Theorem zaddcl 12543

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 12517	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦))
2		elz2 12517	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤))
3		reeanv 3217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
4		reeanv 3217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
5		nnaddcl 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7		nnaddcl 12176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15		addsub4 11444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
16	11, 14, 15	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
17	16	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18		rspceov 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
19	6, 8, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
20		elz2 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ)
22		oveq12 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
23	22	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ))
24	21, 23	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
25	24	rexlimdvva 3205	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	4, 25	biimtrrid 242	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
27	26	rexlimivv 3196	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	3, 27	sylbir 234	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	1, 2, 28	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   + caddc 11054   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℤcz 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500

This theorem is referenced by:  peano2z  12544  zsubcl  12545  zrevaddcl  12548  zdivadd  12574  zaddcld  12611  eluzadd  12792  eluzaddiOLD  12795  eluzsubiOLD  12797  nn0pzuz  12830  fzen  13458  fzaddel  13475  fzadd2  13476  fzrev3  13507  fzrevral3  13528  elfzmlbp  13552  fzoun  13609  fzoaddel  13625  zpnn0elfzo  13645  elfzomelpfzo  13676  fzoshftral  13689  modsumfzodifsn  13849  ccatsymb  14470  ccatval21sw  14473  lswccatn0lsw  14479  swrdccatin2  14617  revccat  14654  2cshw  14701  cshweqrep  14709  2cshwcshw  14714  cshwcsh2id  14717  cshco  14725  climshftlem  15456  isershft  15548  iseraltlem2  15567  fsumzcl  15620  zrisefaccl  15903  summodnegmod  16169  dvds2ln  16171  dvds2add  16172  dvdsadd  16184  dvdsadd2b  16188  addmodlteqALT  16207  3dvdsdec  16214  3dvds2dec  16215  opoe  16245  opeo  16247  divalglem2  16277  ndvdsadd  16292  gcdaddmlem  16404  pythagtriplem9  16696  difsqpwdvds  16759  gzaddcl  16809  mod2xnegi  16943  cshwshashlem2  16969  cycsubgcl  18999  efgredleme  19525  zaddablx  19650  pgpfac1lem2  19854  zsubrg  20850  zringmulg  20877  expghm  20896  mulgghm2  20897  cygznlem3  20976  iaa  25685  dchrisumlem1  26837  axlowdimlem16  27906  crctcshwlkn0lem4  28758  crctcshwlkn0  28766  clwwlkccatlem  28933  clwwisshclwwslemlem  28957  ballotlemsima  33115  mzpclall  41036  mzpindd  41055  rmxyadd  41231  jm2.18  41298  inductionexd  42417  dvdsn1add  44170  stoweidlem34  44265  fourierswlem  44461  2elfz2melfz  45540  opoeALTV  45865  opeoALTV  45866  even3prm2  45901  mogoldbblem  45902  gbowgt5  45944  gboge9  45946  sbgoldbst  45960  2zrngamgm  46227