Theorem elpqb 12363

Description: A class is a positive rational iff it is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 30-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpqb	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpq 12362	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2		nnz 11992	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
3		znq 12340	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
4	2, 3	sylan 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
5		nnre 11632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6		nngt0 11656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 0 < 𝑥)
7	5, 6	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
8		nnre 11632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 11656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	8, 9	jca 515	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
11		divgt0 11497	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
12	7, 10, 11	syl2an 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < (𝑥 / 𝑦))
13	4, 12	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
14		eleq1 2877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
15		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑥 / 𝑦)))
16	14, 15	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑦))))
17	13, 16	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴)))
18	17	rexlimivv 3251	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴))
19	1, 18	impbii 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤcz 11969  ℚcq 12336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-z 11970  df-q 12337

This theorem is referenced by: (None)