Theorem jensenlem1 27116

Description: Lemma for jensen 27118. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
jensen.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5	⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐴⟶𝐷)
jensen.7	⊢ (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
jensenlem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
jensenlem.2	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s	⊢ 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵))
jensenlem.l	⊢ 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))

Assertion

Ref	Expression
jensenlem1	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑆 + (𝑇‘𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21494	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21496	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		cnring 21512	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
4		ringcmn 20364	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
5	3, 4	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
6		jensen.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		jensenlem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
8	7	unssad 4154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9	6, 8	ssfid 9228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
10		rge0ssre 13482	. . . . . 6 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11		ax-resscn 11156	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstri 3954	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
13	8	sselda 3945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
14		jensen.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
15	14	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑇‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
16	13, 15	syldan 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
17	12, 16	sselid 3943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
18	7	unssbd 4155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
19		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
20	19	snss 4755	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
21	18, 20	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ 𝐴)
22		jensenlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
23	14, 21	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑧) ∈ (0[,)+∞))
24	12, 23	sselid 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
25		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑧))
26	1, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25	gsumunsn 20029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇‘𝑥))) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇‘𝑥))) + (𝑇‘𝑧)))
27	14, 7	feqresmpt 6951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇‘𝑥)))
28	27	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇‘𝑥))))
29	14, 8	feqresmpt 6951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇‘𝑥)))
30	29	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇‘𝑥))))
31	30	oveq1d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵)) + (𝑇‘𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇‘𝑥))) + (𝑇‘𝑧)))
32	26, 28, 31	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵)) + (𝑇‘𝑧)))
33		jensenlem.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
34		jensenlem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵))
35	34	oveq1i 7421	. 2 ⊢ (𝑆 + (𝑇‘𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑇 ↾ 𝐵)) + (𝑇‘𝑧))
36	32, 33, 35	3eqtr4g 2829	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑆 + (𝑇‘𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   ↾ cres 5664  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104  +∞cpnf 11239   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440  [,)cico 13373  [,]cicc 13374   Σ_g cgsu 17492  CMndccmn 19849  Ringcrg 20314  ℂ_fldccnfld 21490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-ico 13377  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-cnfld 21491

This theorem is referenced by:  jensenlem2  27117