MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrt2irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrt2irr 30502
Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16282. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30501, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30501, see rtprmirr 26818. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nrt2irr (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
32nncnd 12280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4 eluzge3nn 12930 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
73, 6expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℂ)
82nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
95nnzd 12638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 8, 9expne0d 14189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ≠ 0)
111, 7, 10divcan4d 12047 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = 2)
1272timesd 12507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) = ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)))
13 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
14 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 ax-flt 30501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1613, 2, 2, 14, 15syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1712, 16eqnetrd 3006 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
181, 7mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ)
1914nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
2019, 6expcld 14183 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑁) ∈ ℂ)
21 div11 11948 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2218, 20, 7, 10, 21syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2322necon3bid 2983 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁)))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2511, 24eqnetrrd 3007 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2619, 3, 8, 6expdivd 14197 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2725, 26neeqtrrd 3013 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
2819, 3, 8divcld 12041 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
2914nnne0d 12314 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
3019, 3, 29, 8divne0d 12057 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
3128, 30, 9cxpexpzd 26768 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
3227, 31neeqtrrd 3013 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35 0le2 12366 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
3714nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
382nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
3937, 38rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
4039rpred 13075 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
4139rpge0d 13079 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
425nnred 12279 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4340, 41, 42recxpcld 26780 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
4440, 41, 42cxpge0d 26781 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
455nnrpd 13073 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4645rpreccld 13085 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
4734, 36, 43, 44, 46recxpf1lem 26786 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4847necon3bid 2983 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4932, 48mpbid 232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
505nnrecred 12315 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5150recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
5228, 51cxpcld 26765 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
5328, 30, 51cxpne0d 26770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
5452, 53, 9cxpexpzd 26768 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55 cxpcom 26796 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
5639, 50, 42, 55syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57 cxproot 26747 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5828, 5, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5954, 56, 583eqtr3d 2783 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6049, 59neeqtrd 3008 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
6160neneqd 2943 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6261ralrimivva 3200 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63 ralnex2 3131 . . 3 (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6462, 63sylib 218 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65 2rp 13037 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℝ+)
674nnrecred 12315 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6866, 67cxpgt0d 26795 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
6968biantrud 531 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70 elpqb 13016 . . 3 (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
7169, 70bitrdi 287 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
7264, 71mtbird 325 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  cuz 12876  cq 12988  +crp 13032  cexp 14099  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-flt 30501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator