MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pfxccatin12lem2 14686
Description: Lemma 2 for pfxccatin12 14688. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 swrdccatin2.l . . . . 5 𝐿 = (♯‘𝐴)
21pfxccatin12lem2c 14685 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3 simprl 768 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
4 swrdfv 14603 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
52, 3, 4syl2an2r 682 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
6 elfzoelz 13637 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
7 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
8 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
9 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℂ)
108, 9anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
11 zcn 12568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
12 subcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1312ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
1413anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℂ))
15 subcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
1716addridd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿𝑀)))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
19 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈ ℂ)
20 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2118, 19, 20subsub3d 11606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2217, 21eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
2310, 11, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
24 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2524eqcoms 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
2625eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
2723, 26imbitrrid 245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (♯‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
2928ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
30293adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
317, 30sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3231ad2antrl 725 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
336, 32syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
3534impcom 407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
3635fveq2d 6895 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
37 simpll 764 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
38 pfxccatin12lem2a 14682 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
3938adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
4039imp 406 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
41 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
42 oveq1 7419 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
4341, 42oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4443eleq2d 2818 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
4544eqcoms 2739 . . . . . . . 8 (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
461, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4740, 46sylibr 233 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
48 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
4937, 47, 48sylanbrc 582 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
50 ccatval2 14533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
5149, 50syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (♯‘𝐴))))
52 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
5352adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
54 lencl 14488 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55 elfzel2 13504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
56 zsubcl 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
5756ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
59 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
60 zre 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
61 subge0 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
6259, 60, 61syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁𝐿) ↔ 𝐿𝑁))
6362biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁 → 0 ≤ (𝑁𝐿)))
6463imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → 0 ≤ (𝑁𝐿))
65 elnn0z 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐿)))
6658, 64, 65sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿𝑁) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
6766expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐿𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
6968expcomd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
7069com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
71703ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)))
7271imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7372com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0))
7574imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ∈ ℕ0)
76 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
77593ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
7960adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
81 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
84 lesubadd2 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))
8584biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
8678, 80, 83, 85syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
8786ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
8887com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
9089impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
9190impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵))
9275, 76, 913jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
9392ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵))))
94 elfz2 13496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝑁𝑁 ≤ (𝐿 + (♯‘𝐵)))))
95 elfz2nn0 13597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((𝑁𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐿) ≤ (♯‘𝐵)))
9693, 94, 953imtr4g 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
9796ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
9897com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
9955, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))))
10099imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
10154, 100syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
102101adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵))))
103102imp 406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
104103adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
105 pfxccatin12lem1 14683 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
106105adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))))
107106imp 406 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿)))
108 pfxfv 14637 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁𝐿) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ (0..^(𝑁𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
10953, 104, 107, 108syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
1106zcnd 12672 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
111110ad2antrl 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ)
11255zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ)
113112ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ)
114113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ)
115 elfzelz 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ)
116115zcnd 12672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ)
117116ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ)
119114, 118subcld 11576 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
120111, 119subcld 11576 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) ∈ ℂ)
121120addridd 11419 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿𝑀)))
122121eqcomd 2737 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0))
123122fveq2d 6895 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
124109, 123eqtrd 2771 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿𝑀)) + 0)))
12536, 51, 1243eqtr4d 2781 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))))
126 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
127 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
128 lencl 14488 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
129 elnn0uz 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
130 eluzfz2 13514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
131129, 130sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
1321, 131eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
133128, 132syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
134133adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
135134adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
136126, 127, 1353jca 1127 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
137136adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))))
138 swrdlen 14602 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿𝑀))
139137, 138syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿𝑀))
140139eqcomd 2737 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐿𝑀) = (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))
141140oveq2d 7428 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿𝑀)) = (𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
142141fveq2d 6895 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (𝐿𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
1435, 125, 1423eqtrd 2775 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
144143ex 412 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁𝐿))‘(𝐾 − (♯‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  cop 4634   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117  cle 11254  cmin 11449  0cn0 12477  cz 12563  cuz 12827  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632  chash 14295  Word cword 14469   ++ cconcat 14525   substr csubstr 14595   prefix cpfx 14625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-substr 14596  df-pfx 14626
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  14688
  Copyright terms: Public domain W3C validator