Theorem elfzoext 13088

Description: Membership of an integer in an extended open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 13031	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zcn 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		nn0cn 11901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
4		addcom 10820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝐼) = (𝐼 + 𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) = (𝐼 + 𝑁))
6		nn0pzuz 12299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7	6	ancoms 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	5, 7	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		fzoss2 13059	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
11	10	sselda 3966	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
12	11	expcom 416	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼))))
13	1, 12	mpand 693	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼))))
14	13	imp 409	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529   + caddc 10534  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  ℤ_≥cuz 12237  ..^cfzo 13027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028

This theorem is referenced by:  ccatval1  13924  ccatval1OLD  13925  fltnltalem  39267