MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jensenlem1 26869
Description: Lemma for jensen 26871. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
jensenlem.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
jensenlem.2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
jensenlem.l 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑧,π‘Ž,𝐡,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)
Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21239 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfldadd 21241 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21274 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20178 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
87unssad 4182 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
96, 8ssfid 9266 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13436 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
11 ax-resscn 11166 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstri 3986 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
138sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7079 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 590 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3975 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
187unssbd 4183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
19 vex 3472 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4784 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
2314, 21ffvelcdmd 7080 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
25 fveq2 6884 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘§))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19877 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
2714, 7feqresmpt 6954 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
2827oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
2914, 8feqresmpt 6954 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
3029oveq2d 7420 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
3130oveq1d 7419 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
3226, 28, 313eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
3534oveq1i 7414 . 2 (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§))
3632, 33, 353eqtr4g 2791 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  [,)cico 13329  [,]cicc 13330   Ξ£g cgsu 17392  CMndccmn 19697  Ringcrg 20135  β„‚fldccnfld 21235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-cnfld 21236
This theorem is referenced by:  jensenlem2  26870
  Copyright terms: Public domain W3C validator