Theorem zzs12 28370

Description: A surreal integer is a dyadic fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzs12	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem zzs12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sno 28329	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
2		exps0 28337	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 0s ) = 1s )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 0s ) = 1s
4	3	oveq2i 7364	. . . 4 ⊢ (𝐴 /su (2s↑s 0s )) = (𝐴 /su 1s )
5		zno 28293	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ No )
6		divs1 28130	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr2id 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
9		0n0s 28245	. . . 4 ⊢ 0s ∈ ℕ0s
10		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)))
11	10	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦))))
12		oveq2 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0s → (2s↑s𝑦) = (2s↑s 0s ))
13	12	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
14	13	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))))
15	11, 14	rspc2ev 3592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 0s ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
16	9, 15	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
17	8, 16	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
18		elzs12 28368	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
19	17, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  (class class class)co 7353   No csur 27567   0_s c0s 27754   1_s c1s 27755   /_su cdivs 28113  ℕ_0scnn0s 28229  ℤ_sczs 28289  2_sc2s 28320  ↑_scexps 28322  ℤ_s[1/2]czs12 28324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27673  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-1s 27757  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27950  df-subs 27951  df-muls 28033  df-divs 28114  df-seqs 28201  df-n0s 28231  df-nns 28232  df-zs 28290  df-2s 28321  df-exps 28323  df-zs12 28325

This theorem is referenced by: (None)