97syl2an 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁𝑆𝑁))
99983impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑆𝑁)
10099adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → 𝑆𝑁)
10195, 96, 100jca32 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑁)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)))
10284, 85, 101syl2anb 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)))
103 le2add 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝑁𝑆𝑁) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
104103imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) ∧ (𝑥𝑁𝑆𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁))
105102, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁))
10666, 65, 653jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
107106ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
108107, 26syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
10929, 46, 108syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)))
110109imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
111 lesubadd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁 ↔ (𝑥 + 𝑆) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
113105, 112mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁)
114113adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ 𝑁)
115114, 22breqtrdi 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹))
11682, 83, 1153jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
11715, 116sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
118 elfz2nn0 13089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ≤ (♯‘𝐹)))
119117, 118sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
120119adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12145, 120ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) ∧ ¬ 𝑥 ≤ (𝑁𝑆)) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) ∈ 𝑉)
12244, 121ifclda 4449 . . . . . . . . . 10 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ (𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁))) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)
123122exp32 424 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)))
12413, 123syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)))
12511, 124mpcom 38 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0...𝑁) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉))
126125imp 410 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) ∈ 𝑉)
127 crctcsh.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
128126, 127fmptd 6888 . . . . 5 (𝜑𝑄:(0...𝑁)⟶𝑉)
12912, 4, 2, 22, 15, 1crctcshlem2 27756 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
130129oveq2d 7186 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(♯‘𝐻)) = (0...𝑁))
131130feq2d 6490 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉𝑄:(0...𝑁)⟶𝑉))
132128, 131mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉)
133132adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉)
13412, 4wlkprop 27553 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
1352, 3, 1343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
136135adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))))
13722eqcomi 2747 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐹) = 𝑁
138137oveq2i 7181 . . . . . . . . 9 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^𝑁)
139138raleqi 3314 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))))
140 fzo1fzo0n0 13179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑆 ≠ 0))
141140simplbi2 504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁)))
14215, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁)))
143142imp 410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
144143ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
145 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
146 wkslem1 27549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
147146cbvralvw 3349 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
148147biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
149148adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
150 crctprop 27733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
151137fveq2i 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃𝑁)
152151eqeq2i 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃𝑁))
153152biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃‘0) = (𝑃𝑁))
154153eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
155154adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
1562, 150, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
157156ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
158157adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (𝑃𝑁) = (𝑃‘0))
159144, 127, 1, 22, 145, 149, 158crctcshwlkn0lem7 27754 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
160129oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
161160raleqdv 3316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
162161ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
163162adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
164159, 163mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
165164ex 416 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
166139, 165syl5bi 245 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) ∧ (𝜑𝑆 ≠ 0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
167166ex 416 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
168167com23 86 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖))) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
1691683impia 1118 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖)}, {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑖)))) → ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
170136, 169mpcom 38 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))
17110, 133, 1703jca 1129 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗)))))
17212, 4, 2, 22, 15, 1, 127crctcshlem3 27757 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
173172adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
17412, 4iswlk 27552 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
175173, 174syl 17 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝑄:(0...(♯‘𝐻))⟶𝑉 ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝐻))if-((𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻𝑗)) = {(𝑄𝑗)}, {(𝑄𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻𝑗))))))
176171, 175mpbird 260 1 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  if-wif 1062  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  Vcvv 3398  wss 3843  ifcif 4414  {csn 4516  {cpr 4518   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5525  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  chash 13782  Word cword 13955   cyclShift ccsh 14239  Vtxcvtx 26941  iEdgciedg 26942  Walkscwlks 27538  Trailsctrls 27632  Circuitsccrcts 27725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-hash 13783  df-word 13956  df-concat 14012  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-csh 14240  df-wlks 27541  df-trls 27634  df-crcts 27727
This theorem is referenced by:  crctcshwlk  27760
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