Theorem zaddcl 12010

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 11987	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦))
2		elz2 11987	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤))
3		reeanv 3320	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
4		reeanv 3320	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
5		nnaddcl 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
6	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7		nnaddcl 11648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
8	7	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9		nncn 11633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		nncn 11633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12		nncn 11633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		nncn 11633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
14	12, 13	anim12i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15		addsub4 10918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
16	11, 14, 15	syl2an 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
17	16	eqcomd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18		rspceov 7182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
19	6, 8, 17, 18	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
20		elz2 11987	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ)
22		oveq12 7144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
23	22	eleq1d 2874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ))
24	21, 23	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
25	24	rexlimdvva 3253	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	4, 25	syl5bir 246	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
27	26	rexlimivv 3251	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	3, 27	sylbir 238	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	1, 2, 28	syl2anb 600	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  peano2z  12011  zsubcl  12012  zrevaddcl  12015  zdivadd  12041  zaddcld  12079  eluzaddi  12259  eluzsubi  12260  nn0pzuz  12293  fzen  12919  fzaddel  12936  fzadd2  12937  fzrev3  12968  fzrevral3  12989  elfzmlbp  13013  fzoun  13069  fzoaddel  13085  zpnn0elfzo  13105  elfzomelpfzo  13136  fzoshftral  13149  modsumfzodifsn  13307  ccatsymb  13927  ccatval21sw  13930  lswccatn0lsw  13936  swrdccatin2  14082  revccat  14119  2cshw  14166  cshweqrep  14174  2cshwcshw  14178  cshwcsh2id  14181  cshco  14189  climshftlem  14923  isershft  15012  iseraltlem2  15031  fsumzcl  15084  zrisefaccl  15366  summodnegmod  15632  dvds2ln  15634  dvds2add  15635  dvdsadd  15644  dvdsadd2b  15648  addmodlteqALT  15667  3dvdsdec  15673  3dvds2dec  15674  opoe  15704  opeo  15706  divalglem2  15736  ndvdsadd  15751  gcdaddmlem  15862  pythagtriplem9  16151  difsqpwdvds  16213  gzaddcl  16263  mod2xnegi  16397  cshwshashlem2  16422  cycsubgcl  18341  efgredleme  18861  zaddablx  18985  pgpfac1lem2  19190  zsubrg  20144  zringmulg  20171  expghm  20189  mulgghm2  20190  cygznlem3  20261  iaa  24921  dchrisumlem1  26073  axlowdimlem16  26751  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0  27607  clwwlkccatlem  27774  clwwisshclwwslemlem  27798  ballotlemsima  31883  mzpclall  39668  mzpindd  39687  rmxyadd  39862  jm2.18  39929  inductionexd  40858  dvdsn1add  42581  stoweidlem34  42676  fourierswlem  42872  2elfz2melfz  43875  opoeALTV  44201  opeoALTV  44202  even3prm2  44237  mogoldbblem  44238  gbowgt5  44280  gboge9  44282  sbgoldbst  44296  2zrngamgm  44563