Theorem zzs12 28438

Description: A surreal integer is a dyadic fraction. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
zzs12	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem zzs12

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sno 28418	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
2		exps0 28425	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ No → (2s↑s 0s ) = 1s )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2s↑s 0s ) = 1s
4	3	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (𝐴 /su (2s↑s 0s )) = (𝐴 /su 1s )
5		zno 28383	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ No )
6		divs1 28244	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → (𝐴 /su 1s ) = 𝐴)
8	4, 7	eqtr2id 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
9		0n0s 28349	. . . 4 ⊢ 0s ∈ ℕ0s
10		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)))
11	10	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦))))
12		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0s → (2s↑s𝑦) = (2s↑s 0s ))
13	12	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) = (𝐴 /su (2s↑s 0s )))
14	13	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0s → (𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s𝑦)) ↔ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))))
15	11, 14	rspc2ev 3635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 0s ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
16	9, 15	mp3an2 1448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs ∧ 𝐴 = (𝐴 /su (2s↑s 0s ))) → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
17	8, 16	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
18		elzs12 28436	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑥 ∈ ℤs ∃𝑦 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑥 /su (2s↑s𝑦)))
19	17, 18	sylibr 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → 𝐴 ∈ ℤs[1/2])

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  (class class class)co 7431   No csur 27699   0_s c0s 27882   1_s c1s 27883   /_su cdivs 28228  ℕ_0scnn0s 28333  ℤ_sczs 28379  2_sc2s 28409  ↑_scexps 28411  ℤ_s[1/2]czs12 28413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-muls 28148  df-divs 28229  df-seqs 28305  df-n0s 28335  df-nns 28336  df-zs 28380  df-2s 28410  df-exps 28412  df-zs12 28414

This theorem is referenced by: (None)