Theorem f13idfv 13956

Description: A one-to-one function with the domain { 0, 1 ,2 } in terms of function values. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
f13idfv.a	⊢ 𝐴 = (0...2)

Assertion

Ref	Expression
f13idfv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Proof of Theorem f13idfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12529	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 12551	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		2z 12553	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0ne1 12246	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
6		0ne2 12377	. . 3 ⊢ 0 ≠ 2
7		1ne2 12378	. . 3 ⊢ 1 ≠ 2
8	5, 6, 7	3pm3.2i 1341	. 2 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
9		f13idfv.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (0...2)
10		fz0tp 13576	. . . 4 ⊢ (0...2) = {0, 1, 2}
11	9, 10	eqtri 2760	. . 3 ⊢ 𝐴 = {0, 1, 2}
12	11	f13dfv 7223	. 2 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2)))))
13	4, 8, 12	mp2an 693	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ((𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1) ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘2) ∧ (𝐹‘1) ≠ (𝐹‘2))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {ctp 4572  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033  2c2 12230  ℤcz 12518  ...cfz 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456

This theorem is referenced by: (None)