Theorem expscllem 28430

Description: Lemma for proving non-negative surreal integer exponentiation closure. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
expscllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ No
expscllem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
expscllem.3	⊢ 1s ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expscllem	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem expscllem

Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0s → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s 0s ))
2	1	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹))
3	2	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)))
4		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑛))
5	4	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹)))
7		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )))
8	7	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹))
9	8	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑛 +s 1s ) → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
10		oveq2 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐴↑s𝑚) = (𝐴↑s𝑁))
11	10	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹 ↔ (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑚) ∈ 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)))
13		expscllem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ No
14	13	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → 𝐴 ∈ No )
15		exps0 28427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) = 1s )
17		expscllem.3	. . . 4 ⊢ 1s ∈ 𝐹
18	16, 17	eqeltrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s 0s ) ∈ 𝐹)
19	14	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝐴 ∈ No )
20		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
21		expsp1 28429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
22	19, 20, 21	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) = ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴))
23		expscllem.2	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 ·s 𝑦) ∈ 𝐹)
24	23	caovcl 7554	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
25	24	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
26	25	3adant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → ((𝐴↑s𝑛) ·s 𝐴) ∈ 𝐹)
27	22, 26	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝐴 ∈ 𝐹 ∧ (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)
28	27	3exp 1120	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → ((𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
29	28	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0s → ((𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑛) ∈ 𝐹) → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s(𝑛 +s 1s )) ∈ 𝐹)))
30	3, 6, 9, 12, 18, 29	n0sind 28333	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → (𝐴 ∈ 𝐹 → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹))
31	30	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐹 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (𝐴↑s𝑁) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360   No csur 27611   0_s c0s 27805   1_s c1s 27806   +_s cadds 27959   ·_s cmuls 28106  ℕ_0scn0s 28312  ↑_scexps 28412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-nadd 8596  df-no 27614  df-lts 27615  df-bday 27616  df-les 27717  df-slts 27758  df-cuts 27760  df-0s 27807  df-1s 27808  df-made 27827  df-old 27828  df-left 27830  df-right 27831  df-norec 27938  df-norec2 27949  df-adds 27960  df-negs 28021  df-subs 28022  df-muls 28107  df-seqs 28284  df-n0s 28314  df-nns 28315  df-zs 28379  df-exps 28413

This theorem is referenced by:  expscl  28431  n0expscl  28432  nnexpscl  28433  zexpscl  28434