Theorem pfxccatin12lem2 14638

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 14640. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (♯‘𝐴)
2	1	pfxccatin12lem2c 14637	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4		swrdfv 14556	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
5	2, 3, 4	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
6		elfzoelz 13559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7		elfz2nn0 13518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
8		nn0cn 12391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
9		nn0cn 12391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
10	8, 9	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
11		zcn 12473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12		subcl 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
13	12	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ))
15		subcl 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
17	16	addridd 11313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
19		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈ ℂ)
20		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
21	18, 19, 20	subsub3d 11502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
22	17, 21	eqtr2d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
23	10, 11, 22	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
24		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
25	24	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
26	25	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
27	23, 26	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
30	29	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
31	7, 30	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
33	6, 32	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
35	34	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
36	35	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
37		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
38		pfxccatin12lem2a 14634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
39	38	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
40	39	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
41		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
42		oveq1 7353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
43	41, 42	oveq12d 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
44	43	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
45	44	eqcoms 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
47	40, 46	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
48		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
49	37, 47, 48	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
50		ccatval2 14485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
51	49, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
52		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
53	52	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
54		lencl 14440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55		elfzel2 13422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
56		zsubcl 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
57	56	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
59		zre 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
60		zre 12472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
61		subge0 11630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
62	59, 60, 61	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
63	62	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
64	63	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
65		elnn0z 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
66	58, 64, 65	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
67	66	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
69	68	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
70	69	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
71	70	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
72	71	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
75	74	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
76		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
77	59	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
79	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
81		nn0re 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
84		lesubadd2 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
85	84	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
86	78, 80, 83, 85	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
87	86	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
88	87	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
90	89	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
91	90	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))
92	75, 76, 91	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
93	92	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
94		elfz2 13414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))))
95		elfz2nn0 13518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
96	93, 94, 95	3imtr4g 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
97	96	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
98	97	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
99	55, 98	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
100	99	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
101	54, 100	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
102	101	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
103	102	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
104	103	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
105		pfxccatin12lem1 14635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
106	105	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))))
107	106	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))
108		pfxfv 14590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
109	53, 104, 107, 108	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
110	6	zcnd 12578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
111	110	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ)
112	55	zcnd 12578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
113	112	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
114	113	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
115		elfzelz 13424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
116	115	zcnd 12578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
117	116	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ)
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
119	114, 118	subcld 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
120	111, 119	subcld 11472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
121	120	addridd 11313	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))
122	121	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
123	122	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
124	109, 123	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
125	36, 51, 124	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
126		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
127		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
128		lencl 14440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
129		elnn0uz 12777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0))
130		eluzfz2 13432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
131	129, 130	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
132	1, 131	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
133	128, 132	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
134	133	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
135	134	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
136	126, 127, 135	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
137	136	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
138		swrdlen 14555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
139	137, 138	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
140	139	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) = (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))
141	140	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = (𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
142	141	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
143	5, 125, 142	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
144	143	ex 412	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006   + caddc 11009   ≤ cle 11147   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  ..^cfzo 13554  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477   substr csubstr 14548   prefix cpfx 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14549  df-pfx 14579

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  14640