Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem11 43659
Description: If there is a partition, than the lower bound is strictly less than the upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem11.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem11.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem11.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem11
StepHypRef Expression
1 fourierdlem11.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem11.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem11.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 43650 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
87simpld 495 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
98simpld 495 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
106simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
11 elmapi 8637 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
13 0zd 12331 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
142nnzd 12425 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
15 0red 10978 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1615leidd 11541 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 0)
172nnred 11988 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
182nngt0d 12022 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
1915, 17, 18ltled 11123 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2013, 14, 13, 16, 19elfzd 13247 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2112, 20ffvelrnd 6962 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
229, 21eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
238simprd 496 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
2417leidd 11541 . . . . 5 (𝜑𝑀𝑀)
2513, 14, 14, 19, 24elfzd 13247 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2612, 25ffvelrnd 6962 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2723, 26eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
28 1zzd 12351 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
29 0le1 11498 . . . . . 6 0 ≤ 1
3029a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 1)
312nnge1d 12021 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
3213, 14, 28, 30, 31elfzd 13247 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
3312, 32ffvelrnd 6962 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ∈ ℝ)
34 elfzo 13389 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3513, 13, 14, 34syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 0 ∧ 0 < 𝑀)))
3616, 18, 35mpbir2and 710 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
37 0re 10977 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
38 eleq1 2826 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ 0 ∈ (0..^𝑀)))
3938anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀))))
40 fveq2 6774 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
41 oveq1 7282 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 0 → (𝑖 + 1) = (0 + 1))
4241fveq2d 6778 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(0 + 1)))
4340, 42breq12d 5087 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4439, 43imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))))
457simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4645r19.21bi 3134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
4744, 46vtoclg 3505 . . . . . 6 (0 ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1))))
4837, 47ax-mp 5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
4936, 48mpdan 684 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘0) < (𝑄‘(0 + 1)))
50 0p1e1 12095 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
5150a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0 + 1) = 1)
5251fveq2d 6778 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(0 + 1)) = (𝑄‘1))
5349, 9, 523brtr3d 5105 . . 3 (𝜑𝐴 < (𝑄‘1))
54 nnuz 12621 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
552, 54eleqtrdi 2849 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
5612adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
57 0zd 12331 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℤ)
58 elfzel2 13254 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
59 elfzelz 13256 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
60 0red 10978 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ∈ ℝ)
6159zred 12426 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ ℝ)
62 1red 10976 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ∈ ℝ)
63 0lt1 11497 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 1)
65 elfzle1 13259 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 1 ≤ 𝑖)
6660, 62, 61, 64, 65ltletrd 11135 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 < 𝑖)
6760, 61, 66ltled 11123 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 0 ≤ 𝑖)
68 elfzle2 13260 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖𝑀)
6957, 58, 59, 67, 68elfzd 13247 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (1...𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7069adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
7156, 70ffvelrnd 6962 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
7212adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
73 0zd 12331 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℤ)
7414adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 elfzelz 13256 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
7675adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
77 0red 10978 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ∈ ℝ)
7875zred 12426 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
79 1red 10976 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
8063a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 1)
81 elfzle1 13259 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 ≤ 𝑖)
8277, 79, 78, 80, 81ltletrd 11135 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 < 𝑖)
8377, 78, 82ltled 11123 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 0 ≤ 𝑖)
8483adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ 𝑖)
8578adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
8617adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
87 peano2rem 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
89 elfzle2 13260 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9089adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑀 − 1))
9186ltm1d 11907 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
9285, 88, 86, 90, 91lelttrd 11133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 < 𝑀)
9385, 86, 92ltled 11123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖𝑀)
9473, 74, 76, 84, 93elfzd 13247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9572, 94ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9676peano2zd 12429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
97 0red 10978 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ∈ ℝ)
98 peano2re 11148 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
9985, 98syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
100 1red 10976 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
10163a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < 1)
10278, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
10378ltp1d 11905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
10479, 78, 102, 81, 103lelttrd 11133 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1)) → 1 < (𝑖 + 1))
105104adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 1 < (𝑖 + 1))
10697, 100, 99, 101, 105lttrd 11136 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 < (𝑖 + 1))
10797, 99, 106ltled 11123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 0 ≤ (𝑖 + 1))
10885, 88, 100, 90leadd1dd 11589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ ((𝑀 − 1) + 1))
1092nncnd 11989 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
110 1cnd 10970 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
111109, 110npcand 11336 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
112111adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
113108, 112breqtrd 5100 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑀)
11473, 74, 96, 107, 113elfzd 13247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
11572, 114ffvelrnd 6962 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
116 elfzo 13389 . . . . . . . . 9 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11776, 73, 74, 116syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀)))
11884, 92, 117mpbir2and 710 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
119118, 46syldan 591 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12095, 115, 119ltled 11123 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...(𝑀 − 1))) → (𝑄𝑖) ≤ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
12155, 71, 120monoord 13753 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ (𝑄𝑀))
122121, 23breqtrd 5100 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘1) ≤ 𝐵)
12322, 33, 27, 53, 122ltletrd 11135 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12422, 27, 1233jca 1127 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074  cmpt 5157  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009  cle 11010  cmin 11205  cn 11973  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383
This theorem is referenced by:  fourierdlem37  43685  fourierdlem54  43701  fourierdlem63  43710  fourierdlem64  43711  fourierdlem65  43712  fourierdlem69  43716  fourierdlem79  43726  fourierdlem89  43736  fourierdlem90  43737  fourierdlem91  43738  fourierdlem107  43754  fourierdlem109  43756
  Copyright terms: Public domain W3C validator