MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jensenlem1 26488
Description: Lemma for jensen 26490. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
jensen.2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
jensen.3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) β†’ (π‘Ž[,]𝑏) βŠ† 𝐷)
jensen.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
jensen.5 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
jensen.6 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐴⟢𝐷)
jensen.7 (πœ‘ β†’ 0 < (β„‚fld Ξ£g 𝑇))
jensen.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑑 ∈ (0[,]1))) β†’ (πΉβ€˜((𝑑 Β· π‘₯) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· 𝑦))) ≀ ((𝑑 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) + ((1 βˆ’ 𝑑) Β· (πΉβ€˜π‘¦))))
jensenlem.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
jensenlem.2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
jensenlem.s 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
jensenlem.l 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
Assertion
Ref Expression
jensenlem1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐹,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑧,π‘Ž,𝐡,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑑,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑆,π‘Ž,𝑏,𝑑,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐿(𝑧,π‘Ž,𝑏)   𝑋(𝑧)
Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20947 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfldadd 20948 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 20966 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20098 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 jensen.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 jensenlem.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐴)
87unssad 4187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐴)
96, 8ssfid 9266 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
10 rge0ssre 13432 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
11 ax-resscn 11166 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstri 3991 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† β„‚
138sselda 3982 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
14 jensen.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇:𝐴⟢(0[,)+∞))
1514ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1613, 15syldan 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
1712, 16sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
187unssbd 4188 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧} βŠ† 𝐴)
19 vex 3478 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
2019snss 4789 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐴)
2118, 20sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
22 jensenlem.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐡)
2314, 21ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ (0[,)+∞))
2412, 23sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜π‘§) ∈ β„‚)
25 fveq2 6891 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘§))
261, 2, 5, 9, 17, 21, 22, 24, 25gsumunsn 19827 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
2714, 7feqresmpt 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})) = (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
2827oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆͺ {𝑧}) ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
2914, 8feqresmpt 6961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯)))
3029oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))))
3130oveq1d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘‡β€˜π‘₯))) + (π‘‡β€˜π‘§)))
3226, 28, 313eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧}))) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§)))
33 jensenlem.l . 2 𝐿 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ (𝐡 βˆͺ {𝑧})))
34 jensenlem.s . . 3 𝑆 = (β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡))
3534oveq1i 7418 . 2 (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)) = ((β„‚fld Ξ£g (𝑇 β†Ύ 𝐡)) + (π‘‡β€˜π‘§))
3632, 33, 353eqtr4g 2797 1 (πœ‘ β†’ 𝐿 = (𝑆 + (π‘‡β€˜π‘§)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  [,)cico 13325  [,]cicc 13326   Ξ£g cgsu 17385  CMndccmn 19647  Ringcrg 20055  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  jensenlem2  26489
  Copyright terms: Public domain W3C validator