MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0pzuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0pzuz 11945
Description: The sum of a nonnegative integer and an integer is an integer greater than or equal to that integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0pzuz ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍))

Proof of Theorem nn0pzuz
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
2 nn0z 11600 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 zaddcl 11617 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
42, 3sylan 569 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
5 zre 11581 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
6 nn0addge2 11540 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
75, 6sylan 569 . . 3 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
87ancoms 446 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
9 eluz2 11892 . 2 ((𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍) ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍)))
101, 4, 8, 9syl3anbrc 1428 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4786  cfv 6029  (class class class)co 6791  cr 10135   + caddc 10139  cle 10275  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11887
This theorem is referenced by:  elfzoext  12726  ccatalpha  13568  gausslemma2dlem6  25311  numclwwlk2lem1  27560  numclwlk2lem2f  27561  numclwlk2lem2f1o  27563  numclwwlk2lem1OLD  27567
  Copyright terms: Public domain W3C validator