MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrt2irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrt2irr 30270
Description: The ๐‘-th root of 2 is irrational for ๐‘ greater than 2. For ๐‘ = 2, see sqrt2irr 16217. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30269, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30269, see rtprmirr 41828. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nrt2irr (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ยฌ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š)

Proof of Theorem nrt2irr
Dummy variables ๐‘ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12312 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„•)
32nncnd 12250 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„‚)
4 eluzge3nn 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
65nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
73, 6expcld 14134 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
82nnne0d 12284 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ž โ‰  0)
95nnzd 12607 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
103, 8, 9expne0d 14140 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘žโ†‘๐‘) โ‰  0)
111, 7, 10divcan4d 12018 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) / (๐‘žโ†‘๐‘)) = 2)
1272timesd 12477 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) = ((๐‘žโ†‘๐‘) + (๐‘žโ†‘๐‘)))
13 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
14 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
15 ax-flt 30269 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘žโ†‘๐‘) + (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  (๐‘โ†‘๐‘))
1613, 2, 2, 14, 15syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘žโ†‘๐‘) + (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  (๐‘โ†‘๐‘))
1712, 16eqnetrd 3003 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  (๐‘โ†‘๐‘))
181, 7mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
1914nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2019, 6expcld 14134 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
21 div11 11922 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘žโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘žโ†‘๐‘) โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) / (๐‘žโ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)) โ†” (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) = (๐‘โ†‘๐‘)))
2218, 20, 7, 10, 21syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) / (๐‘žโ†‘๐‘)) = ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)) โ†” (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) = (๐‘โ†‘๐‘)))
2322necon3bid 2980 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) / (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)) โ†” (2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  (๐‘โ†‘๐‘)))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((2 ยท (๐‘žโ†‘๐‘)) / (๐‘žโ†‘๐‘)) โ‰  ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)))
2511, 24eqnetrrd 3004 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 2 โ‰  ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)))
2619, 3, 8, 6expdivd 14148 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘) = ((๐‘โ†‘๐‘) / (๐‘žโ†‘๐‘)))
2725, 26neeqtrrd 3010 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 2 โ‰  ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘))
2819, 3, 8divcld 12012 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
2914nnne0d 12284 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
3019, 3, 29, 8divne0d 12028 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ž) โ‰  0)
3128, 30, 9cxpexpzd 26632 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘) = ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘))
3227, 31neeqtrrd 3010 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 2 โ‰  ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘))
33 2re 12308 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
35 0le2 12336 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 2
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค 2)
3714nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
382nnrpd 13038 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„+)
3937, 38rpdivcld 13057 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ž) โˆˆ โ„+)
4039rpred 13040 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ / ๐‘ž) โˆˆ โ„)
4139rpge0d 13044 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ / ๐‘ž))
425nnred 12249 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
4340, 41, 42recxpcld 26644 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘) โˆˆ โ„)
4440, 41, 42cxpge0d 26645 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘))
455nnrpd 13038 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
4645rpreccld 13050 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„+)
4734, 36, 43, 44, 46recxpf1lem 26650 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 = ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘) โ†” (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))))
4847necon3bid 2980 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2 โ‰  ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘) โ†” (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โ‰  (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))))
4932, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โ‰  (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
505nnrecred 12285 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
5150recnd 11264 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
5228, 51cxpcld 26629 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
5328, 30, 51cxpne0d 26634 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โ‰  0)
5452, 53, 9cxpexpzd 26632 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘๐‘) = (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘))
55 cxpcom 26660 . . . . . . . 8 (((๐‘ / ๐‘ž) โˆˆ โ„+ โˆง (1 / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘๐‘) = (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
5639, 50, 42, 55syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘๐‘) = (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
57 cxproot 26611 . . . . . . . 8 (((๐‘ / ๐‘ž) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) = (๐‘ / ๐‘ž))
5828, 5, 57syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘(1 / ๐‘))โ†‘๐‘) = (๐‘ / ๐‘ž))
5954, 56, 583eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘ / ๐‘ž)โ†‘๐‘๐‘)โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
6049, 59neeqtrd 3005 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โ‰  (๐‘ / ๐‘ž))
6160neneqd 2940 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„•)) โ†’ ยฌ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
6261ralrimivva 3195 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„• ยฌ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
63 ralnex2 3128 . . 3 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„• ยฌ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„• (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
6462, 63sylib 217 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„• (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
65 2rp 13003 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„+
6665a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
674nnrecred 12285 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„)
6866, 67cxpgt0d 26659 . . . 4 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 0 < (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))
6968biantrud 531 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š โ†” ((2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š โˆง 0 < (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)))))
70 elpqb 12982 . . 3 (((2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š โˆง 0 < (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘))) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„• (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž))
7169, 70bitrdi 287 . 2 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ((2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„• (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) = (๐‘ / ๐‘ž)))
7264, 71mtbird 325 1 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ยฌ (2โ†‘๐‘(1 / ๐‘)) โˆˆ โ„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  3c3 12290  โ„คโ‰ฅcuz 12844  โ„šcq 12954  โ„+crp 12998  โ†‘cexp 14050  โ†‘๐‘ccxp 26476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-flt 30269
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator