areacirclem1 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirclem1 38894

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem1	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem1 Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11331	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		elioore 13546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
6		rpcn 13171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8		rpne0 13177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divcld 12133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
11		asincl 27258	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
13		1cnd 11341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
14	10	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	subcld 11708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
16	15	sqrtcld 15651	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
17	10, 16	mulcld 11368	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 11367	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
19		ovexd 7486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) ∈ V)
20		rpre 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
21	20	renegcld 11782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ^*)
23		rpxr 13170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
24		elioo2 13557	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
27	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
29	26, 27, 28	redivcld 12185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
30	29	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ))
31	6	mulm1d 11807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1 · 𝑅) = -𝑅)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -1 · 𝑅) = -𝑅)
33	32	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -𝑅 < 𝑡))
34		neg1rr 12346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
36		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
37	35, 26, 36	ltmuldivd 13251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
38	33, 37	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -𝑅 < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -𝑅 < 𝑡 → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
40	39	adantrd 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
41		1red 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
42	26, 41, 36	ltdivmuld 13255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅) < 1 ↔ 𝑡 < (𝑅 · 1)))
43	6	mulridd 11365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 · 1) = 𝑅)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
45	44	breq2d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑅 · 1) ↔ 𝑡 < 𝑅))
46	42, 45	bitr2d 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 ↔ (𝑡 / 𝑅) < 1))
47	46	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 → (𝑡 / 𝑅) < 1))
48	47	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) < 1))
49	30, 40, 48	3jcad 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
50	49	exp4b 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → ( -𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))))
51	50	3impd 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
52	25, 51	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
53	52	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
54	34	rexri 11406	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ^*
55		1xr 11407	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
56		elioo2 13557	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
57	54, 55, 56	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
58	53, 57	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1))
59		ovexd 7486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ V)
60		elioore 13546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 𝑢 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11376	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 𝑢 ∈ ℂ)
62		asincl 27258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
63		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 𝑢 ∈ ℂ)
64		1cnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
65		sqcl 14301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
66	64, 65	subcld 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
68	63, 67	mulcld 11368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
69	62, 68	addcld 11367	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
70	61, 69	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
71	70	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
72		ovexd 7486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
73		recn 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
74	73	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
75		1cnd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
76	2	dvmptid 26332	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
77		ioossre 13578	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
79		tgioo4 25179	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
80		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
81		iooretop 25139	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,))
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	2, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 82	dvmptres 26338	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ 1))
84	2, 5, 13, 83, 6, 8	dvmptdivc 26340	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (1 / 𝑅)))
85	61, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
86	85	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
87		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
88		asinf 27257	. . . . . . . . . 10 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
90		ioossre 13578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℝ
91		ax-resscn 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
92	90, 91	sstri 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℂ
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ⊆ ℂ)
94	89, 93	feqresmpt 6985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin ↾ ( -1(,)1)) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢)))
95	94	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))))
96		dvreasin 38892	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
97	95, 96	eqtr3di 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
98	61, 68	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
99	98	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
100		ovexd 7486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) ∈ V)
101	61	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → 𝑢 ∈ ℂ)
102		1cnd 11341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
103		recn 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℂ)
104	103	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℂ)
105		1cnd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
106	2	dvmptid 26332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1))
107	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ⊆ ℝ)
108		iooretop 25139	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
110	2, 104, 105, 106, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26338	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ 1))
111	61, 67	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
112	111	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
113		ovexd 7486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
114		1red 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 1 ∈ ℝ)
115	60	resqcld 14308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
116	114, 115	resubcld 11783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ)
117		elioo2 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
118	54, 55, 117	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1))
119		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℝ)
120		1red 11348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
121	119, 120	absltd 15643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
122	103	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (abs‘𝑢) ∈ ℝ)
123	103	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑢))
124		0le1 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ 1)
126	122, 120, 123, 125	lt2sqd 14441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2)))
127		absresq 15512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢)↑2) = (𝑢↑2))
128		sq1 14378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1↑2) = 1
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
130	127, 129	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑢↑2) < 1))
131		resqcl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
132	131, 120	posdifd 11943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
133	126, 130, 132	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
134	121, 133	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
135	134	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2))))
136	135	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
137	118, 136	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
138	116, 137	elrpd 13201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
139	138	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
140		negex 11594	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(2 · 𝑢) ∈ V
141	140	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
142		rpcn 13171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℂ)
143	142	sqrtcld 15651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
144	143	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
145		ovexd 7486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) ∈ V)
146		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
147	103	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
148	146, 147	subcld 11708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
149	148	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
150	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
151		0red 11350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
152		1cnd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℂ)
153	2, 152	dvmptc 26333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 0))
154	147	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
155		ovexd 7486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
156	80	cnfldtopon 25156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
157		toponmax 23299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
158	156, 157	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
159		dfss2 4097	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
160	91, 159	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
162	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
163		ovexd 7486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
164		2nn 12456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
165		dvexp 26328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1))))
167		2m1e1 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
168	167	oveq2i 7462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢↑(2 − 1)) = (𝑢↑1)
169		exp1 14250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑1) = 𝑢)
170	168, 169	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑(2 − 1)) = 𝑢)
171	170	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (2 · (𝑢↑(2 − 1))) = (2 · 𝑢))
172	171	mpteq2ia 5206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
173	166, 172	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢)))
175	80, 2, 158, 161, 162, 163, 174	dvmptres3 26331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (2 · 𝑢)))
176	2, 105, 151, 153, 154, 155, 175	dvmptsub 26342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢))))
177		df-neg 11583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(2 · 𝑢) = (0 − (2 · 𝑢))
178	177	mpteq2i 5207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢)))
179	176, 178	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)))
180	2, 149, 150, 179, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ -(2 · 𝑢)))
181		dvsqrt 27127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣))))
182	181	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣)))))
183		fveq2 6916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (√‘𝑣) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
184	183	oveq2d 7467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (2 · (√‘𝑣)) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
185	184	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
186	2, 2, 139, 141, 144, 145, 180, 182, 183, 185	dvmptco 26347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))))
187		2cnd 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 2 ∈ ℂ)
188	187, 61	mulneg2d 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · -𝑢) = -(2 · 𝑢))
189	188	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ( -(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
190	61	negcld 11695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -𝑢 ∈ ℂ)
191	137	gt0ne0d 11920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ≠ 0)
192	61, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
193	192	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
194		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0)
195	193, 194	sqr00d 15655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) = 0)
196	195	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0 → (1 − (𝑢↑2)) = 0))
197	196	necon3d 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 − (𝑢↑2)) ≠ 0 → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0))
198	191, 197	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0)
199		2ne0 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 2 ≠ 0)
201	190, 111, 187, 198, 200	divcan5d 12159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
202	187, 61	mulcld 11368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
203	202	negcld 11695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(2 · 𝑢) ∈ ℂ)
204	187, 111	mulcld 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
205	187, 111, 200, 198	mulne0d 12008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ≠ 0)
206	203, 204, 205	divrec2d 12137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)))
207	189, 201, 206	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)) = ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
208	207	mpteq2ia 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
209	186, 208	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
210	2, 101, 102, 110, 112, 113, 209	dvmptmul 26336	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))))
211	2, 86, 87, 97, 99, 100, 210	dvmptadd 26335	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))))
212	111	mullidd 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
213	190, 111, 198	divcld 12133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
214	213, 61	mulcomd 11369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (𝑢 · ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
215	61, 190, 111, 198	divassd 12168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 · ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
216	61, 61	mulneg2d 11809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢 · 𝑢))
217	61	sqvald 14326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) = (𝑢 · 𝑢))
218	217	negeqd 11590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(𝑢↑2) = -(𝑢 · 𝑢))
219	216, 218	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢↑2))
220	219	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
221	214, 215, 220	3eqtr2d 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
222	212, 221	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
223	61	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
224	223	negcld 11695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(𝑢↑2) ∈ ℂ)
225	224, 111, 198	divcld 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
226	111, 225	addcomd 11551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
227	222, 226	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
228	227	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
229	111	2timesd 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
230	64, 65	negsubd 11714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = (1 − (𝑢↑2)))
231	66	sqsqrtd 15653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = (1 − (𝑢↑2)))
232	67	sqvald 14326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
233	230, 231, 232	3eqtr2d 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
234	61, 233	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
235	234	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
236		1cnd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 1 ∈ ℂ)
237	236, 224, 111, 198	divdird 12171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
238	111, 111, 198	divcan3d 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
239	235, 237, 238	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
240	239	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
241	111, 198	reccld 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
242	241, 225, 111	addassd 11370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
243	229, 240, 242	3eqtrrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
244	228, 243	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
245	244	mpteq2ia 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
246	211, 245	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
247		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (arcsin‘𝑢) = (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)))
248		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → 𝑢 = (𝑡 / 𝑅))
249		oveq1 7458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢↑2) = ((𝑡 / 𝑅)↑2))
250	249	oveq2d 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (1 − (𝑢↑2)) = (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
251	250	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
252	248, 251	oveq12d 7469	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
253	247, 252	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
254	251	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
255	2, 2, 58, 59, 71, 72, 84, 246, 253, 254	dvmptco 26347	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))))
256	6	sqcld 14327	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
257	2, 18, 19, 255, 256	dvmptcmul 26339	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))))
258		2cnd 12461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
259	258, 16	mulcld 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
260	6, 8	reccld 12126	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
261	260	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
262	259, 261	mulcomd 11369	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
263	262	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
264	256	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
265	264, 261, 259	mulassd 11371	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
266	6	sqvald 14326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅))
267	266	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅))
268	256, 6, 8	divrecd 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)))
269	6, 6, 8	divcan3d 12138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅) = 𝑅)
270	267, 268, 269	3eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
271	270	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
272	271	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
273	7, 258, 16	mul12d 11558	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
274	20	resqcld 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
275	274	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
276	20	sqge0d 14320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
277	276	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
278		1red 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
279	3	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
280	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
281	279, 280, 9	redivcld 12185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
282	281	resqcld 14308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
283	278, 282	resubcld 11783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
284		0red 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
285	26, 27	absltd 15643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
286	73	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
287	286	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
288	73	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
289	288	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
290		rpge0 13174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
291	290	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
292	287, 27, 289, 291	lt2sqd 14441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
293		absresq 15512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
294	293	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
295	256	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
296	295	mulridd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
297	296	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) = ((𝑅↑2) · 1))
298	294, 297	breq12d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
299	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
300	74, 299, 28	sqdivd 14342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
301	300	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1))
302	29	resqcld 14308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
303	302, 41	posdifd 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
304		resqcl 14307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
305	304	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
306		rpgt0 13173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
307		0red 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
308		0le0 12484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 0
309	308	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
310	307, 20, 309, 290	lt2sqd 14441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
311		sq0 14375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
312	311	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
313	312	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
314	310, 313	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
315	306, 314	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
316	274, 315	elrpd 13201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
317	316	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
318	305, 41, 317	ltdivmuld 13255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1 ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
319	301, 303, 318	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
320	292, 298, 319	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
321	285, 320	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
322	321	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
323	322	exp4b 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → ( -𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
324	323	3impd 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
325	25, 324	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
326	325	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
327	284, 283, 326	ltled 11497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
328	275, 277, 283, 327	sqrtmuld 15636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
329	264, 13, 14	subdid 11811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
330	264	mulridd 11365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
331	5, 7, 9	sqdivd 14342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
332	331	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
333	4	sqcld 14327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
334	333	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
335		sqne0 14306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
336	6, 335	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
337	8, 336	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
338	337	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
339	334, 264, 338	divcan2d 12135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
340	332, 339	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
341	330, 340	oveq12d 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
342	329, 341	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
343	342	fveq2d 6920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
344	20, 290	sqrtsqd 15631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
345	344	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
346	345	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
347	328, 343, 346	3eqtr3rd 2807	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
348	347	oveq2d 7467	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
349	272, 273, 348	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
350	263, 265, 349	3eqtr2d 2804	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
351	350	mpteq2dva 5204	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
352	257, 351	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2147 ≠ wne 2959 Vcvv 3454 ⊆ wss 3900 ∩ cin 4092 {cpr 4590 class class class wbr 5108 ↦ cmpt 5192 ran crn 5659 ↾ cres 5660 ⟶wf 6562 ‘cfv 6566 (class class class)co 7451 ℂcc 11237 ℝcr 11238 0cc0 11239 1c1 11240 + caddc 11242 · cmul 11244 ℝ^*cxr 11381 < clt 11382 ≤ cle 11383 − cmin 11580 -cneg 11581 / cdiv 12013 ℕcn 12375 2c2 12437 ℝ⁺crp 13160 (,)cioo 13516 ↑cexp 14244 √csqrt 15443 abscabs 15444 TopOpenctopn 17642 topGenctg 17658 ℂ_fldccnfld 21729 TopOnctopon 23283 D cdv 26238 arcsincasin 27247

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1945 ax-6 2002 ax-7 2043 ax-8 2149 ax-9 2157 ax-10 2180 ax-11 2197 ax-12 2216 ax-ext 2735 ax-rep 5238 ax-sep 5255 ax-nul 5266 ax-pow 5334 ax-pr 5398 ax-un 7783 ax-inf2 9679 ax-cnex 11295 ax-resscn 11296 ax-1cn 11297 ax-icn 11298 ax-addcl 11299 ax-addrcl 11300 ax-mulcl 11301 ax-mulrcl 11302 ax-mulcom 11303 ax-addass 11304 ax-mulass 11305 ax-distr 11306 ax-i2m1 11307 ax-1ne0 11308 ax-1rid 11309 ax-rnegex 11310 ax-rrecex 11311 ax-cnre 11312 ax-pre-lttri 11313 ax-pre-lttrn 11314 ax-pre-ltadd 11315 ax-pre-mulgt0 11316 ax-pre-sup 11317 ax-addf 11318

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2102 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2839 df-nfc 2913 df-ne 2960 df-nel 3066 df-ral 3081 df-rex 3091 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3456 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-ss 3901 df-pss 4017 df-dif 4050 df-in 4094 df-un 4154 df-nul 4282 df-if 4486 df-pw 4562 df-sn 4589 df-pr 4591 df-tp 4593 df-op 4841 df-uni 4873 df-int 4913 df-iun 4958 df-iin 4959 df-br 5109 df-opab 5174 df-mpt 5193 df-tr 5219 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5664 df-rel 5665 df-cnv 5666 df-co 5667 df-dm 5668 df-rn 5669 df-res 5670 df-ima 5671 df-pred 6330 df-ord 6391 df-on 6392 df-lim 6393 df-suc 6394 df-iota 6520 df-fun 6568 df-fn 6569 df-f 6570 df-f1 6571 df-fo 6572 df-f1o 6573 df-fv 6574 df-isom 6575 df-riota 7408 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-of 7725 df-om 7912 df-1st 8035 df-2nd 8036 df-supp 8215 df-frecs 8337 df-wrecs 8368 df-recs 8417 df-rdg 8456 df-1o 8514 df-2o 8515 df-er 8755 df-map 8887 df-pm 8888 df-ixp 8964 df-en 9012 df-dom 9013 df-sdom 9014 df-fin 9015 df-fsupp 9392 df-fi 9440 df-sup 9471 df-inf 9472 df-oi 9541 df-card 10057 df-pnf 11384 df-mnf 11385 df-xr 11386 df-ltxr 11387 df-le 11388 df-sub 11582 df-neg 11583 df-div 12014 df-nn 12376 df-2 12445 df-3 12446 df-4 12447 df-5 12448 df-6 12449 df-7 12450 df-8 12451 df-9 12452 df-n0 12647 df-z 12734 df-dec 12855 df-uz 13006 df-q 13116 df-rp 13161 df-xneg 13281 df-xadd 13282 df-xmul 13283 df-ioo 13520 df-ioc 13521 df-ico 13522 df-icc 13523 df-fz 13680 df-fzo 13829 df-fl 13972 df-mod 14050 df-seq 14185 df-exp 14245 df-fac 14459 df-bc 14488 df-hash 14516 df-shft 15263 df-cj 15309 df-re 15310 df-im 15311 df-sqrt 15445 df-abs 15446 df-limsup 15682 df-clim 15699 df-rlim 15700 df-sum 15898 df-ef 16277 df-sin 16279 df-cos 16280 df-tan 16281 df-pi 16282 df-struct 17369 df-sets 17386 df-slot 17404 df-ndx 17416 df-base 17432 df-ress 17453 df-plusg 17486 df-mulr 17487 df-starv 17488 df-sca 17489 df-vsca 17490 df-ip 17491 df-tset 17492 df-ple 17493 df-ds 17495 df-unif 17496 df-hom 17497 df-cco 17498 df-euf 17499 df-rest 17643 df-topn 17644 df-0g 17662 df-gsum 17663 df-topgen 17664 df-pt 17665 df-prds 17668 df-xrs 17724 df-qtop 17729 df-imas 17730 df-xps 17732 df-mre 17806 df-mrc 17807 df-acs 17809 df-mgm 18866 df-sgrp 18958 df-mnd 18974 df-submnd 19029 df-mulg 19328 df-cntz 19582 df-cmn 20047 df-psmet 21721 df-xmet 21722 df-met 21723 df-bl 21724 df-mopn 21725 df-fbas 21726 df-fg 21727 df-cnfld 21730 df-top 23267 df-topon 23284 df-topsp 23306 df-bases 23319 df-cld 23392 df-ntr 23393 df-cls 23394 df-nei 23471 df-lp 23509 df-perf 23510 df-cn 23600 df-cnp 23601 df-haus 23688 df-cmp 23760 df-tx 23936 df-hmeo 24129 df-fil 24220 df-fm 24312 df-flim 24313 df-flf 24314 df-xms 24694 df-ms 24695 df-tms 24696 df-cncf 25254 df-limc 26241 df-dv 26242 df-log 26941 df-cxp 26942 df-asin 27250

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