Theorem nrt2irr 30939

Description: The 𝑁-th root of 2 is irrational for 𝑁 greater than 2. For 𝑁 = 2, see sqrt2irr 16341. This short and rather elegant proof has the minor disadvantage that it refers to ax-flt 30938, which is still to be formalized. For a proof not requiring ax-flt 30938, see rtprmirr 26995. (Contributed by Prof. Loof Lirpa, 1-Apr-2025.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nrt2irr	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

Proof of Theorem nrt2irr

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℂ)
2		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
4		eluz3nn 12941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	3, 6	expcld 14212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ∈ ℂ)
8	2	nnne0d 12313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
9	5	nnzd 12644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	3, 8, 9	expne0d 14218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑𝑁) ≠ 0)
11	1, 7, 10	divcan4d 12024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = 2)
12	7	2timesd 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) = ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)))
13		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		simprl 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
15		ax-flt 30938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
16	13, 2, 2, 14, 15	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑𝑁) + (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
17	12, 16	eqnetrd 3024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁))
18	1, 7	mulcld 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ)
19	14	nncnd 12276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
20	19, 6	expcld 14212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ)
21		div11 11927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · (𝑞↑𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝑝↑𝑁) ∈ ℂ ∧ ((𝑞↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑞↑𝑁) ≠ 0)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
22	18, 20, 7, 10, 21	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) = (𝑝↑𝑁)))
23	22	necon3bid 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)) ↔ (2 · (𝑞↑𝑁)) ≠ (𝑝↑𝑁)))
24	17, 23	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((2 · (𝑞↑𝑁)) / (𝑞↑𝑁)) ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
25	11, 24	eqnetrrd 3025	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
26	19, 3, 8, 6	expdivd 14226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁) = ((𝑝↑𝑁) / (𝑞↑𝑁)))
27	25, 26	neeqtrrd 3031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
28	19, 3, 8	divcld 12018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
29	14	nnne0d 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ≠ 0)
30	19, 3, 29, 8	divne0d 12034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ≠ 0)
31	28, 30, 9	cxpexpzd 26946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑁))
32	27, 31	neeqtrrd 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
33		2re 12342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 2 ∈ ℝ)
35		0le2 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 2
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ 2)
37	14	nnrpd 13086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
38	2	nnrpd 13086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
39	37, 38	rpdivcld 13105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+)
40	39	rpred 13088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
41	39	rpge0d 13092	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ (𝑝 / 𝑞))
42	5	nnred 12275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	recxpcld 26958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ∈ ℝ)
44	40, 41, 42	cxpge0d 26959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 0 ≤ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁))
45	5	nnrpd 13086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
46	45	rpreccld 13098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ+)
47	34, 36, 43, 44, 46	recxpf1lem 26964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 = ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
48	47	necon3bid 3001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2 ≠ ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁) ↔ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁))))
49	32, 48	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
50	5	nnrecred 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
52	28, 51	cxpcld 26943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
53	28, 30, 51	cxpne0d 26948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ 0)
54	52, 53, 9	cxpexpzd 26946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁))
55		cxpcom 26974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
56	39, 50, 42, 55	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑐𝑁) = (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)))
57		cxproot 26925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
58	28, 5, 57	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = (𝑝 / 𝑞))
59	54, 56, 58	3eqtr3d 2805	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝑝 / 𝑞)↑𝑐𝑁)↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
60	49, 59	neeqtrd 3026	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ≠ (𝑝 / 𝑞))
61	60	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
62	61	ralrimivva 3207	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
63		ralnex2 3144	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ ∀𝑞 ∈ ℕ ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
64	62, 63	sylib 221	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
65		2rp 13049	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
66	65	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 ∈ ℝ+)
67	4	nnrecred 12314	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
68	66, 67	cxpgt0d 26973	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))
69	68	biantrud 541	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁)))))
70		elpqb 13028	. . 3 ⊢ (((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑐(1 / 𝑁))) ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞))
71	69, 70	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ ∃𝑞 ∈ ℕ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) = (𝑝 / 𝑞)))
72	64, 71	mtbird 328	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ¬ (2↑𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℚ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  ℤ_≥cuz 12890  ℚcq 13000  ℝ⁺crp 13044  ↑cexp 14127  ↑_𝑐ccxp 26790

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-flt 30938

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26095  df-dv 26096  df-log 26791  df-cxp 26792

This theorem is used by: (None)