Theorem feqresmpt 6947

Description: Express a restricted function as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
feqresmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
feqresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		feqresmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fssresd 6742	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	3	feqmptd 6946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)))
5		fvres 6897	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
6	5	mpteq2ia 5200	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))
7	4, 6	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541

This theorem is used by:  pwfseqlem5  10672  pfxres  14749  gsumpt  20089  dpjidcl  20187  gsumle  20272  regsumsupp  21835  tsmsxplem2  24380  dvmulbr  26166  dvlip  26220  lhop1lem  26240  loglesqrt  26998  jensenlem1  27223  jensen  27225  amgm  27227  ushgredgedg  29689  ushgredgedgloop  29691  fisuppov1  33155  fmptunsnop  33172  mgcf1o  33443  gsumfs2d  33501  gsumzresunsn  33502  gsumpart  33503  gsumhashmul  33507  rprmdvdsprod  33944  coinflippv  34995  fdvposlt  35107  fdvposle  35109  logdivsqrle  35158  ftc1cnnclem  38440  dvasin  38453  dvacos  38454  dvreasin  38455  dvreacos  38456  areacirclem1  38457  dvrelog2  42930  dvrelog3  42931  aks6d1c2  42996  aks6d1c6lem3  43038  readvrec2  43236  readvrec  43237  resuppsinopn  43238  cantnf2  44166  limsupvaluz2  46566  supcnvlimsup  46568  itgperiod  46809  fourierdlem69  47003  fourierdlem73  47007  fourierdlem74  47008  fourierdlem75  47009  fourierdlem76  47010  fourierdlem81  47015  fourierdlem85  47019  fourierdlem88  47022  fourierdlem92  47026  fourierdlem97  47031  fourierdlem100  47034  fourierdlem101  47035  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem107  47041  fourierdlem111  47045  fourierdlem112  47046  fouriersw  47059  sge0tsms  47208  sge0resrnlem  47231  meadjiunlem  47293  omeunle  47344  isomenndlem  47358