Theorem expscllem 28323

Description: Lemma for proving non-negative surreal integer exponentiation closure. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expscllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ No
expscllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
expscllem.3	⊢ 1s ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expscllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem expscllem

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s 0s ))
2	1	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)))
4		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑛))
5	4	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹)))
7		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )))
8	7	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
10		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑁))
11	10	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)))
13		expscllem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ No
14	13	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ No )
15		exps0 28320	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
17		expscllem.3	. . . 4 ⊢ 1s ∈ 𝐹
18	16, 17	eqeltrdi 2837	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)
19	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ No )
20		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
21		expsp1 28322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
23		expscllem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
24	23	caovcl 7586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
25	24	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
26	25	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
27	22, 26	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)
28	27	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
29	28	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
30	3, 6, 9, 12, 18, 29	n0sind 28232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
31	30	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  (class class class)co 7390   No csur 27558   0_s c0s 27741   1_s c1s 27742   +_s cadds 27873   ·_s cmuls 28016  ℕ_0scnn0s 28213  ↑_scexps 28305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-nadd 8633  df-no 27561  df-slt 27562  df-bday 27563  df-sle 27664  df-sslt 27700  df-scut 27702  df-0s 27743  df-1s 27744  df-made 27762  df-old 27763  df-left 27765  df-right 27766  df-norec 27852  df-norec2 27863  df-adds 27874  df-negs 27934  df-subs 27935  df-muls 28017  df-seqs 28185  df-n0s 28215  df-nns 28216  df-zs 28274  df-exps 28306

This theorem is referenced by:  expscl  28324  n0expscl  28325  nnexpscl  28326