Theorem elpq 12973

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2		rexcom 3290	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
3	1, 2	bitri 277	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
4		breq2 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
5		zre 12569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7		nnre 12214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑦)
11		gt0div 12055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
13	12	bicomd 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < (𝑧 / 𝑦) ↔ 0 < 𝑧))
14	4, 13	sylan9bb 517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝑧))
15		oveq1 7399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
16	15	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
17		elnnz 12575	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
18	17	simplbi2 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
19	18	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
20	19	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
21	20	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ)
22		simpll 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
23	16, 21, 22	rspcedvdw 3584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
24	23	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
25	14, 24	sylbid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
26	25	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
27	26	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
28	27	impl 459	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
29	28	rexlimdva 3162	. . . . 5 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
30	29	reximdva 3174	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
31	3, 30	biimtrid 244	. . 3 ⊢ (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
32	31	impcom 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
33		rexcom 3290	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
34	32, 33	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   < clt 11213   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℤcz 12565  ℚcq 12946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-z 12566  df-q 12947

This theorem is referenced by:  elpqb  12974  logbgcd1irr  26836