Theorem nrt2irr 30339

Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16225. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30338, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30338, see rtprmirr 41971. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrt2irr	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4		eluzge3nn 12904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	expcld 14142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
8	2	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
9	5	nnzd 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	expne0d 14148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
11	1, 7, 10	divcan4d 12026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = 2)
12	7	2timesd 12485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) = ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)))
13		simpl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15		ax-flt 30338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
16	13, 2, 2, 14, 15	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
17	12, 16	eqnetrd 2998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
18	1, 7	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ)
19	14	nncnd 12258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19, 6	expcld 14142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ)
21		div11 11930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞↑𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
22	18, 20, 7, 10, 21	syl112anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
23	22	necon3bid 2975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁)))
24	17, 23	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
25	11, 24	eqnetrrd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
26	19, 3, 8, 6	expdivd 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
27	25, 26	neeqtrrd 3005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
28	19, 3, 8	divcld 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
29	14	nnne0d 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
30	19, 3, 29, 8	divne0d 12036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
31	28, 30, 9	cxpexpzd 26675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
32	27, 31	neeqtrrd 3005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33		2re 12316	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35		0le2 12344	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
37	14	nnrpd 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
38	2	nnrpd 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
39	37, 38	rpdivcld 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
41	39	rpge0d 13052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
42	5	nnred 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	recxpcld 26687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
44	40, 41, 42	cxpge0d 26688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
45	5	nnrpd 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
46	45	rpreccld 13058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
47	34, 36, 43, 44, 46	recxpf1lem 26693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
48	47	necon3bid 2975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
49	32, 48	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
50	5	nnrecred 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
52	28, 51	cxpcld 26672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
53	28, 30, 51	cxpne0d 26677	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
54	52, 53, 9	cxpexpzd 26675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55		cxpcom 26703	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
56	39, 50, 42, 55	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57		cxproot 26654	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
58	28, 5, 57	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
59	54, 56, 58	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
60	49, 59	neeqtrd 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
61	60	neneqd 2935	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
62	61	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63		ralnex2 3123	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
64	62, 63	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65		2rp 13011	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ+)
67	4	nnrecred 12293	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
68	66, 67	cxpgt0d 26702	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
69	68	biantrud 530	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70		elpqb 12990	. . 3 ⊢ (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
71	69, 70	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
72	64, 71	mtbird 324	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  3c3 12298  ℤ_≥cuz 12852  ℚcq 12962  ℝ⁺crp 13006  ↑cexp 14058  ↑_𝑐ccxp 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-flt 30338

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22826  df-topon 22843  df-topsp 22865  df-bases 22879  df-cld 22953  df-ntr 22954  df-cls 22955  df-nei 23032  df-lp 23070  df-perf 23071  df-cn 23161  df-cnp 23162  df-haus 23249  df-tx 23496  df-hmeo 23689  df-fil 23780  df-fm 23872  df-flim 23873  df-flf 23874  df-xms 24256  df-ms 24257  df-tms 24258  df-cncf 24828  df-limc 25825  df-dv 25826  df-log 26520  df-cxp 26521

This theorem is referenced by: (None)