Theorem elfzoextl 13756

Description: Membership of an integer in an extended open range of integers, extension added to the left. (Contributed by AV, 31-Aug-2025.) Generalized by replacing the left border of the ranges. (Revised by SN, 18-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoextl	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))

Proof of Theorem elfzoextl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13694	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		nn0pzuz 12943	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
3	1, 2	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
4		fzoss2 13723	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
6	5	sseld 3981	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁))))
7	6	syldbl2 842	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))
8	7	ancoms 458	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝐼 + 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429   + caddc 11154  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691

This theorem is referenced by:  elfzoext  13757  gpgedgvtx1  47993