Theorem znq 12966

Description: The ratio of an integer and a positive integer is a rational number. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
znq	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem znq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)
2		rspceov 7452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 / 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
3	1, 2	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
4		elq 12964	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝐴 / 𝐵) = (𝑥 / 𝑦))
5	3, 4	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  (class class class)co 7403   / cdiv 11892  ℕcn 12238  ℤcz 12586  ℚcq 12962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-z 12587  df-q 12963

This theorem is referenced by:  zq  12968  qnegcl  12980  nnrecq  12986  elpqb  12990  rpnnen1lem1  12992  qbtwnre  13213  nthruc  16268  divnumden  16765  pcdiv  16870  pcaddlem  16906  pcmptdvds  16912  sylow1lem1  19577  aalioulem2  26291  aalioulem4  26293  aalioulem5  26294  aalioulem6  26295  aaliou  26296  aaliou2b  26299  dchrisum0flblem2  27470  fltne  42614  flt4lem5e  42626  flt4lem6  42628