MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zaddcl 12011
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 11988 . 2 (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦))
2 elz2 11988 . 2 (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤))
3 reeanv 3373 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
4 reeanv 3373 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)))
5 nnaddcl 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
65adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7 nnaddcl 11649 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
87adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
119, 10anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13 nncn 11635 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
1412, 13anim12i 612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15 addsub4 10918 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1611, 14, 15syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
1716eqcomd 2832 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18 rspceov 7195 . . . . . . . . 9 (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
196, 8, 17, 18syl3anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
20 elz2 11988 . . . . . . . 8 (((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) = (𝑢𝑣))
2119, 20sylibr 235 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ)
22 oveq12 7157 . . . . . . . 8 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)))
2322eleq1d 2902 . . . . . . 7 ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥𝑦) + (𝑧𝑤)) ∈ ℤ))
2421, 23syl5ibrcom 248 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2524rexlimdvva 3299 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
264, 25syl5bir 244 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
2726rexlimivv 3297 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
283, 27sylbir 236 . 2 ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
291, 2, 28syl2anb 597 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3144  (class class class)co 7148  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859  cn 11627  cz 11970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971
This theorem is referenced by:  peano2z  12012  zsubcl  12013  zrevaddcl  12016  zdivadd  12042  zaddcld  12080  eluzaddi  12260  eluzsubi  12261  nn0pzuz  12294  fzen  12914  fzaddel  12931  fzadd2  12932  fzrev3  12963  fzrevral3  12984  elfzmlbp  13008  fzoun  13064  fzoaddel  13080  zpnn0elfzo  13100  elfzomelpfzo  13131  fzoshftral  13144  modsumfzodifsn  13302  ccatsymb  13926  ccatval21sw  13929  lswccatn0lsw  13935  swrdccatin2  14081  revccat  14118  2cshw  14165  cshweqrep  14173  2cshwcshw  14177  cshwcsh2id  14180  cshco  14188  climshftlem  14921  isershft  15010  iseraltlem2  15029  fsumzcl  15082  zrisefaccl  15364  summodnegmod  15630  dvds2ln  15632  dvds2add  15633  dvdsadd  15642  dvdsadd2b  15646  addmodlteqALT  15665  3dvdsdec  15671  3dvds2dec  15672  opoe  15702  opeo  15704  divalglem2  15736  ndvdsadd  15751  gcdaddmlem  15862  pythagtriplem9  16151  difsqpwdvds  16213  gzaddcl  16263  mod2xnegi  16397  cshwshashlem2  16420  cycsubgcl  18279  efgredleme  18789  zaddablx  18912  pgpfac1lem2  19117  zsubrg  20514  zringmulg  20541  expghm  20559  mulgghm2  20560  cygznlem3  20632  iaa  24829  dchrisumlem1  25979  axlowdimlem16  26657  crctcshwlkn0lem4  27505  crctcshwlkn0  27513  clwwlkccatlem  27681  clwwisshclwwslemlem  27705  ballotlemsima  31659  mzpclall  39189  mzpindd  39208  rmxyadd  39383  jm2.18  39450  inductionexd  40370  dvdsn1add  42089  stoweidlem34  42185  fourierswlem  42381  2elfz2melfz  43384  opoeALTV  43680  opeoALTV  43681  even3prm2  43716  mogoldbblem  43717  gbowgt5  43759  gboge9  43761  sbgoldbst  43775  2zrngamgm  44042
  Copyright terms: Public domain W3C validator