Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 45646
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 45637 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 493 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
106simpld 493 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8868 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 0zd 12608 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142nnzd 12623 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 0red 11254 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1615leidd 11817 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 0)
172nnred 12265 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
182nngt0d 12299 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
1915, 17, 18ltled 11399 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2013, 14, 13, 16, 19elfzd 13532 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7094 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
229, 21eqeltrrd 2826 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
238simprd 494 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
2417leidd 11817 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑀)
2513, 14, 14, 19, 24elfzd 13532 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2612, 25ffvelcdmd 7094 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrrd 2826 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
28 1zzd 12631 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29 0le1 11774 . . . . . 6 0 ≤ 1
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 1)
312nnge1d 12298 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
3213, 14, 28, 30, 31elfzd 13532 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
3312, 32ffvelcdmd 7094 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
34 elfzo 13674 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3513, 13, 14, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3616, 18, 35mpbir2and 711 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
37 0re 11253 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
38 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
3938anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
41 oveq1 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4241fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
4340, 42breq12d 5162 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4439, 43imbi12d 343 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
457simprd 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4645r19.21bi 3238 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4744, 46vtoclg 3532 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4837, 47ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
4936, 48mpdan 685 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
50 0p1e1 12372 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
5251fveq2d 6900 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
5349, 9, 523brtr3d 5180 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
54 nnuz 12903 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
552, 54eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
5612adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
57 0zd 12608 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
58 elfzel2 13539 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
59 elfzelz 13541 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
60 0red 11254 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
6159zred 12704 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
62 1red 11252 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
63 0lt1 11773 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
65 elfzle1 13544 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
6660, 62, 61, 64, 65ltletrd 11411 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
6760, 61, 66ltled 11399 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
68 elfzle2 13545 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖𝑀)
6957, 58, 59, 67, 68elfzd 13532 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7069adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7156, 70ffvelcdmd 7094 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7212adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
73 0zd 12608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
7414adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 elfzelz 13541 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7675adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
77 0red 11254 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
7875zred 12704 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
79 1red 11252 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
8063a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
81 elfzle1 13544 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
8277, 79, 78, 80, 81ltletrd 11411 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
8377, 78, 82ltled 11399 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
8483adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
8578adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
8617adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
87 peano2rem 11564 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
89 elfzle2 13545 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9089adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9186ltm1d 12184 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
9285, 88, 86, 90, 91lelttrd 11409 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
9385, 86, 92ltled 11399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖𝑀)
9473, 74, 76, 84, 93elfzd 13532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9572, 94ffvelcdmd 7094 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9676peano2zd 12707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
97 0red 11254 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
98 peano2re 11424 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
9985, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100 1red 11252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
10163a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
10278, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10378ltp1d 12182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
10479, 78, 102, 81, 103lelttrd 11409 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
105104adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
10697, 100, 99, 101, 105lttrd 11412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
10797, 99, 106ltled 11399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
10885, 88, 100, 90leadd1dd 11865 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
1092nncnd 12266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
110 1cnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
112111adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
113108, 112breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
11473, 74, 96, 107, 113elfzd 13532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
11572, 114ffvelcdmd 7094 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116 elfzo 13674 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11776, 73, 74, 116syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11884, 92, 117mpbir2and 711 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119118, 46syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12095, 115, 119ltled 11399 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12155, 71, 120monoord 14038 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄𝑀))
122121, 23breqtrd 5175 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
12322, 33, 27, 53, 122ltletrd 11411 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12422, 27, 1233jca 1125 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  {crab 3418   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cr 11144  0cc0 11145  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285  cle 11286  cmin 11481  cn 12250  cz 12596  cuz 12860  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  45672  fourierdlem54  45688  fourierdlem63  45697  fourierdlem64  45698  fourierdlem65  45699  fourierdlem69  45703  fourierdlem79  45713  fourierdlem89  45723  fourierdlem90  45724  fourierdlem91  45725  fourierdlem107  45741  fourierdlem109  45743
  Copyright terms: Public domain W3C validator