MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jensenlem1 26359
Description: Lemma for jensen 26361. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
jensenlem.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
jensenlem.2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
jensenlem.l 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑧,π‘Ž,𝐡,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20823 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfldadd 20824 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 20842 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20011 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
87unssad 4151 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
96, 8ssfid 9217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13382 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
11 ax-resscn 11116 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstri 3957 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
138sselda 3948 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3946 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
187unssbd 4152 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
19 vex 3451 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4750 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
2314, 21ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3946 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
25 fveq2 6846 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘§))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19745 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
2714, 7feqresmpt 6915 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
2827oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
2914, 8feqresmpt 6915 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
3029oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
3130oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
3226, 28, 313eqtr4d 2783 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
3534oveq1i 7371 . 2 (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§))
3632, 33, 353eqtr4g 2798 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  [,)cico 13275  [,]cicc 13276   Ξ£g cgsu 17330  CMndccmn 19570  Ringcrg 19972  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  jensenlem2  26360
  Copyright terms: Public domain W3C validator