Theorem nrt2irr 31074

Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16417. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 31073, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 31073, see rtprmirr 27088. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrt2irr	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4		eluz3nn 13016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	expcld 14289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
8	2	nnne0d 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
9	5	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	expne0d 14295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
11	1, 7, 10	divcan4d 12099	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = 2)
12	7	2timesd 12589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) = ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)))
13		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15		ax-flt 31073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
16	13, 2, 2, 14, 15	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
17	12, 16	eqnetrd 3022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
18	1, 7	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ)
19	14	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19, 6	expcld 14289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ)
21		div11 12002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞↑𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
22	18, 20, 7, 10, 21	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
23	22	necon3bid 2999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁)))
24	17, 23	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
25	11, 24	eqnetrrd 3023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
26	19, 3, 8, 6	expdivd 14303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
27	25, 26	neeqtrrd 3029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
28	19, 3, 8	divcld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
29	14	nnne0d 12388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
30	19, 3, 29, 8	divne0d 12109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
31	28, 30, 9	cxpexpzd 27039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
32	27, 31	neeqtrrd 3029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33		2re 12417	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35		0le2 12445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
37	14	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
38	2	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
39	37, 38	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
41	39	rpge0d 13168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
42	5	nnred 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	recxpcld 27051	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
44	40, 41, 42	cxpge0d 27052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
45	5	nnrpd 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
46	45	rpreccld 13174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
47	34, 36, 43, 44, 46	recxpf1lem 27057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
48	47	necon3bid 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
49	32, 48	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
50	5	nnrecred 12389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
52	28, 51	cxpcld 27036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
53	28, 30, 51	cxpne0d 27041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
54	52, 53, 9	cxpexpzd 27039	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55		cxpcom 27067	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
56	39, 50, 42, 55	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57		cxproot 27018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
58	28, 5, 57	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
59	54, 56, 58	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
60	49, 59	neeqtrd 3024	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
61	60	neneqd 2960	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
62	61	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63		ralnex2 3142	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
64	62, 63	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65		2rp 13125	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ+)
67	4	nnrecred 12389	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
68	66, 67	cxpgt0d 27066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
69	68	biantrud 541	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70		elpqb 13104	. . 3 ⊢ (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
71	69, 70	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
72	64, 71	mtbird 328	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  ℤ_≥cuz 12965  ℚcq 13075  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  ↑_𝑐ccxp 26883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-flt 31073

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884  df-cxp 26885

This theorem is used by: (None)