Theorem elpq 12983

Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
elpq	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12958	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2		rexcom 3283	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
3	1, 2	bitri 275	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
4		breq2 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
5		zre 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7		nnre 12243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9		nngt0 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑦)
11		gt0div 12104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
13	12	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < (𝑧 / 𝑦) ↔ 0 < 𝑧))
14	4, 13	sylan9bb 509	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝑧))
15		elnnz 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
16	15	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → 𝑧 ∈ ℕ))
19	18	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ)
20		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
21	20	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
23		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
24	19, 22, 23	rspcedvd 3610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
25	24	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
26	14, 25	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
27	26	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
28	27	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
29	28	impl 455	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
30	29	rexlimdva 3151	. . . . 5 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
31	30	reximdva 3164	. . . 4 ⊢ (0 < 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
32	3, 31	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
33	32	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
34		rexcom 3283	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
35	33, 34	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  ℝcr 11131  0cc0 11132   < clt 11272   / cdiv 11895  ℕcn 12236  ℤcz 12582  ℚcq 12956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-z 12583  df-q 12957

This theorem is referenced by:  elpqb  12984  logbgcd1irr  26719