MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpqb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpqb 12715
Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
elpqb ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpqb
StepHypRef Expression
1 elpq 12714 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 nnz 12342 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
3 znq 12691 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
42, 3sylan 580 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
5 nnre 11980 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6 nngt0 12004 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
75, 6jca 512 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
8 nnre 11980 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
9 nngt0 12004 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
108, 9jca 512 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
11 divgt0 11843 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
127, 10, 11syl2an 596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
134, 12jca 512 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
14 eleq1 2828 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15 breq2 5083 . . . . 5 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
1614, 15anbi12d 631 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦))))
1713, 16syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴)))
1817rexlimivv 3223 . 2 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴))
191, 18impbii 208 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872   < clt 11010   / cdiv 11632  cn 11973  cz 12319  cq 12687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-z 12320  df-q 12688
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator