Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coinflippv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coinflippv 34448
Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
coinflip.h 𝐻 ∈ V
coinflip.t 𝑇 ∈ V
coinflip.th 𝐻𝑇
coinflip.2 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}
Assertion
Ref Expression
coinflippv (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coinflip.2 . . 3 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
21fveq1i 6921 . 2 (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3 snsspr1 4839 . . 3 {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4 prex 5452 . . . . 5 {𝐻, 𝑇} ∈ V
54elpw2 5352 . . . 4 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
65biimpri 228 . . 3 ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7 fveq2 6920 . . . . . 6 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8 coinflip.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ V
9 hashsng 14418 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (♯‘{𝐻}) = 1
117, 10eqtrdi 2796 . . . . 5 (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
1211oveq1d 7463 . . . 4 (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
134pwex 5398 . . . . . . 7 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15 2nn0 12570 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17 prfi 9391 . . . . . . . . 9 {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18 elpwi 4629 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19 ssfi 9240 . . . . . . . . 9 (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
2017, 18, 19sylancr 586 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
2120adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22 hashcl 14405 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24 hashf 14387 . . . . . . . 8 ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26 ssv 4033 . . . . . . . 8 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
2825, 27feqresmpt 6991 . . . . . 6 (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
2914, 16, 23, 28ofcfval2 34068 . . . . 5 (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
308, 29ax-mp 5 . . . 4 ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31 ovex 7481 . . . 4 (1 / 2) ∈ V
3212, 30, 31fvmpt 7029 . . 3 ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
333, 6, 32mp2b 10 . 2 (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
342, 33eqtri 2768 1 (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  Vcvv 3488  cun 3974  wss 3976  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  cop 4654  cmpt 5249  cres 5702  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  0cc0 11184  1c1 11185  +∞cpnf 11321   / cdiv 11947  2c2 12348  0cn0 12553  chash 14379  f/c cofc 34059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-ofc 34060
This theorem is referenced by:  coinflippvt  34449
  Copyright terms: Public domain W3C validator