Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 44445
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem11.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑝   𝐡,π‘š,𝑝   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐡(𝑖)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 44436 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
76simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
87simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
98simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
106simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8790 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
13 0zd 12516 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
142nnzd 12531 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15 0red 11163 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
1615leidd 11726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 0)
172nnred 12173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
182nngt0d 12207 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
1915, 17, 18ltled 11308 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
2013, 14, 13, 16, 19elfzd 13438 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7037 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
229, 21eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
238simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
2417leidd 11726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑀)
2513, 14, 14, 19, 24elfzd 13438 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2612, 25ffvelcdmd 7037 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
28 1zzd 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
29 0le1 11683 . . . . . 6 0 ≀ 1
3029a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
312nnge1d 12206 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ 𝑀)
3213, 14, 28, 30, 31elfzd 13438 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (0...𝑀))
3312, 32ffvelcdmd 7037 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ∈ ℝ)
34 elfzo 13580 . . . . . . 7 ((0 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3513, 13, 14, 34syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3616, 18, 35mpbir2and 712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
37 0re 11162 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
38 eleq1 2822 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
3938anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40 fveq2 6843 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜0))
41 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4241fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜(0 + 1)))
4340, 42breq12d 5119 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1))))
4439, 43imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))))
457simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4645r19.21bi 3233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
4744, 46vtoclg 3524 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1))))
4837, 47ax-mp 5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))
4936, 48mpdan 686 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) < (π‘„β€˜(0 + 1)))
50 0p1e1 12280 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 + 1) = 1)
5251fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(0 + 1)) = (π‘„β€˜1))
5349, 9, 523brtr3d 5137 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < (π‘„β€˜1))
54 nnuz 12811 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
552, 54eleqtrdi 2844 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5612adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
57 0zd 12516 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ β„€)
58 elfzel2 13445 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
59 elfzelz 13447 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
60 0red 11163 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
6159zred 12612 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
62 1red 11161 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ∈ ℝ)
63 0lt1 11682 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 1)
65 elfzle1 13450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 1 ≀ 𝑖)
6660, 62, 61, 64, 65ltletrd 11320 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 < 𝑖)
6760, 61, 66ltled 11308 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑖)
68 elfzle2 13451 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
6957, 58, 59, 67, 68elfzd 13438 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7069adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7156, 70ffvelcdmd 7037 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7212adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
73 0zd 12516 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ β„€)
7414adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
75 elfzelz 13447 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
7675adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
77 0red 11163 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 ∈ ℝ)
7875zred 12612 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
79 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 ∈ ℝ)
8063a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 < 1)
81 elfzle1 13450 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 ≀ 𝑖)
8277, 79, 78, 80, 81ltletrd 11320 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 < 𝑖)
8377, 78, 82ltled 11308 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 0 ≀ 𝑖)
8483adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ 𝑖)
8578adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ ℝ)
8617adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
87 peano2rem 11473 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
89 elfzle2 13451 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 ≀ (𝑀 βˆ’ 1))
9089adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ≀ (𝑀 βˆ’ 1))
9186ltm1d 12092 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
9285, 88, 86, 90, 91lelttrd 11318 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 < 𝑀)
9385, 86, 92ltled 11308 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
9473, 74, 76, 84, 93elfzd 13438 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9572, 94ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
9676peano2zd 12615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ β„€)
97 0red 11163 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ∈ ℝ)
98 peano2re 11333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
9985, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100 1red 11161 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ ℝ)
10163a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 < 1)
10278, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10378ltp1d 12090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 𝑖 < (𝑖 + 1))
10479, 78, 102, 81, 103lelttrd 11318 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ 1 < (𝑖 + 1))
105104adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 < (𝑖 + 1))
10697, 100, 99, 101, 105lttrd 11321 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 < (𝑖 + 1))
10797, 99, 106ltled 11308 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 0 ≀ (𝑖 + 1))
10885, 88, 100, 90leadd1dd 11774 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ≀ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
1092nncnd 12174 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
110 1cnd 11155 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
111109, 110npcand 11521 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
112111adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
113108, 112breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ≀ 𝑀)
11473, 74, 96, 107, 113elfzd 13438 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
11572, 114ffvelcdmd 7037 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116 elfzo 13580 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
11776, 73, 74, 116syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≀ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
11884, 92, 117mpbir2and 712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119118, 46syldan 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
12095, 115, 119ltled 11308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
12155, 71, 120monoord 13944 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ≀ (π‘„β€˜π‘€))
122121, 23breqtrd 5132 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜1) ≀ 𝐡)
12322, 33, 27, 53, 122ltletrd 11320 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
12422, 27, 1233jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  44471  fourierdlem54  44487  fourierdlem63  44496  fourierdlem64  44497  fourierdlem65  44498  fourierdlem69  44502  fourierdlem79  44512  fourierdlem89  44522  fourierdlem90  44523  fourierdlem91  44524  fourierdlem107  44540  fourierdlem109  44542
  Copyright terms: Public domain W3C validator