Theorem coinflippv 34898

Description: The probability of heads is one-half. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
coinflip.h	⊢ 𝐻 ∈ V
coinflip.t	⊢ 𝑇 ∈ V
coinflip.th	⊢ 𝐻 ≠ 𝑇
coinflip.2	⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
coinflip.3	⊢ 𝑋 = {⟨𝐻, 1⟩, ⟨𝑇, 0⟩}

Assertion

Ref	Expression
coinflippv	⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

Proof of Theorem coinflippv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coinflip.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)
2	1	fveq1i 6889	. 2 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻})
3		snsspr1 4785	. . 3 ⊢ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇}
4		prex 5414	. . . . 5 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ V
5	4	elpw2 5310	. . . 4 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↔ {𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇})
6	5	biimpri 231	. . 3 ⊢ ({𝐻} ⊆ {𝐻, 𝑇} → {𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇})
7		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝐻}))
8		coinflip.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ V
9		hashsng 14425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯‘{𝐻}) = 1)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝐻}) = 1
11	7, 10	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → (♯‘𝑥) = 1)
12	11	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝐻} → ((♯‘𝑥) / 2) = (1 / 2))
13	4	pwex 5356	. . . . . . 7 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ∈ V)
15		2nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → 2 ∈ ℕ0)
17		prfi 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐻, 𝑇} ∈ Fin
18		elpwi 4574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇})
19		ssfi 9167	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐻, 𝑇} ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
20	17, 18, 19	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → 𝑥 ∈ Fin)
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → 𝑥 ∈ Fin)
22		hashcl 14412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) → (♯‘𝑥) ∈ ℕ0)
24		hashf 14394	. . . . . . . 8 ⊢ ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → ♯:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
26		ssv 3964	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝒫 {𝐻, 𝑇} ⊆ V)
28	25, 27	feqresmpt 6957	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ V → (♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ (♯‘𝑥)))
29	14, 16, 23, 28	ofcfval2 34518	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2)))
30	8, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2) = (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} ↦ ((♯‘𝑥) / 2))
31		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ V
32	12, 30, 31	fvmpt 6996	. . 3 ⊢ ({𝐻} ∈ 𝒫 {𝐻, 𝑇} → (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2))
33	3, 6, 32	mp2b 10	. 2 ⊢ (((♯ ↾ 𝒫 {𝐻, 𝑇}) ∘f/c / 2)‘{𝐻}) = (1 / 2)
34	2, 33	eqtri 2789	1 ⊢ (𝑃‘{𝐻}) = (1 / 2)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  0cc0 11118  1c1 11119  +∞cpnf 11258   / cdiv 11889  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ♯chash 14386   ∘_f/c cofc 34509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-hash 14387  df-ofc 34510

This theorem is used by:  coinflippvt  34899