MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem1 27044
Description: Lemma for jensen 27046. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
jensen.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
jensen.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
jensen.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
jensen.6 (𝜑𝑋:𝐴𝐷)
jensen.7 (𝜑 → 0 < (ℂfld Σg 𝑇))
jensen.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑡 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) ≤ ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
jensenlem.1 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
jensenlem.2 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
jensenlem.l 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑧,𝑎,𝐵,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐿,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21385 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 21387 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
3 cnring 21420 . . . . 5 fld ∈ Ring
4 ringcmn 20295 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ℂfld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
87unssad 4202 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
96, 8ssfid 9298 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13492 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 11209 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 4004 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
138sselda 3994 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (𝜑𝑇:𝐴⟶(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3992 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇𝑥) ∈ ℂ)
187unssbd 4203 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
19 vex 3481 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4789 . . . . 5 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
2118, 20sylibr 234 . . . 4 (𝜑𝑧𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑧𝐵)
2314, 21ffvelcdmd 7104 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3992 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑧) ∈ ℂ)
25 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑧))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19992 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥))) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))) + (𝑇𝑧)))
2714, 7feqresmpt 6977 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})) = (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥)))
2827oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐵 ∪ {𝑧}) ↦ (𝑇𝑥))))
2914, 8feqresmpt 6977 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝐵) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥)))
3029oveq2d 7446 . . . 4 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇𝐵)) = (ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))))
3130oveq1d 7445 . . 3 (𝜑 → ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑥𝐵 ↦ (𝑇𝑥))) + (𝑇𝑧)))
3226, 28, 313eqtr4d 2784 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧}))) = ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (ℂfld Σg (𝑇 ↾ (𝐵 ∪ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (ℂfld Σg (𝑇𝐵))
3534oveq1i 7440 . 2 (𝑆 + (𝑇𝑧)) = ((ℂfld Σg (𝑇𝐵)) + (𝑇𝑧))
3632, 33, 353eqtr4g 2799 1 (𝜑𝐿 = (𝑆 + (𝑇𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  cun 3960  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  [,)cico 13385  [,]cicc 13386   Σg cgsu 17486  CMndccmn 19812  Ringcrg 20250  fldccnfld 21381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382
This theorem is referenced by:  jensenlem2  27045
  Copyright terms: Public domain W3C validator