Theorem nrt2irr 30835

Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16311. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30834, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30834, see rtprmirr 26936. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrt2irr	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4		eluz3nn 12919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	expcld 14189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
8	2	nnne0d 12292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
9	5	nnzd 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	expne0d 14195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
11	1, 7, 10	divcan4d 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = 2)
12	7	2timesd 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) = ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)))
13		simpl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15		ax-flt 30834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
16	13, 2, 2, 14, 15	syl13anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
17	12, 16	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
18	1, 7	mulcld 11235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ)
19	14	nncnd 12255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19, 6	expcld 14189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ)
21		div11 11906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞↑𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
22	18, 20, 7, 10, 21	syl112anc 1400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
23	22	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁)))
24	17, 23	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
25	11, 24	eqnetrrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
26	19, 3, 8, 6	expdivd 14203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
27	25, 26	neeqtrrd 3031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
28	19, 3, 8	divcld 11997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
29	14	nnne0d 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
30	19, 3, 29, 8	divne0d 12013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
31	28, 30, 9	cxpexpzd 26887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
32	27, 31	neeqtrrd 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33		2re 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35		0le2 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
37	14	nnrpd 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
38	2	nnrpd 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
39	37, 38	rpdivcld 13083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
41	39	rpge0d 13070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
42	5	nnred 12254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	recxpcld 26899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
44	40, 41, 42	cxpge0d 26900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
45	5	nnrpd 13064	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
46	45	rpreccld 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
47	34, 36, 43, 44, 46	recxpf1lem 26905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
48	47	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
49	32, 48	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
50	5	nnrecred 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
52	28, 51	cxpcld 26884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
53	28, 30, 51	cxpne0d 26889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
54	52, 53, 9	cxpexpzd 26887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55		cxpcom 26915	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
56	39, 50, 42, 55	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57		cxproot 26866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
58	28, 5, 57	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
59	54, 56, 58	3eqtr3d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
60	49, 59	neeqtrd 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
61	60	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
62	61	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63		ralnex2 3144	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
64	62, 63	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65		2rp 13027	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ+)
67	4	nnrecred 12293	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
68	66, 67	cxpgt0d 26914	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
69	68	biantrud 540	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70		elpqb 13006	. . 3 ⊢ (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
71	69, 70	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
72	64, 71	mtbird 328	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877  ℕcn 12239  2c2 12301  3c3 12302  ℤ_≥cuz 12868  ℚcq 12978  ℝ⁺crp 13022  ↑cexp 14104  ↑_𝑐ccxp 26731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-flt 30834

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127  df-sin 16129  df-cos 16130  df-pi 16132  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-lp 23304  df-perf 23305  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-cncf 25048  df-limc 26036  df-dv 26037  df-log 26732  df-cxp 26733

This theorem is used by: (None)