MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jensenlem1 26939
Description: Lemma for jensen 26941. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
jensenlem.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
jensenlem.2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
jensenlem.l 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑧,π‘Ž,𝐡,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)
Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21290 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfldadd 21292 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21325 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20225 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
87unssad 4189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
96, 8ssfid 9298 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13473 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
11 ax-resscn 11203 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstri 3991 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
138sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 589 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
187unssbd 4190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
19 vex 3477 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4794 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
2314, 21ffvelcdmd 7100 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
25 fveq2 6902 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘§))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19922 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
2714, 7feqresmpt 6973 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
2827oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
2914, 8feqresmpt 6973 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
3029oveq2d 7442 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
3130oveq1d 7441 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
3226, 28, 313eqtr4d 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
3534oveq1i 7436 . 2 (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§))
3632, 33, 353eqtr4g 2793 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   β†Ύ cres 5684  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151  +∞cpnf 11283   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  [,)cico 13366  [,]cicc 13367   Ξ£g cgsu 17429  CMndccmn 19742  Ringcrg 20180  β„‚fldccnfld 21286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-cnfld 21287
This theorem is referenced by:  jensenlem2  26940
  Copyright terms: Public domain W3C validator