Proof of Theorem pfxccatin12lem2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | swrdccatin2.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴) |
2 | 1 | pfxccatin12lem2c 14328 |
. . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵))))) |
3 | | simprl 771 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
4 | | swrdfv 14246 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
5 | 2, 3, 4 | syl2an2r 685 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
6 | | elfzoelz 13273 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
7 | | elfz2nn0 13233 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
8 | | nn0cn 12130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℂ) |
9 | | nn0cn 12130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℂ) |
10 | 8, 9 | anim12i 616 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) |
11 | | zcn 12211 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈
ℂ) |
12 | | subcl 11107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
13 | 12 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
14 | 13 | anim1ci 619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)) |
15 | | subcl 11107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
17 | 16 | addid1d 11062 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) |
18 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈
ℂ) |
19 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈
ℂ) |
20 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈
ℂ) |
21 | 18, 19, 20 | subsub3d 11249 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
22 | 17, 21 | eqtr2d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
23 | 10, 11, 22 | syl2an 599 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
24 | | oveq2 7243 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
25 | 24 | eqcoms 2747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
26 | 25 | eqeq1d 2741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
27 | 23, 26 | syl5ibr 249 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
28 | 1, 27 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
29 | 28 | ex 416 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
30 | 29 | 3adant3 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
31 | 7, 30 | sylbi 220 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
32 | 31 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
33 | 6, 32 | syl5com 31 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
34 | 33 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
35 | 34 | impcom 411 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
36 | 35 | fveq2d 6743 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
37 | | simpll 767 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉)) |
38 | | pfxccatin12lem2a 14325 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))) |
39 | 38 | adantl 485 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))) |
40 | 39 | imp 410 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))) |
41 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
(♯‘𝐴) = 𝐿) |
42 | | oveq1 7242 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
((♯‘𝐴) +
(♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵))) |
43 | 41, 42 | oveq12d 7253 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 →
((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))) |
44 | 43 | eleq2d 2825 |
. . . . . . . . 9
⊢
((♯‘𝐴) =
𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))) |
45 | 44 | eqcoms 2747 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))) |
46 | 1, 45 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))) |
47 | 40, 46 | sylibr 237 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) |
48 | | df-3an 1091 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) |
49 | 37, 47, 48 | sylanbrc 586 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))) |
50 | | ccatval2 14168 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)))) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)))) |
52 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
53 | 52 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
54 | | lencl 14121 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈
ℕ0) |
55 | | elfzel2 13140 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ) |
56 | | zsubcl 12249 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
57 | 56 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
58 | 57 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
59 | | zre 12210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
60 | | zre 12210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈
ℝ) |
61 | | subge0 11375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
62 | 59, 60, 61 | syl2anr 600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
63 | 62 | biimprd 251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))) |
64 | 63 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)) |
65 | | elnn0z 12219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))) |
66 | 58, 64, 65 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
67 | 66 | expcom 417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
68 | 67 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
69 | 68 | expcomd 420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
70 | 69 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
71 | 70 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
72 | 71 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
73 | 72 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
74 | 73 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
75 | 74 | imp 410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
76 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘𝐵) ∈
ℕ0) |
77 | 59 | 3ad2ant3 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈
ℝ) |
78 | 77 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
79 | 60 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ) |
80 | 79 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
81 | | nn0re 12129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((♯‘𝐵)
∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ) |
82 | 81 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ) |
83 | 82 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) →
(♯‘𝐵) ∈
ℝ) |
84 | | lesubadd2 11335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℝ) → ((𝑁 −
𝐿) ≤
(♯‘𝐵) ↔
𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) |
85 | 84 | biimprd 251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℝ) → (𝑁 ≤
(𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))) |
86 | 78, 80, 83, 85 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))) |
87 | 86 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))) |
88 | 87 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))) |
89 | 88 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))) |
90 | 89 | impcom 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))) |
91 | 90 | impcom 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)) |
92 | 75, 76, 91 | 3jca 1130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))) |
93 | 92 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))) |
94 | | elfz2 13132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) |
95 | | elfz2nn0 13233 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))) |
96 | 93, 94, 95 | 3imtr4g 299 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(♯‘𝐵) ∈
ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))) |
97 | 96 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 ∈ ℤ →
((♯‘𝐵) ∈
ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))) |
98 | 97 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))) |
99 | 55, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))) |
100 | 99 | imp 410 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0
→ (𝑁 − 𝐿) ∈
(0...(♯‘𝐵)))) |
101 | 54, 100 | syl5com 31 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))) |
102 | 101 | adantl 485 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))) |
103 | 102 | imp 410 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))) |
104 | 103 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))) |
105 | | pfxccatin12lem1 14326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))) |
106 | 105 | adantl 485 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))) |
107 | 106 | imp 410 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) |
108 | | pfxfv 14280 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
109 | 53, 104, 107, 108 | syl3anc 1373 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
110 | 6 | zcnd 12313 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ) |
111 | 110 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ) |
112 | 55 | zcnd 12313 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ) |
113 | 112 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ) |
114 | 113 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ) |
115 | | elfzelz 13142 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ) |
116 | 115 | zcnd 12313 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ) |
117 | 116 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ) |
118 | 117 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ) |
119 | 114, 118 | subcld 11219 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
120 | 111, 119 | subcld 11219 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
121 | 120 | addid1d 11062 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) |
122 | 121 | eqcomd 2745 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
123 | 122 | fveq2d 6743 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
124 | 109, 123 | eqtrd 2779 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
125 | 36, 51, 124 | 3eqtr4d 2789 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
126 | | simpll 767 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉) |
127 | | simprl 771 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿)) |
128 | | lencl 14121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈
ℕ0) |
129 | | elnn0uz 12509 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈
(ℤ≥‘0)) |
130 | | eluzfz2 13150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((♯‘𝐴)
∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
131 | 129, 130 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
132 | 1, 131 | eqeltrid 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((♯‘𝐴)
∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
133 | 128, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
134 | 133 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
135 | 134 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) |
136 | 126, 127,
135 | 3jca 1130 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))) |
137 | 136 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))) |
138 | | swrdlen 14245 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) = (𝐿 − 𝑀)) |
139 | 137, 138 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) = (𝐿 − 𝑀)) |
140 | 139 | eqcomd 2745 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) = (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))) |
141 | 140 | oveq2d 7251 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = (𝐾 − (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)))) |
142 | 141 | fveq2d 6743 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))))) |
143 | 5, 125, 142 | 3eqtrd 2783 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))))) |
144 | 143 | ex 416 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)))))) |