MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0pzuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0pzuz 11963
Description: The sum of a nonnegative integer and an integer is an integer greater than or equal to that integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0pzuz ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍))

Proof of Theorem nn0pzuz
StepHypRef Expression
1 simpr 473 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
2 nn0z 11666 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 zaddcl 11683 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
42, 3sylan 571 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
5 zre 11647 . . . 4 (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
6 nn0addge2 11606 . . . 4 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
75, 6sylan 571 . . 3 ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
87ancoms 448 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
9 eluz2 11910 . 2 ((𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍) ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍)))
101, 4, 8, 9syl3anbrc 1436 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2156   class class class wbr 4844  cfv 6101  (class class class)co 6874  cr 10220   + caddc 10224  cle 10360  0cn0 11559  cz 11643  cuz 11904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905
This theorem is referenced by:  elfzoext  12749  ccatalpha  13590  gausslemma2dlem6  25311  numclwwlk2lem1  27556  numclwlk2lem2f  27557  numclwlk2lem2f1o  27559  numclwwlk2lem1OLD  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator