Theorem elpqb 13030

Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpqb	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpq 13029	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		nnz 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
3		znq 13005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
5		nnre 12268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6		nngt0 12295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
7	5, 6	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
8		nnre 12268	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 12295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	8, 9	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
11		divgt0 12111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
12	7, 10, 11	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
13	4, 12	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
14		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
16	14, 15	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦))))
17	13, 16	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴)))
18	17	rexlimivv 3206	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴))
19	1, 18	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271   / cdiv 11899  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ℚcq 13001

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-z 12620  df-q 13002

This theorem is used by:  nrt2irr  30961