Theorem f13idfv 13766

Description: A one-to-one function with the domain { 0, 1 ,2 } in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f13idfv.a	⊢ 𝐴 = (0...2)

Assertion

Ref	Expression
f13idfv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Proof of Theorem f13idfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12376	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12396	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		2z 12398	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0ne1 12090	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
6		0ne2 12226	. . 3 ⊢ 0 ≠ 2
7		1ne2 12227	. . 3 ⊢ 1 ≠ 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1339	. 2 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
9		f13idfv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (0...2)
10		fz0tp 13403	. . . 4 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
11	9, 10	eqtri 2764	. . 3 ⊢ 𝐴 = {0, 1, 2}
12	11	f13dfv 7178	. 2 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2)))))
13	4, 8, 12	mp2an 690	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  {ctp 4569  ⟶wf 6454  –1-1→wf1 6455  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918  2c2 12074  ℤcz 12365  ...cfz 13285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286

This theorem is referenced by: (None)