MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem1 27030
Description: Lemma for jensen 27032. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
jensen.7 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
jensenlem.1 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
jensenlem.2 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
jensenlem.l 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21368 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 21370 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
3 cnring 21403 . . . . 5 fld ∈ Ring
4 ringcmn 20279 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
87unssad 4193 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
96, 8ssfid 9301 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13496 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 11212 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 3993 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
138sselda 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3981 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
187unssbd 4194 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
19 vex 3484 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4785 . . . . 5 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
2118, 20sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
2314, 21ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
25 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑧))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19978 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))) + (𝑇𝑧)))
2714, 7feqresmpt 6978 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥)))
2827oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥))))
2914, 8feqresmpt 6978 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥)))
3029oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))))
3130oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))) + (𝑇𝑧)))
3226, 28, 313eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
3534oveq1i 7441 . 2 (𝑆 + (𝑇𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧))
3632, 33, 353eqtr4g 2802 1 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  [,)cico 13389  [,]cicc 13390   Σg cgsu 17485  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  jensenlem2  27031
  Copyright terms: Public domain W3C validator