Theorem coinflippv 34012

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3		snsspr1 4812	. . 3 ⊢ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4		prex 5425	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
5	4	elpw2 5338	. . . 4 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
6	5	biimpri 227	. . 3 ⊢ ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
9		hashsng 14334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝐻}) = 1
11	7, 10	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
12	11	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
13	4	pwex 5371	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15		2nn0 12493	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17		prfi 9324	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18		elpwi 4604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19		ssfi 9175	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
20	17, 18, 19	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22		hashcl 14321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24		hashf 14303	. . . . . . . 8 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26		ssv 4001	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
28	25, 27	feqresmpt 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 33632	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ V
32	12, 30, 31	fvmpt 6992	. . 3 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
34	2, 33	eqtri 2754	1 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cop 4629   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5671  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112  1c1 11113  +∞cpnf 11249   / cdiv 11875  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ♯chash 14295   ∘_f/c cofc 33623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-ofc 33624

This theorem is referenced by:  coinflippvt  34013