Theorem zzs12 28378

Description: A surreal integer is a dyadic fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzs12	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem zzs12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sno 28335	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
2		exps0 28343	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 0s ) = 1s )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 0s ) = 1s
4	3	oveq2i 7352	. . . 4 ⊢ (𝐴 /su (2s↑s 0s )) = (𝐴 /su 1s )
5		zno 28299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ No )
6		divs1 28136	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr2id 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
9		0n0s 28251	. . . 4 ⊢ 0s ∈ ℕ0s
10		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)))
11	10	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦))))
12		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0s → (2s↑s𝑦) = (2s↑s 0s ))
13	12	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
14	13	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))))
15	11, 14	rspc2ev 3588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 0s ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
16	9, 15	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
17	8, 16	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
18		elzs12 28376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
19	17, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  (class class class)co 7341   No csur 27571   0_s c0s 27759   1_s c1s 27760   /_su cdivs 28119  ℕ_0scnn0s 28235  ℤ_sczs 28295  2_sc2s 28326  ↑_scexps 28328  ℤ_s[1/2]czs12 28330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-ot 4583  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-nadd 8576  df-no 27574  df-slt 27575  df-bday 27576  df-sle 27677  df-sslt 27714  df-scut 27716  df-0s 27761  df-1s 27762  df-made 27781  df-old 27782  df-left 27784  df-right 27785  df-norec 27874  df-norec2 27885  df-adds 27896  df-negs 27956  df-subs 27957  df-muls 28039  df-divs 28120  df-seqs 28207  df-n0s 28237  df-nns 28238  df-zs 28296  df-2s 28327  df-exps 28329  df-zs12 28331

This theorem is referenced by: (None)