Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 45565
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem11.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑝   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 45556 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simprd 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
87simpld 493 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
98simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
106simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8861 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 0zd 12595 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
142nnzd 12610 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 0red 11242 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1615leidd 11805 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 0)
172nnred 12252 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
182nngt0d 12286 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
1915, 17, 18ltled 11387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
2013, 14, 13, 16, 19elfzd 13519 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7088 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
229, 21eqeltrrd 2826 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
238simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
2417leidd 11805 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
2513, 14, 14, 19, 24elfzd 13519 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2612, 25ffvelcdmd 7088 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrrd 2826 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
28 1zzd 12618 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
29 0le1 11762 . . . . . 6 0 ≀ 1
3029a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
312nnge1d 12285 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
3213, 14, 28, 30, 31elfzd 13519 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
3312, 32ffvelcdmd 7088 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ∈ ℝ)
34 elfzo 13661 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3513, 13, 14, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3616, 18, 35mpbir2and 711 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
37 0re 11241 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
38 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
3938anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜0))
41 oveq1 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4241fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(0 + 1)))
4340, 42breq12d 5157 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1))))
4439, 43imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))))
457simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4645r19.21bi 3239 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4744, 46vtoclg 3533 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1))))
4837, 47ax-mp 5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))
4936, 48mpdan 685 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))
50 0p1e1 12359 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
5251fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(0 + 1)) = (π‘„β€˜1))
5349, 9, 523brtr3d 5175 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (π‘„β€˜1))
54 nnuz 12890 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
552, 54eleqtrdi 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5612adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
57 0zd 12595 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ β„€)
58 elfzel2 13526 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
59 elfzelz 13528 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
60 0red 11242 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
6159zred 12691 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
62 1red 11240 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
63 0lt1 11761 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
65 elfzle1 13531 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑖)
6660, 62, 61, 64, 65ltletrd 11399 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 𝑖)
6760, 61, 66ltled 11387 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
68 elfzle2 13532 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
6957, 58, 59, 67, 68elfzd 13519 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7069adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7156, 70ffvelcdmd 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7212adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
73 0zd 12595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
7414adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
75 elfzelz 13528 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
7675adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
77 0red 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
7875zred 12691 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
79 1red 11240 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
8063a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 < 1)
81 elfzle1 13531 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
8277, 79, 78, 80, 81ltletrd 11399 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 < 𝑖)
8377, 78, 82ltled 11387 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
8483adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑖)
8578adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
8617adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
87 peano2rem 11552 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
89 elfzle2 13532 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ≀ (𝑀 βˆ’ 1))
9089adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ≀ (𝑀 βˆ’ 1))
9186ltm1d 12171 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
9285, 88, 86, 90, 91lelttrd 11397 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑀)
9385, 86, 92ltled 11387 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
9473, 74, 76, 84, 93elfzd 13519 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9572, 94ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9676peano2zd 12694 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
97 0red 11242 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
98 peano2re 11412 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
9985, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100 1red 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
10163a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 < 1)
10278, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10378ltp1d 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
10479, 78, 102, 81, 103lelttrd 11397 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 < (𝑖 + 1))
105104adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 < (𝑖 + 1))
10697, 100, 99, 101, 105lttrd 11400 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 < (𝑖 + 1))
10797, 99, 106ltled 11387 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (𝑖 + 1))
10885, 88, 100, 90leadd1dd 11853 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ≀ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
1092nncnd 12253 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
110 1cnd 11234 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
111109, 110npcand 11600 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
112111adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
113108, 112breqtrd 5170 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
11473, 74, 96, 107, 113elfzd 13519 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
11572, 114ffvelcdmd 7088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116 elfzo 13661 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
11776, 73, 74, 116syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
11884, 92, 117mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119118, 46syldan 589 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
12095, 115, 119ltled 11387 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
12155, 71, 120monoord 14024 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
122121, 23breqtrd 5170 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ≀ 𝐡)
12322, 33, 27, 53, 122ltletrd 11399 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
12422, 27, 1233jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  45591  fourierdlem54  45607  fourierdlem63  45616  fourierdlem64  45617  fourierdlem65  45618  fourierdlem69  45622  fourierdlem79  45632  fourierdlem89  45642  fourierdlem90  45643  fourierdlem91  45644  fourierdlem107  45660  fourierdlem109  45662
  Copyright terms: Public domain W3C validator