Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 42288
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 42279 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 495 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
106simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8423 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 0red 10638 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1413leidd 11200 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 0)
152nnred 11647 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
162nngt0d 11680 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
1713, 15, 16ltled 10782 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
18 0zd 11987 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
192nnzd 12080 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 elfz 12893 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑀)))
2118, 18, 19, 20syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (0 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝑀)))
2214, 17, 21mpbir2and 709 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2312, 22ffvelrnd 6850 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
249, 23eqeltrrd 2919 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
258simprd 496 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
2615leidd 11200 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑀)
27 elfz 12893 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀𝑀)))
2819, 18, 19, 27syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑀𝑀𝑀)))
2917, 26, 28mpbir2and 709 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
3012, 29ffvelrnd 6850 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
3125, 30eqeltrrd 2919 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
32 0le1 11157 . . . . . 6 0 ≤ 1
3332a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 1)
342nnge1d 11679 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
35 1zzd 12007 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
36 elfz 12893 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
3735, 18, 19, 36syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑀)))
3833, 34, 37mpbir2and 709 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
3912, 38ffvelrnd 6850 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
40 elfzo 13035 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
4118, 18, 19, 40syl3anc 1365 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
4214, 16, 41mpbir2and 709 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
43 0re 10637 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
44 eleq1 2905 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
4544anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
46 fveq2 6669 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
47 oveq1 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4847fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
4946, 48breq12d 5076 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
5045, 49imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
517simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5251r19.21bi 3213 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
5350, 52vtoclg 3573 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
5443, 53ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
5542, 54mpdan 683 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
56 0p1e1 11753 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5756a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
5857fveq2d 6673 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
5955, 9, 583brtr3d 5094 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
60 nnuz 12275 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
612, 60syl6eleq 2928 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
6212adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
63 0red 10638 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
64 elfzelz 12903 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
6564zred 12081 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
66 1red 10636 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
67 0lt1 11156 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
69 elfzle1 12905 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
7063, 66, 65, 68, 69ltletrd 10794 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
7163, 65, 70ltled 10782 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
72 elfzle2 12906 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖𝑀)
73 0zd 11987 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
74 elfzel2 12901 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 elfz 12893 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
7664, 73, 74, 75syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
7771, 72, 76mpbir2and 709 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7877adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7962, 78ffvelrnd 6850 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
8012adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
81 0red 10638 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
82 elfzelz 12903 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
8382zred 12081 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
84 1red 10636 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
8567a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
86 elfzle1 12905 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
8781, 84, 83, 85, 86ltletrd 10794 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
8881, 83, 87ltled 10782 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
8988adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
9083adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
9115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
92 peano2rem 10947 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
94 elfzle2 12906 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9594adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9691ltm1d 11566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
9790, 93, 91, 95, 96lelttrd 10792 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
9890, 91, 97ltled 10782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖𝑀)
9982adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
100 0zd 11987 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
10119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
10299, 100, 101, 75syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖𝑀)))
10389, 98, 102mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
10480, 103ffvelrnd 6850 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
105 0red 10638 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
106 peano2re 10807 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10790, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
108 1red 10636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
10967a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
11083, 106syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
11183ltp1d 11564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
11284, 83, 110, 86, 111lelttrd 10792 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
113112adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
114105, 108, 107, 109, 113lttrd 10795 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
115105, 107, 114ltled 10782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
11690, 93, 108, 95leadd1dd 11248 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
1172nncnd 11648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
118 1cnd 10630 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119117, 118npcand 10995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
120119adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
121116, 120breqtrd 5089 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
12299peano2zd 12084 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
123 elfz 12893 . . . . . . . . 9 (((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)))
124122, 100, 101, 123syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀) ↔ (0 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)))
125115, 121, 124mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
12680, 125ffvelrnd 6850 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
127 elfzo 13035 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
12899, 100, 101, 127syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
12989, 97, 128mpbir2and 709 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
130129, 52syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
131104, 126, 130ltled 10782 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
13261, 79, 131monoord 13395 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄𝑀))
133132, 25breqtrd 5089 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
13424, 39, 31, 59, 133ltletrd 10794 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
13524, 31, 1343jca 1122 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147   class class class wbr 5063  cmpt 5143  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  m cmap 8401  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  cn 11632  cz 11975  cuz 12237  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12888  df-fzo 13029
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  42314  fourierdlem54  42330  fourierdlem63  42339  fourierdlem64  42340  fourierdlem65  42341  fourierdlem69  42345  fourierdlem79  42355  fourierdlem89  42365  fourierdlem90  42366  fourierdlem91  42367  fourierdlem107  42383  fourierdlem109  42385
  Copyright terms: Public domain W3C validator