Theorem esplylem 33555

Description: Lemma for esplyfv 33559 and others. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplympl.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplympl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplympl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplympl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
esplylem	⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑐,ℎ   𝐾,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ,𝑐)   𝐷(ℎ,𝑐)   𝑅(ℎ,𝑐)   𝐾(ℎ)

Proof of Theorem esplylem

Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. 2 ⊢ Ⅎ𝑑𝜑
2		esplympl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		indf1o 32800	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼))
4		f1of 6758	. . . 4 ⊢ ((𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼–1-1-onto→({0, 1} ↑m 𝐼) → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝟭‘𝐼):𝒫 𝐼⟶({0, 1} ↑m 𝐼))
6	5	ffund 6650	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (𝟭‘𝐼))
7		breq1 5091	. . . 4 ⊢ (ℎ = ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) → (ℎ finSupp 0 ↔ ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0))
8		nn0ex 12378	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ℕ0 ∈ V)
10	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝐼 ∈ Fin)
11		ssrab2 4027	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} ⊆ 𝒫 𝐼)
13	12	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ∈ 𝒫 𝐼)
14	13	elpwid 4556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 𝑑 ⊆ 𝐼)
15		indf 32791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ⊆ 𝐼) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
16	10, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶{0, 1})
17		0nn0 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 0 ∈ ℕ0)
19		1nn0 12388	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → 1 ∈ ℕ0)
21	18, 20	prssd 4771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → {0, 1} ⊆ ℕ0)
22	16, 21	fssd 6663	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑):𝐼⟶ℕ0)
23	9, 10, 22	elmapdd 8759	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼))
24	16, 10, 18	fidmfisupp 9250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) finSupp 0)
25	7, 23, 24	elrabd 3646	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0})
26		esplympl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
27	25, 26	eleqtrrdi 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) → ((𝟭‘𝐼)‘𝑑) ∈ 𝐷)
28	1, 6, 27	funimassd 6882	1 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) ⊆ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3392  Vcvv 3433   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4547  {cpr 4575   class class class wbr 5088   “ cima 5616  ⟶wf 6472  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863   finSupp cfsupp 9239  0cc0 10997  1c1 10998  ℕ₀cn0 12372  ♯chash 14225  Ringcrg 20105  𝟭cind 32786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-map 8746  df-en 8864  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-nn 12117  df-n0 12373  df-ind 32787

This theorem is referenced by:  esplympl  33556  esplymhp  33557  esplyfv  33559