Theorem feqresmpt 6955

Description: Express a restricted function as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
feqresmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
feqresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		feqresmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3	1, 2	fssresd 6750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	3	feqmptd 6954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)))
5		fvres 6905	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
6	5	mpteq2ia 5199	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))
7	4, 6	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547

This theorem is used by:  pwfseqlem5  10752  pfxres  14834  gsumpt  20182  dpjidcl  20280  gsumle  20365  regsumsupp  21934  tsmsxplem2  24479  dvmulbr  26265  dvlip  26319  lhop1lem  26339  loglesqrt  27095  jensenlem1  27320  jensen  27322  amgm  27324  ushgredgedg  29816  ushgredgedgloop  29818  fisuppov1  33324  fmptunsnop  33341  mgcf1o  33611  gsumfs2d  33669  gsumzresunsn  33670  gsumpart  33671  gsumhashmul  33675  rprmdvdsprod  34113  coinflippv  35163  fdvposlt  35275  fdvposle  35277  logdivsqrle  35326  ftc1cnnclem  38703  dvasin  38716  dvacos  38717  dvreasin  38718  dvreacos  38719  areacirclem1  38720  dvrelog2  43208  dvrelog3  43209  aks6d1c2  43274  aks6d1c6lem3  43316  readvrec2  43506  readvrec  43507  resuppsinopn  43508  cantnf2  44421  limsupvaluz2  46842  supcnvlimsup  46844  itgperiod  47085  fourierdlem69  47279  fourierdlem73  47283  fourierdlem74  47284  fourierdlem75  47285  fourierdlem76  47286  fourierdlem81  47291  fourierdlem85  47295  fourierdlem88  47298  fourierdlem92  47302  fourierdlem97  47307  fourierdlem100  47310  fourierdlem101  47311  fourierdlem103  47313  fourierdlem104  47314  fourierdlem107  47317  fourierdlem111  47321  fourierdlem112  47322  fouriersw  47335  sge0tsms  47484  sge0resrnlem  47507  meadjiunlem  47569  omeunle  47620  isomenndlem  47634