Theorem coinflippv 35183

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	fveq1i 6906	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3		snsspr1 4773	. . 3 ⊢ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4		prex 5400	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
5	4	elpw2 5300	. . . 4 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
6	5	biimpri 231	. . 3 ⊢ ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
9		hashsng 14537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝐻}) = 1
11	7, 10	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
12	11	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
13	4	pwex 5346	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15		2nn0 12647	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17		prfi 9340	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18		elpwi 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19		ssfi 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
20	17, 18, 19	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22		hashcl 14524	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24		hashf 14506	. . . . . . . 8 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26		ssv 3937	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
28	25, 27	feqresmpt 6974	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 34803	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31		ovex 7473	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ V
32	12, 30, 31	fvmpt 7013	. . 3 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
34	2, 33	eqtri 2786	1 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  𝒫 cpw 4560  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   ↾ cres 5657  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  0cc0 11224  1c1 11225  +∞cpnf 11364   / cdiv 11997  2c2 12421  ℕ₀cn0 12630  ♯chash 14498   ∘_f/c cofc 34794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-xnn0 12704  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-hash 14499  df-ofc 34795

This theorem is used by:  coinflippvt  35184