Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 46074
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 46065 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 494 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
106simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8888 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 0zd 12623 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142nnzd 12638 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 0red 11262 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1615leidd 11827 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 0)
172nnred 12279 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
182nngt0d 12313 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
1915, 17, 18ltled 11407 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2013, 14, 13, 16, 19elfzd 13552 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
229, 21eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
238simprd 495 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
2417leidd 11827 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑀)
2513, 14, 14, 19, 24elfzd 13552 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2612, 25ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
28 1zzd 12646 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29 0le1 11784 . . . . . 6 0 ≤ 1
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 1)
312nnge1d 12312 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
3213, 14, 28, 30, 31elfzd 13552 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
3312, 32ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
34 elfzo 13698 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3513, 13, 14, 34syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3616, 18, 35mpbir2and 713 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
37 0re 11261 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
38 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
3938anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
41 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4241fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
4340, 42breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4439, 43imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
457simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4645r19.21bi 3249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4744, 46vtoclg 3554 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4837, 47ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
4936, 48mpdan 687 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
50 0p1e1 12386 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
5251fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
5349, 9, 523brtr3d 5179 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
54 nnuz 12919 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
552, 54eleqtrdi 2849 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
5612adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
57 0zd 12623 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
58 elfzel2 13559 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
59 elfzelz 13561 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
60 0red 11262 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
6159zred 12720 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
62 1red 11260 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
63 0lt1 11783 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
65 elfzle1 13564 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
6660, 62, 61, 64, 65ltletrd 11419 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
6760, 61, 66ltled 11407 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
68 elfzle2 13565 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖𝑀)
6957, 58, 59, 67, 68elfzd 13552 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7069adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7156, 70ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7212adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
73 0zd 12623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
7414adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 elfzelz 13561 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7675adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
77 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
7875zred 12720 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
79 1red 11260 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
8063a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
81 elfzle1 13564 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
8277, 79, 78, 80, 81ltletrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
8377, 78, 82ltled 11407 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
8483adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
8578adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
8617adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
87 peano2rem 11574 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
89 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9089adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9186ltm1d 12198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
9285, 88, 86, 90, 91lelttrd 11417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
9385, 86, 92ltled 11407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖𝑀)
9473, 74, 76, 84, 93elfzd 13552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9572, 94ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9676peano2zd 12723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
97 0red 11262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
98 peano2re 11432 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
9985, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100 1red 11260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
10163a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
10278, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10378ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
10479, 78, 102, 81, 103lelttrd 11417 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
105104adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
10697, 100, 99, 101, 105lttrd 11420 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
10797, 99, 106ltled 11407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
10885, 88, 100, 90leadd1dd 11875 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
1092nncnd 12280 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
110 1cnd 11254 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11622 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
112111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
113108, 112breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
11473, 74, 96, 107, 113elfzd 13552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
11572, 114ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116 elfzo 13698 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11776, 73, 74, 116syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11884, 92, 117mpbir2and 713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119118, 46syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12095, 115, 119ltled 11407 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12155, 71, 120monoord 14070 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄𝑀))
122121, 23breqtrd 5174 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
12322, 33, 27, 53, 122ltletrd 11419 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12422, 27, 1233jca 1127 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  46100  fourierdlem54  46116  fourierdlem63  46125  fourierdlem64  46126  fourierdlem65  46127  fourierdlem69  46131  fourierdlem79  46141  fourierdlem89  46151  fourierdlem90  46152  fourierdlem91  46153  fourierdlem107  46169  fourierdlem109  46171
  Copyright terms: Public domain W3C validator