Theorem fourierdlem11 46089

Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem11.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem11	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem11.q	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
2		fourierdlem11.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		fourierdlem11.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
4	3	fourierdlem2 46080	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
7	6	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
8	7	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
9	8	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
10	6	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11		elmapi 8799	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13		0zd 12517	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
14	2	nnzd 12532	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15		0red 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	15	leidd 11720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 0)
17	2	nnred 12177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
18	2	nngt0d 12211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
19	15, 17, 18	ltled 11298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
20	13, 14, 13, 16, 19	elfzd 13452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
21	12, 20	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
22	9, 21	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
23	8	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
24	17	leidd 11720	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀)
25	13, 14, 14, 19, 24	elfzd 13452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
26	12, 25	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ)
27	23, 26	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
28		1zzd 12540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29		0le1 11677	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
31	2	nnge1d 12210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
32	13, 14, 28, 30, 31	elfzd 13452	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
33	12, 32	ffvelcdmd 7039	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
34		elfzo 13598	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
35	13, 13, 14, 34	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
36	16, 18, 35	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
37		0re 11152	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
38		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
39	38	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘𝑖) = (𝑄‘0))
41		oveq1 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
42	41	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
43	40, 42	breq12d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
44	39, 43	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
45	7	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
46	45	r19.21bi 3227	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
47	44, 46	vtoclg 3517	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
48	37, 47	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
49	36, 48	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
50		0p1e1 12279	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	50	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 + 1) = 1)
52	51	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
53	49, 9, 52	3brtr3d 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝑄‘1))
54		nnuz 12812	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
55	2, 54	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘1))
56	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
57		0zd 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
58		elfzel2 13459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
59		elfzelz 13461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
60		0red 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
61	59	zred 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
62		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
63		0lt1 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
65		elfzle1 13464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
66	60, 62, 61, 64, 65	ltletrd 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
67	60, 61, 66	ltled 11298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
68		elfzle2 13465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ≤ 𝑀)
69	57, 58, 59, 67, 68	elfzd 13452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
70	69	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
71	56, 70	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
72	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
73		0zd 12517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
74	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
75		elfzelz 13461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
76	75	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
77		0red 11153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
78	75	zred 12614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
79		1red 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
80	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
81		elfzle1 13464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
82	77, 79, 78, 80, 81	ltletrd 11310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
83	77, 78, 82	ltled 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
84	83	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
85	78	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
86	17	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
87		peano2rem 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
89		elfzle2 13465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
91	86	ltm1d 12091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
92	85, 88, 86, 90, 91	lelttrd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
93	85, 86, 92	ltled 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑀)
94	73, 74, 76, 84, 93	elfzd 13452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
95	72, 94	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
96	76	peano2zd 12617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
97		0red 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
98		peano2re 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
99	85, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
101	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
102	78, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
103	78	ltp1d 12089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
104	79, 78, 102, 81, 103	lelttrd 11308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
105	104	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
106	97, 100, 99, 101, 105	lttrd 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
107	97, 99, 106	ltled 11298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
108	85, 88, 100, 90	leadd1dd 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
109	2	nncnd 12178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
110		1cnd 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111	109, 110	npcand 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
112	111	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
113	108, 112	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
114	73, 74, 96, 107, 113	elfzd 13452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
115	72, 114	ffvelcdmd 7039	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116		elfzo 13598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
117	76, 73, 74, 116	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 < 𝑀)))
118	84, 92, 117	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119	118, 46	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
120	95, 115, 119	ltled 11298	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
121	55, 71, 120	monoord 13973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄‘𝑀))
122	121, 23	breqtrd 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
123	22, 33, 27, 53, 122	ltletrd 11310	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
124	22, 27, 123	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℕcn 12162  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  fourierdlem37  46115  fourierdlem54  46131  fourierdlem63  46140  fourierdlem64  46141  fourierdlem65  46142  fourierdlem69  46146  fourierdlem79  46156  fourierdlem89  46166  fourierdlem90  46167  fourierdlem91  46168  fourierdlem107  46184  fourierdlem109  46186