MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpq 12983
Description: A positive rational is the quotient of two positive integers. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
elpq ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem elpq
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12958 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2 rexcom 3283 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
31, 2bitri 275 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
4 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
5 zre 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7 nnre 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9 nngt0 12267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → 0 < 𝑦)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 0 < 𝑦)
11 gt0div 12104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
126, 8, 10, 11syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧 ↔ 0 < (𝑧 / 𝑦)))
1312bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < (𝑧 / 𝑦) ↔ 0 < 𝑧))
144, 13sylan9bb 509 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 ↔ 0 < 𝑧))
15 elnnz 12592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ ↔ (𝑧 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑧))
1615simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℤ → (0 < 𝑧𝑧 ∈ ℕ))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝑧𝑧 ∈ ℕ))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧𝑧 ∈ ℕ))
1918imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ)
20 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑦) = (𝑧 / 𝑦))
2120eqeq2d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦)))
23 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → 𝐴 = (𝑧 / 𝑦))
2419, 22, 23rspcedvd 3610 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) ∧ 0 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2524ex 412 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
2614, 25sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (𝑧 / 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
2726ex 412 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (0 < 𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
2827com13 88 . . . . . . 7 (0 < 𝐴 → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))))
2928impl 455 . . . . . 6 (((0 < 𝐴𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
3029rexlimdva 3151 . . . . 5 ((0 < 𝐴𝑦 ∈ ℕ) → (∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
3130reximdva 3164 . . . 4 (0 < 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑧 / 𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
323, 31biimtrid 241 . . 3 (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
3332impcom 407 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
34 rexcom 3283 . 2 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
3533, 34sylibr 233 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3066   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11131  0cc0 11132   < clt 11272   / cdiv 11895  cn 12236  cz 12582  cq 12956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-z 12583  df-q 12957
This theorem is referenced by:  elpqb  12984  logbgcd1irr  26719
  Copyright terms: Public domain W3C validator