Theorem nn0pzuz 12809

Description: The sum of a nonnegative integer and an integer is an integer greater than or equal to that integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0pzuz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍))

Proof of Theorem nn0pzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
2		nn0z 12499	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zaddcl 12518	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
5		zre 12478	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
6		nn0addge2 12434	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
7	5, 6	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
9		eluz2 12744	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍) ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍)))
10	1, 4, 8, 9	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011   + caddc 11015   ≤ cle 11153  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739

This theorem is referenced by:  elfzoextl  13627  ccatalpha  14507  gausslemma2dlem6  27316  numclwwlk2lem1  30363  numclwlk2lem2f  30364  numclwlk2lem2f1o  30366