MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrt2irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrt2irr 30492
Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16285. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30491, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30491, see rtprmirr 26803. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nrt2irr (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
32nncnd 12282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4 eluzge3nn 12932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
73, 6expcld 14186 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℂ)
82nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
95nnzd 12640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
103, 8, 9expne0d 14192 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ≠ 0)
111, 7, 10divcan4d 12049 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = 2)
1272timesd 12509 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) = ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)))
13 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
14 simprl 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15 ax-flt 30491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1613, 2, 2, 14, 15syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑁) + (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
1712, 16eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁))
181, 7mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ)
1914nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
2019, 6expcld 14186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝𝑁) ∈ ℂ)
21 div11 11950 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · (𝑞𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2218, 20, 7, 10, 21syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) = (𝑝𝑁)))
2322necon3bid 2985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)) ↔ (2 · (𝑞𝑁)) ≠ (𝑝𝑁)))
2417, 23mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞𝑁)) / (𝑞𝑁)) ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2511, 24eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2619, 3, 8, 6expdivd 14200 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝𝑁) / (𝑞𝑁)))
2725, 26neeqtrrd 3015 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
2819, 3, 8divcld 12043 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
2914nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
3019, 3, 29, 8divne0d 12059 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
3128, 30, 9cxpexpzd 26753 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
3227, 31neeqtrrd 3015 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35 0le2 12368 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 2
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
3714nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
382nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
3937, 38rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
4039rpred 13077 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
4139rpge0d 13081 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
425nnred 12281 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4340, 41, 42recxpcld 26765 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
4440, 41, 42cxpge0d 26766 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
455nnrpd 13075 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4645rpreccld 13087 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
4734, 36, 43, 44, 46recxpf1lem 26771 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4847necon3bid 2985 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
4932, 48mpbid 232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
505nnrecred 12317 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
5150recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
5228, 51cxpcld 26750 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
5328, 30, 51cxpne0d 26755 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
5452, 53, 9cxpexpzd 26753 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55 cxpcom 26781 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
5639, 50, 42, 55syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57 cxproot 26732 . . . . . . . 8 (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5828, 5, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
5954, 56, 583eqtr3d 2785 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6049, 59neeqtrd 3010 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
6160neneqd 2945 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6261ralrimivva 3202 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63 ralnex2 3133 . . 3 (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
6462, 63sylib 218 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65 2rp 13039 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℝ+)
674nnrecred 12317 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
6866, 67cxpgt0d 26780 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
6968biantrud 531 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70 elpqb 13018 . . 3 (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
7169, 70bitrdi 287 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
7264, 71mtbird 325 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cuz 12878  cq 12990  +crp 13034  cexp 14102  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-flt 30491
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator