Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflippv 32911
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflippv (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
21fveq1i 6840 . 2 (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3 snsspr1 4772 . . 3 {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4 prex 5387 . . . . 5 {𝐻, 𝑇} ∈ V
54elpw2 5300 . . . 4 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
65biimpri 227 . . 3 ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8 coinflip.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ V
9 hashsng 14223 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝐻}) = 1
117, 10eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
1211oveq1d 7366 . . . 4 (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
134pwex 5333 . . . . . . 7 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15 2nn0 12388 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17 prfi 9224 . . . . . . . . 9 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18 elpwi 4565 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19 ssfi 9075 . . . . . . . . 9 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
2120adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22 hashcl 14210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24 hashf 14192 . . . . . . . 8 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26 ssv 3966 . . . . . . . 8 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
2825, 27feqresmpt 6908 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
2914, 16, 23, 28ofcfval2 32531 . . . . 5 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
308, 29ax-mp 5 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31 ovex 7384 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
3212, 30, 31fvmpt 6945 . . 3 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
333, 6, 32mp2b 10 . 2 (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
342, 33eqtri 2764 1 (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  Vcvv 3443  cun 3906  wss 3908  𝒫 cpw 4558  {csn 4584  {cpr 4586  cop 4590  cmpt 5186  cres 5633  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  0cc0 11009  1c1 11010  +∞cpnf 11144   / cdiv 11770  2c2 12166  0cn0 12371  chash 14184  f/c cofc 32522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185  df-ofc 32523
This theorem is referenced by:  coinflippvt  32912
  Copyright terms: Public domain W3C validator