Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem85 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem85 44907
Description: Limit of the function 𝐺 at the lower bounds of the partition intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem85.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem85.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem85.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem85.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem85.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem85.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem85.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem85.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem85.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem85.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem85.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem85.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem85.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem85.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
fourierdlem85.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
fourierdlem85.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem85.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem85.ifn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
fourierdlem85.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
fourierdlem85.a 𝐴 = ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem85 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠,𝑖   𝑁,𝑠   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑖,𝑋,π‘š,𝑝   𝑋,𝑠   π‘Œ,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐴(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑆(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘ˆ(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐺(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐼(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑁(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑂(𝑖,π‘š,𝑠,𝑝)   𝑉(π‘š)   π‘Š(𝑖,π‘š,𝑝)   π‘Œ(𝑖,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem85
StepHypRef Expression
1 fourierdlem85.a . . 3 𝐴 = ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)))
2 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ ))
3 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ ))
4 eqid 2733 . . . 4 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
5 pire 25968 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ ℝ
65renegcli 11521 . . . . . . . . . 10 -Ο€ ∈ ℝ
76rexri 11272 . . . . . . . . 9 -Ο€ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
95rexri 11272 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
109a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
11 fourierdlem85.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
12 fourierdlem85.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
135a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1413renegcld 11641 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
15 fourierdlem85.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
16 fourierdlem85.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
1716fourierdlem2 44825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1))))))
1915, 18mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘‰β€˜0) = (-Ο€ + 𝑋) ∧ (π‘‰β€˜π‘€) = (Ο€ + 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘‰β€˜π‘–) < (π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))))
2019simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
21 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„)
22 frn 6725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉:(0...𝑀)βŸΆβ„ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† ℝ)
24 fourierdlem85.x . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝑉)
2523, 24sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
26 fourierdlem85.q . . . . . . . . . . . 12 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘‰β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
2714, 13, 25, 16, 11, 12, 15, 26fourierdlem14 44837 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
2811, 12, 27fourierdlem15 44838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
2928adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
3029adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
31 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
328, 10, 30, 31fourierdlem8 44831 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
33 ioossicc 13410 . . . . . . . . 9 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
3433sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
3534adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
3632, 35sseldd 3984 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
37 fourierdlem85.f . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
38 ioossre 13385 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ)
4037, 39fssresd 6759 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)βŸΆβ„)
41 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
4239, 41sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)+∞) βŠ† β„‚)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
44 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
4625ltpnfd 13101 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 < +∞)
4743, 45, 25, 46lptioo1cn 44362 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((limPtβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜(𝑋(,)+∞)))
48 fourierdlem85.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
4940, 42, 47, 48limcrecl 44345 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
50 fourierdlem85.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
51 fourierdlem85.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
5237, 25, 49, 50, 51fourierdlem9 44832 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
5341a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
5452, 53fssd 6736 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
5655, 36ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π»β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
57 fourierdlem85.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
5857fourierdlem43 44866 . . . . . . . . . 10 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
6059, 36ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
6160recnd 11242 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
6256, 61mulcld 11234 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ β„‚)
63 fourierdlem85.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
6463fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )) ∈ β„‚) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
6536, 62, 64syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) = ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
6665, 62eqeltrd 2834 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
67 fourierdlem85.n . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
68 fourierdlem85.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
6967, 68fourierdlem18 44841 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
70 cncff 24409 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
7169, 70syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
7271adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
7372adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
7473, 36ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
7574recnd 11242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
76 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ ))
77 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))
78 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
79 fourierdlem85.r . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘‰β€˜π‘–)))
80 fourierdlem85.i . . . . . . . 8 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
81 fourierdlem85.ifn . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 β†Ύ ((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘‰β€˜π‘–)(,)(π‘‰β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
82 fourierdlem85.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ((𝐼 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
83 eqid 2733 . . . . . . . 8 if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) = if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–)))
8425, 16, 37, 24, 48, 50, 51, 12, 15, 79, 26, 11, 80, 81, 82, 83fourierdlem75 44897 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
8552adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐻:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
867a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
879a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
8986, 87, 29, 88fourierdlem8 44831 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
9033, 89sstrid 3994 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
9185, 90feqresmpt 6962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )))
9291oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐻 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
9384, 92eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π»β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
94 limcresi 25402 . . . . . . . 8 (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
95 ssid 4005 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ βŠ† β„‚
96 cncfss 24415 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
9741, 95, 96mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
9857fourierdlem62 44884 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ)
9997, 98sselii 3980 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚)
10099a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
101 elfzofz 13648 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
102101adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
10329, 102ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
104100, 103cnlimci 25406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝐾 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
10594, 104sselid 3981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
106 cncff 24409 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
10799, 106mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐾:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
108107, 90feqresmpt 6962 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )))
109108oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐾 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
110105, 109eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
11176, 77, 78, 56, 61, 93, 110mullimc 44332 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
11265mpteq2dva 5249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))))
113112oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
114111, 113eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘ˆβ€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
115 limcresi 25402 . . . . . 6 (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) βŠ† ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–))
11669adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
117116, 103cnlimci 25406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ (𝑆 limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
118115, 117sselid 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
11972, 90feqresmpt 6962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )))
120119oveq1d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑆 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
121118, 120eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–)) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (π‘†β€˜π‘ )) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
1222, 3, 4, 66, 75, 114, 121mullimc 44332 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((if((π‘‰β€˜π‘–) = 𝑋, 𝐸, ((𝑅 βˆ’ if((π‘‰β€˜π‘–) < 𝑋, π‘Š, π‘Œ)) / (π‘„β€˜π‘–))) Β· (πΎβ€˜(π‘„β€˜π‘–))) Β· (π‘†β€˜(π‘„β€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
1231, 122eqeltrid 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
124 fourierdlem85.g . . . . 5 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
125124reseq1i 5978 . . . 4 (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
12690resmptd 6041 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))))
127125, 126eqtr2id 2786 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
128127oveq1d 7424 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
129123, 128eleqtrd 2836 1 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  sincsin 16007  Ο€cpi 16010  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  β€“cnβ†’ccncf 24392   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator