MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f13idfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f13idfv 13989
Description: A one-to-one function with the domain { 0, 1 ,2 } in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
f13idfv.a 𝐴 = (0...2)
Assertion
Ref Expression
f13idfv (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Proof of Theorem f13idfv
StepHypRef Expression
1 0z 12591 . . 3 0 ∈ ℤ
2 1z 12614 . . 3 1 ∈ ℤ
3 2z 12616 . . 3 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1337 . 2 (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0ne1 12305 . . 3 0 ≠ 1
6 0ne2 12441 . . 3 0 ≠ 2
7 1ne2 12442 . . 3 1 ≠ 2
85, 6, 73pm3.2i 1337 . 2 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
9 f13idfv.a . . . 4 𝐴 = (0...2)
10 fz0tp 13626 . . . 4 (0...2) = {0, 1, 2}
119, 10eqtri 2755 . . 3 𝐴 = {0, 1, 2}
1211f13dfv 7277 . 2 (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2)))))
134, 8, 12mp2an 691 1 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  {ctp 4628  wf 6538  1-1wf1 6539  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131  2c2 12289  cz 12580  ...cfz 13508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator