Theorem zaddcl 12558

Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zaddcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zaddcl

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz2 12533	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦))
2		elz2 12533	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤))
3		reeanv 3211	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
4		reeanv 3211	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) ↔ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)))
5		nnaddcl 12188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ)
7		nnaddcl 12188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ)
9		nncn 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
10		nncn 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ))
12		nncn 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
13		nncn 12173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 ∈ ℕ → 𝑤 ∈ ℂ)
14	12, 13	anim12i 619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))
15		addsub4 11428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
16	11, 14, 15	syl2an 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
17	16	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤)))
18		rspceov 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 𝑧) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + 𝑤) ∈ ℕ ∧ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑧) − (𝑦 + 𝑤))) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
19	6, 8, 17, 18	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
20		elz2 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑢 ∈ ℕ ∃𝑣 ∈ ℕ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) = (𝑢 − 𝑣))
21	19, 20	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ)
22		oveq12 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) = ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)))
23	22	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑥 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑤)) ∈ ℤ))
24	21, 23	syl5ibrcom 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ∈ ℕ)) → ((𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
25	24	rexlimdvva 3196	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∃𝑦 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ (𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
26	4, 25	biimtrrid 244	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ))
27	26	rexlimivv 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑧 ∈ ℕ (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
28	3, 27	sylbir 236	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑀 = (𝑥 − 𝑦) ∧ ∃𝑧 ∈ ℕ ∃𝑤 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑧 − 𝑤)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29	1, 2, 28	syl2anb 604	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3063  (class class class)co 7356  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕcn 12165  ℤcz 12515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516

This theorem is referenced by:  peano2z  12559  zsubcl  12560  zrevaddcl  12563  zdivadd  12591  zaddcld  12628  eluzadd  12808  nn0pzuz  12846  fzen  13486  fzaddel  13503  fzadd2  13504  fzrev3  13535  fzrevral3  13559  elfzmlbp  13584  fzoun  13642  fzoaddel  13663  zpnn0elfzo  13684  elfzomelpfzo  13718  fzoshftral  13733  modsumfzodifsn  13897  ccatsymb  14536  ccatval21sw  14539  lswccatn0lsw  14545  swrdccatin2  14682  revccat  14719  2cshw  14766  cshweqrep  14774  2cshwcshw  14778  cshwcsh2id  14781  cshco  14789  climshftlem  15527  isershft  15617  iseraltlem2  15636  fsumzcl  15688  zrisefaccl  15976  summodnegmod  16246  dvds2ln  16249  dvds2add  16250  dvdsadd  16262  dvdsadd2b  16266  addmodlteqALT  16285  3dvdsdec  16292  3dvds2dec  16293  opoe  16323  opeo  16325  divalglem2  16355  ndvdsadd  16370  gcdaddmlem  16484  pythagtriplem9  16786  difsqpwdvds  16849  gzaddcl  16899  mod2xnegi  17033  cshwshashlem2  17058  cycsubgcl  19172  efgredleme  19709  zaddablx  19838  pgpfac1lem2  20043  zsubrg  21395  zringsub  21430  zringmulg  21431  expghm  21450  mulgghm2  21451  pzriprnglem4  21459  cygznlem3  21544  iaa  26309  dchrisumlem1  27470  axlowdimlem16  29044  crctcshwlkn0lem4  29899  crctcshwlkn0  29907  clwwlkccatlem  30077  clwwisshclwwslemlem  30101  elrgspnlem1  33323  ballotlemsima  34700  mzpclall  43176  mzpindd  43195  rmxyadd  43366  jm2.18  43433  inductionexd  44599  dvdsn1add  46382  stoweidlem34  46477  fourierswlem  46673  nthrucw  47331  2elfz2melfz  47781  submodaddmod  47810  submodneaddmod  47820  modmkpkne  47830  opoeALTV  48174  opeoALTV  48175  even3prm2  48210  mogoldbblem  48211  gbowgt5  48253  gboge9  48255  sbgoldbst  48269  2zrngamgm  48736