Theorem coinflippv 34465

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	fveq1i 6908	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3		snsspr1 4819	. . 3 ⊢ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4		prex 5443	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
5	4	elpw2 5340	. . . 4 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
6	5	biimpri 228	. . 3 ⊢ ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
9		hashsng 14405	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝐻}) = 1
11	7, 10	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
12	11	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
13	4	pwex 5386	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15		2nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17		prfi 9361	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18		elpwi 4612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19		ssfi 9212	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
20	17, 18, 19	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22		hashcl 14392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24		hashf 14374	. . . . . . . 8 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26		ssv 4020	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
28	25, 27	feqresmpt 6978	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 34085	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31		ovex 7464	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ V
32	12, 30, 31	fvmpt 7016	. . 3 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
34	2, 33	eqtri 2763	1 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {cpr 4633  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  1c1 11154  +∞cpnf 11290   / cdiv 11918  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ♯chash 14366   ∘_f/c cofc 34076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-ofc 34077

This theorem is referenced by:  coinflippvt  34466