Theorem expscllem 28410

Description: Lemma for proving non-negative surreal integer exponentiation closure. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expscllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ No
expscllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
expscllem.3	⊢ 1s ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expscllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem expscllem

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s 0s ))
2	1	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)))
4		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑛))
5	4	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹)))
7		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )))
8	7	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
10		oveq2 7364	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑁))
11	10	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)))
13		expscllem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ No
14	13	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ No )
15		exps0 28407	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
17		expscllem.3	. . . 4 ⊢ 1s ∈ 𝐹
18	16, 17	eqeltrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)
19	14	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ No )
20		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
21		expsp1 28409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
23		expscllem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
24	23	caovcl 7550	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
25	24	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
26	25	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
27	22, 26	eqeltrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)
28	27	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
29	28	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
30	3, 6, 9, 12, 18, 29	n0sind 28313	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
31	30	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  (class class class)co 7356   No csur 27591   0_s c0s 27785   1_s c1s 27786   +_s cadds 27939   ·_s cmuls 28086  ℕ_0scn0s 28292  ↑_scexps 28392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-nadd 8591  df-no 27594  df-lts 27595  df-bday 27596  df-les 27697  df-slts 27738  df-cuts 27740  df-0s 27787  df-1s 27788  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-muls 28087  df-seqs 28264  df-n0s 28294  df-nns 28295  df-zs 28359  df-exps 28393

This theorem is referenced by:  expscl  28411  n0expscl  28412  nnexpscl  28413  zexpscl  28414