MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrt2irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrt2irr 30008
Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16199. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30007, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30007, see rtprmirr 41552. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nrt2irr (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12297 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
32nncnd 12235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4 eluzge3nn 12881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
73, 6expcld 14118 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℂ)
82nnne0d 12269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
95nnzd 12592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 8, 9expne0d 14124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ≠ 0)
111, 7, 10divcan4d 12003 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = 2)
1272timesd 12462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) = ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)))
13 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
14 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 ax-flt 30007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1613, 2, 2, 14, 15syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1712, 16eqnetrd 3007 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
181, 7mulcld 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ)
1914nncnd 12235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
2019, 6expcld 14118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑁) ∈ ℂ)
21 div11 11907 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2218, 20, 7, 10, 21syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2322necon3bid 2984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁)))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2511, 24eqnetrrd 3008 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2619, 3, 8, 6expdivd 14132 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2725, 26neeqtrrd 3014 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
2819, 3, 8divcld 11997 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
2914nnne0d 12269 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
3019, 3, 29, 8divne0d 12013 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
3128, 30, 9cxpexpzd 26470 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
3227, 31neeqtrrd 3014 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33 2re 12293 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35 0le2 12321 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
3714nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
382nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
3937, 38rpdivcld 13040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
4039rpred 13023 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
4139rpge0d 13027 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
425nnred 12234 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4340, 41, 42recxpcld 26482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
4440, 41, 42cxpge0d 26483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
455nnrpd 13021 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4645rpreccld 13033 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
4734, 36, 43, 44, 46recxpf1lem 26488 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4847necon3bid 2984 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4932, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
505nnrecred 12270 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5150recnd 11249 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
5228, 51cxpcld 26467 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
5328, 30, 51cxpne0d 26472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
5452, 53, 9cxpexpzd 26470 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55 cxpcom 26498 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
5639, 50, 42, 55syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57 cxproot 26449 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5828, 5, 57syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5954, 56, 583eqtr3d 2779 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6049, 59neeqtrd 3009 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
6160neneqd 2944 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6261ralrimivva 3199 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63 ralnex2 3132 . . 3 (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6462, 63sylib 217 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65 2rp 12986 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℝ+)
674nnrecred 12270 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6866, 67cxpgt0d 26497 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
6968biantrud 531 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70 elpqb 12967 . . 3 (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
7169, 70bitrdi 287 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
7264, 71mtbird 325 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  cuz 12829  cq 12939  +crp 12981  cexp 14034  𝑐ccxp 26315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-flt 30007
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-fbas 21145  df-fg 21146  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cld 22756  df-ntr 22757  df-cls 22758  df-nei 22835  df-lp 22873  df-perf 22874  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-haus 23052  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-fil 23583  df-fm 23675  df-flim 23676  df-flf 23677  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cncf 24631  df-limc 25628  df-dv 25629  df-log 26316  df-cxp 26317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator