MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcl 12544
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 12518 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦))
2 elz2 12518 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤))
3 reeanv 3218 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
4 reeanv 3218 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
5 nnaddcl 12177 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
65adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7 nnaddcl 12177 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
87adantl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9 nncn 12162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 nncn 12162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12 nncn 12162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 nncn 12162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15 addsub4 11445 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1611, 14, 15syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1716eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18 rspceov 7405 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
196, 8, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
20 elz2 12518 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
2119, 20sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ)
22 oveq12 7367 . . . . . . . 8 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
2322eleq1d 2823 . . . . . . 7 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ))
2421, 23syl5ibrcom 247 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2524rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
264, 25biimtrrid 242 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2726rexlimivv 3197 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
283, 27sylbir 234 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
291, 2, 28syl2anb 599 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3074  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386  cn 12154  cz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  peano2z  12545  zsubcl  12546  zrevaddcl  12549  zdivadd  12575  zaddcld  12612  eluzadd  12793  eluzaddiOLD  12796  eluzsubiOLD  12798  nn0pzuz  12831  fzen  13459  fzaddel  13476  fzadd2  13477  fzrev3  13508  fzrevral3  13529  elfzmlbp  13553  fzoun  13610  fzoaddel  13626  zpnn0elfzo  13646  elfzomelpfzo  13677  fzoshftral  13690  modsumfzodifsn  13850  ccatsymb  14471  ccatval21sw  14474  lswccatn0lsw  14480  swrdccatin2  14618  revccat  14655  2cshw  14702  cshweqrep  14710  2cshwcshw  14715  cshwcsh2id  14718  cshco  14726  climshftlem  15457  isershft  15549  iseraltlem2  15568  fsumzcl  15621  zrisefaccl  15904  summodnegmod  16170  dvds2ln  16172  dvds2add  16173  dvdsadd  16185  dvdsadd2b  16189  addmodlteqALT  16208  3dvdsdec  16215  3dvds2dec  16216  opoe  16246  opeo  16248  divalglem2  16278  ndvdsadd  16293  gcdaddmlem  16405  pythagtriplem9  16697  difsqpwdvds  16760  gzaddcl  16810  mod2xnegi  16944  cshwshashlem2  16970  cycsubgcl  19000  efgredleme  19526  zaddablx  19651  pgpfac1lem2  19855  zsubrg  20853  zringmulg  20880  expghm  20899  mulgghm2  20900  cygznlem3  20979  iaa  25688  dchrisumlem1  26840  axlowdimlem16  27909  crctcshwlkn0lem4  28761  crctcshwlkn0  28769  clwwlkccatlem  28936  clwwisshclwwslemlem  28960  ballotlemsima  33118  mzpclall  41053  mzpindd  41072  rmxyadd  41248  jm2.18  41315  inductionexd  42434  dvdsn1add  44187  stoweidlem34  44282  fourierswlem  44478  2elfz2melfz  45557  opoeALTV  45882  opeoALTV  45883  even3prm2  45918  mogoldbblem  45919  gbowgt5  45961  gboge9  45963  sbgoldbst  45977  2zrngamgm  46244
  Copyright terms: Public domain W3C validator