Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflippv 34486
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflippv (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
21fveq1i 6907 . 2 (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3 snsspr1 4814 . . 3 {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4 prex 5437 . . . . 5 {𝐻, 𝑇} ∈ V
54elpw2 5334 . . . 4 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
65biimpri 228 . . 3 ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8 coinflip.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ V
9 hashsng 14408 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝐻}) = 1
117, 10eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
1211oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
134pwex 5380 . . . . . . 7 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15 2nn0 12543 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17 prfi 9363 . . . . . . . . 9 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18 elpwi 4607 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19 ssfi 9213 . . . . . . . . 9 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
2017, 18, 19sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22 hashcl 14395 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24 hashf 14377 . . . . . . . 8 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26 ssv 4008 . . . . . . . 8 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
2825, 27feqresmpt 6978 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
2914, 16, 23, 28ofcfval2 34105 . . . . 5 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
308, 29ax-mp 5 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31 ovex 7464 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
3212, 30, 31fvmpt 7016 . . 3 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
333, 6, 32mp2b 10 . 2 (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
342, 33eqtri 2765 1 (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292   / cdiv 11920  2c2 12321  0cn0 12526  chash 14369  f/c cofc 34096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-ofc 34097
This theorem is referenced by:  coinflippvt  34487
  Copyright terms: Public domain W3C validator