Theorem zaddcl 12601

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 12575	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦))
2		elz2 12575	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤))
3		reeanv 3226	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
4		reeanv 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
5		nnaddcl 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7		nnaddcl 12234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9		nncn 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		nncn 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12		nncn 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		nncn 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15		addsub4 11502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
16	11, 14, 15	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
17	16	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18		rspceov 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
19	6, 8, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
20		elz2 12575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ)
22		oveq12 7417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
23	22	eleq1d 2818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ))
24	21, 23	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
25	24	rexlimdvva 3211	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	4, 25	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
27	26	rexlimivv 3199	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	3, 27	sylbir 234	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	1, 2, 28	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070  (class class class)co 7408  ℂcc 11107   + caddc 11112   − cmin 11443  ℕcn 12211  ℤcz 12557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558

This theorem is referenced by:  peano2z  12602  zsubcl  12603  zrevaddcl  12606  zdivadd  12632  zaddcld  12669  eluzadd  12850  eluzaddiOLD  12853  eluzsubiOLD  12855  nn0pzuz  12888  fzen  13517  fzaddel  13534  fzadd2  13535  fzrev3  13566  fzrevral3  13587  elfzmlbp  13611  fzoun  13668  fzoaddel  13684  zpnn0elfzo  13704  elfzomelpfzo  13735  fzoshftral  13748  modsumfzodifsn  13908  ccatsymb  14531  ccatval21sw  14534  lswccatn0lsw  14540  swrdccatin2  14678  revccat  14715  2cshw  14762  cshweqrep  14770  2cshwcshw  14775  cshwcsh2id  14778  cshco  14786  climshftlem  15517  isershft  15609  iseraltlem2  15628  fsumzcl  15680  zrisefaccl  15963  summodnegmod  16229  dvds2ln  16231  dvds2add  16232  dvdsadd  16244  dvdsadd2b  16248  addmodlteqALT  16267  3dvdsdec  16274  3dvds2dec  16275  opoe  16305  opeo  16307  divalglem2  16337  ndvdsadd  16352  gcdaddmlem  16464  pythagtriplem9  16756  difsqpwdvds  16819  gzaddcl  16869  mod2xnegi  17003  cshwshashlem2  17029  cycsubgcl  19082  efgredleme  19610  zaddablx  19739  pgpfac1lem2  19944  zsubrg  20997  zringsub  21024  zringmulg  21025  expghm  21044  mulgghm2  21045  cygznlem3  21124  iaa  25837  dchrisumlem1  26989  axlowdimlem16  28212  crctcshwlkn0lem4  29064  crctcshwlkn0  29072  clwwlkccatlem  29239  clwwisshclwwslemlem  29263  ballotlemsima  33509  mzpclall  41455  mzpindd  41474  rmxyadd  41650  jm2.18  41717  inductionexd  42896  dvdsn1add  44645  stoweidlem34  44740  fourierswlem  44936  2elfz2melfz  46016  opoeALTV  46341  opeoALTV  46342  even3prm2  46377  mogoldbblem  46378  gbowgt5  46420  gboge9  46422  sbgoldbst  46436  pzriprnglem4  46798  2zrngamgm  46827