areacirclem1 - Mathbox for Brendan Leahy

	Mathbox for Brendan Leahy		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > areacirclem1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem areacirclem1 38204

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem1	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem1 Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11165	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		elioore 13379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
6		rpcn 13004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8		rpne0 13010	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
9	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divcld 11967	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
11		asincl 26935	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
13		1cnd 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
14	10	sqcld 14157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	subcld 11542	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
16	15	sqrtcld 15467	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
17	10, 16	mulcld 11202	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 11201	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
19		ovexd 7431	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) ∈ V)
20		rpre 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
21	20	renegcld 11614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ^*)
23		rpxr 13003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
24		elioo2 13390	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
25	22, 23, 24	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
26		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
27	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
29	26, 27, 28	redivcld 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
30	29	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ))
31	6	mulm1d 11639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
33	32	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -𝑅 < 𝑡))
34		neg1rr 12181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
36		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
37	35, 26, 36	ltmuldivd 13084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
38	33, 37	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
39	38	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (-𝑅 < 𝑡 → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
40	39	adantrd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
41		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
42	26, 41, 36	ltdivmuld 13088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅) < 1 ↔ 𝑡 < (𝑅 · 1)))
43	6	mulridd 11199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 · 1) = 𝑅)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
45	44	breq2d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑅 · 1) ↔ 𝑡 < 𝑅))
46	42, 45	bitr2d 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 ↔ (𝑡 / 𝑅) < 1))
47	46	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 → (𝑡 / 𝑅) < 1))
48	47	adantld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) < 1))
49	30, 40, 48	3jcad 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
50	49	exp4b 434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))))
51	50	3impd 1362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
52	25, 51	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
53	52	imp 410	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
54	34	rexri 11240	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ^*
55		1xr 11241	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
56		elioo2 13390	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
57	54, 55, 56	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
58	53, 57	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ (-1(,)1))
59		ovexd 7431	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ V)
60		elioore 13379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 𝑢 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 𝑢 ∈ ℂ)
62		asincl 26935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
63		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 𝑢 ∈ ℂ)
64		1cnd 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
65		sqcl 14131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
66	64, 65	subcld 11542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
68	63, 67	mulcld 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
69	62, 68	addcld 11201	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
70	61, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
71	70	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
72		ovexd 7431	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
73		recn 11163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
74	73	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
75		1cnd 11175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
76	2	dvmptid 26016	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
77		ioossre 13411	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
79		tgioo4 24862	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
80		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
81		iooretop 24822	. . . . . . 7 ⊢ (-𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,))
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	2, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 82	dvmptres 26022	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ 1))
84	2, 5, 13, 83, 6, 8	dvmptdivc 26024	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (1 / 𝑅)))
85	61, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
86	85	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
87		ovexd 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
88		asinf 26934	. . . . . . . . . 10 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
90		ioossre 13411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
91		ax-resscn 11130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
92	90, 91	sstri 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℂ
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-1(,)1) ⊆ ℂ)
94	89, 93	feqresmpt 6936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin ↾ (-1(,)1)) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢)))
95	94	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))))
96		dvreasin 38202	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ (-1(,)1))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
97	95, 96	eqtr3di 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
98	61, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
99	98	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
100		ovexd 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) ∈ V)
101	61	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → 𝑢 ∈ ℂ)
102		1cnd 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
103		recn 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℂ)
104	103	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℂ)
105		1cnd 11175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
106	2	dvmptid 26016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1))
107	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-1(,)1) ⊆ ℝ)
108		iooretop 24822	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (-1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
110	2, 104, 105, 106, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ 1))
111	61, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
112	111	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
113		ovexd 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
114		1red 11182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 1 ∈ ℝ)
115	60	resqcld 14138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
116	114, 115	resubcld 11615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ)
117		elioo2 13390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
118	54, 55, 117	mp2an 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1))
119		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℝ)
120		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
121	119, 120	absltd 15459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ (-1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
122	103	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (abs‘𝑢) ∈ ℝ)
123	103	absge0d 15474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑢))
124		0le1 11710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ 1)
126	122, 120, 123, 125	lt2sqd 14269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2)))
127		absresq 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢)↑2) = (𝑢↑2))
128		sq1 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1↑2) = 1
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
130	127, 129	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑢↑2) < 1))
131		resqcl 14137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
132	131, 120	posdifd 11774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
133	126, 130, 132	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
134	121, 133	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
135	134	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((-1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2))))
136	135	3impib 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
137	118, 136	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
138	116, 137	elrpd 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
139	138	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
140		negex 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(2 · 𝑢) ∈ V
141	140	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ (-1(,)1)) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
142		rpcn 13004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℂ)
143	142	sqrtcld 15467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
144	143	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
145		ovexd 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) ∈ V)
146		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
147	103	sqcld 14157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
148	146, 147	subcld 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
149	148	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
150	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
151		0red 11184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
152		1cnd 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℂ)
153	2, 152	dvmptc 26017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 0))
154	147	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
155		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
156	80	cnfldtopon 24839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
157		toponmax 22983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
158	156, 157	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
159		dfss2 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
160	91, 159	mpbi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
162	65	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
163		ovexd 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
164		2nn 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
165		dvexp 26012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1))))
167		2m1e1 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
168	167	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢↑(2 − 1)) = (𝑢↑1)
169		exp1 14080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑1) = 𝑢)
170	168, 169	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑(2 − 1)) = 𝑢)
171	170	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (2 · (𝑢↑(2 − 1))) = (2 · 𝑢))
172	171	mpteq2ia 5195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
173	166, 172	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢)))
175	80, 2, 158, 161, 162, 163, 174	dvmptres3 26015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (2 · 𝑢)))
176	2, 105, 151, 153, 154, 155, 175	dvmptsub 26026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢))))
177		df-neg 11417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(2 · 𝑢) = (0 − (2 · 𝑢))
178	177	mpteq2i 5196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢)))
179	176, 178	eqtr4di 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)))
180	2, 149, 150, 179, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ -(2 · 𝑢)))
181		dvsqrt 26804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣))))
182	181	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣)))))
183		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (√‘𝑣) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
184	183	oveq2d 7412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (2 · (√‘𝑣)) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
185	184	oveq2d 7412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
186	2, 2, 139, 141, 144, 145, 180, 182, 183, 185	dvmptco 26031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))))
187		2cnd 12296	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 2 ∈ ℂ)
188	187, 61	mulneg2d 11641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · -𝑢) = -(2 · 𝑢))
189	188	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (-(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
190	61	negcld 11529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -𝑢 ∈ ℂ)
191	137	gt0ne0d 11751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ≠ 0)
192	61, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
193	192	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
194		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0)
195	193, 194	sqr00d 15471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ (-1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) = 0)
196	195	ex 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0 → (1 − (𝑢↑2)) = 0))
197	196	necon3d 2978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 − (𝑢↑2)) ≠ 0 → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0))
198	191, 197	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0)
199		2ne0 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 2 ≠ 0)
201	190, 111, 187, 198, 200	divcan5d 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
202	187, 61	mulcld 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
203	202	negcld 11529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(2 · 𝑢) ∈ ℂ)
204	187, 111	mulcld 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
205	187, 111, 200, 198	mulne0d 11839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ≠ 0)
206	203, 204, 205	divrec2d 11971	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)))
207	189, 201, 206	3eqtr3rd 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)) = (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
208	207	mpteq2ia 5195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
209	186, 208	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
210	2, 101, 102, 110, 112, 113, 209	dvmptmul 26020	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))))
211	2, 86, 87, 97, 99, 100, 210	dvmptadd 26019	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))))
212	111	mullidd 11200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
213	190, 111, 198	divcld 11967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
214	213, 61	mulcomd 11203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (𝑢 · (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
215	61, 190, 111, 198	divassd 12002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 · (-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
216	61, 61	mulneg2d 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢 · 𝑢))
217	61	sqvald 14156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) = (𝑢 · 𝑢))
218	217	negeqd 11424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(𝑢↑2) = -(𝑢 · 𝑢))
219	216, 218	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢↑2))
220	219	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
221	214, 215, 220	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
222	212, 221	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
223	61	sqcld 14157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
224	223	negcld 11529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → -(𝑢↑2) ∈ ℂ)
225	224, 111, 198	divcld 11967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
226	111, 225	addcomd 11385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
227	222, 226	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
228	227	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
229	111	2timesd 12464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
230	64, 65	negsubd 11548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = (1 − (𝑢↑2)))
231	66	sqsqrtd 15469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = (1 − (𝑢↑2)))
232	67	sqvald 14156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
233	230, 231, 232	3eqtr2d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
234	61, 233	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
235	234	oveq1d 7411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
236		1cnd 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → 1 ∈ ℂ)
237	236, 224, 111, 198	divdird 12005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
238	111, 111, 198	divcan3d 11972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
239	235, 237, 238	3eqtr3rd 2806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
240	239	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
241	111, 198	reccld 11960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
242	241, 225, 111	addassd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
243	229, 240, 242	3eqtrrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
244	228, 243	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
245	244	mpteq2ia 5195	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((-𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
246	211, 245	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ (-1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
247		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (arcsin‘𝑢) = (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)))
248		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → 𝑢 = (𝑡 / 𝑅))
249		oveq1 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢↑2) = ((𝑡 / 𝑅)↑2))
250	249	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (1 − (𝑢↑2)) = (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
251	250	fveq2d 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
252	248, 251	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
253	247, 252	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
254	251	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
255	2, 2, 58, 59, 71, 72, 84, 246, 253, 254	dvmptco 26031	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))))
256	6	sqcld 14157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
257	2, 18, 19, 255, 256	dvmptcmul 26023	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))))
258		2cnd 12296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
259	258, 16	mulcld 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
260	6, 8	reccld 11960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
261	260	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
262	259, 261	mulcomd 11203	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
263	262	oveq2d 7412	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
264	256	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
265	264, 261, 259	mulassd 11205	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
266	6	sqvald 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅))
267	266	oveq1d 7411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅))
268	256, 6, 8	divrecd 11970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)))
269	6, 6, 8	divcan3d 11972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅) = 𝑅)
270	267, 268, 269	3eqtr3d 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
271	270	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
272	271	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
273	7, 258, 16	mul12d 11392	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
274	20	resqcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
275	274	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
276	20	sqge0d 14150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
277	276	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
278		1red 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
279	3	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
280	20	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
281	279, 280, 9	redivcld 12019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
282	281	resqcld 14138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
283	278, 282	resubcld 11615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
284		0red 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
285	26, 27	absltd 15459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ (-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
286	73	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
287	286	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
288	73	absge0d 15474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
289	288	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
290		rpge0 13007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
291	290	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
292	287, 27, 289, 291	lt2sqd 14269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
293		absresq 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
294	293	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
295	256	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
296	295	mulridd 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
297	296	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) = ((𝑅↑2) · 1))
298	294, 297	breq12d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
299	6	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
300	74, 299, 28	sqdivd 14172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
301	300	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1))
302	29	resqcld 14138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
303	302, 41	posdifd 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
304		resqcl 14137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
305	304	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
306		rpgt0 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
307		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
308		0le0 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 0
309	308	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
310	307, 20, 309, 290	lt2sqd 14269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
311		sq0 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
312	311	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
313	312	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
314	310, 313	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
315	306, 314	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
316	274, 315	elrpd 13034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
317	316	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
318	305, 41, 317	ltdivmuld 13088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1 ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
319	301, 303, 318	3bitr3rd 312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
320	292, 298, 319	3bitrd 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
321	285, 320	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
322	321	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((-𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
323	322	exp4b 434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → (-𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
324	323	3impd 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
325	25, 324	sylbid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
326	325	imp 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
327	284, 283, 326	ltled 11331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
328	275, 277, 283, 327	sqrtmuld 15452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
329	264, 13, 14	subdid 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
330	264	mulridd 11199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
331	5, 7, 9	sqdivd 14172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
332	331	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
333	4	sqcld 14157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
334	333	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
335		sqne0 14136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
336	6, 335	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
337	8, 336	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
338	337	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
339	334, 264, 338	divcan2d 11969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
340	332, 339	eqtrd 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
341	330, 340	oveq12d 7414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
342	329, 341	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
343	342	fveq2d 6871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
344	20, 290	sqrtsqd 15447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
345	344	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
346	345	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
347	328, 343, 346	3eqtr3rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
348	347	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
349	272, 273, 348	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
350	263, 265, 349	3eqtr2d 2803	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
351	350	mpteq2dva 5193	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
352	257, 351	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ (-𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 ∧ w3a 1098 = wceq 1560 ∈ wcel 2142 ≠ wne 2957 Vcvv 3454 ∩ cin 3903 ⊆ wss 3904 {cpr 4584 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 ran crn 5648 ↾ cres 5649 ⟶wf 6517 ‘cfv 6521 (class class class)co 7396 ℂcc 11071 ℝcr 11072 0cc0 11073 1c1 11074 + caddc 11076 · cmul 11078 ℝ^*cxr 11215 < clt 11216 ≤ cle 11217 − cmin 11414 -cneg 11415 / cdiv 11844 ℕcn 12210 2c2 12272 ℝ⁺crp 12993 (,)cioo 13349 ↑cexp 14074 √csqrt 15260 abscabs 15261 TopOpenctopn 17450 topGenctg 17466 ℂ_fldccnfld 21421 TopOnctopon 22967 D cdv 25922 arcsincasin 26924

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1815 ax-4 1829 ax-5 1930 ax-6 1987 ax-7 2028 ax-8 2144 ax-9 2152 ax-10 2175 ax-11 2191 ax-12 2212 ax-ext 2734 ax-rep 5227 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5322 ax-pr 5390 ax-un 7718 ax-inf2 9596 ax-cnex 11129 ax-resscn 11130 ax-1cn 11131 ax-icn 11132 ax-addcl 11133 ax-addrcl 11134 ax-mulcl 11135 ax-mulrcl 11136 ax-mulcom 11137 ax-addass 11138 ax-mulass 11139 ax-distr 11140 ax-i2m1 11141 ax-1ne0 11142 ax-1rid 11143 ax-rnegex 11144 ax-rrecex 11145 ax-cnre 11146 ax-pre-lttri 11147 ax-pre-lttrn 11148 ax-pre-ltadd 11149 ax-pre-mulgt0 11150 ax-pre-sup 11151 ax-addf 11152

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1099 df-3an 1100 df-tru 1563 df-fal 1573 df-ex 1800 df-nf 1804 df-sb 2091 df-mo 2566 df-eu 2596 df-clab 2741 df-cleq 2754 df-clel 2837 df-nfc 2911 df-ne 2958 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3367 df-reu 3368 df-rab 3415 df-v 3456 df-sbc 3745 df-csb 3853 df-dif 3907 df-un 3909 df-in 3911 df-ss 3921 df-pss 3924 df-nul 4286 df-if 4481 df-pw 4557 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4906 df-iun 4951 df-iin 4952 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5542 df-eprel 5547 df-po 5555 df-so 5556 df-fr 5600 df-se 5601 df-we 5602 df-xp 5653 df-rel 5654 df-cnv 5655 df-co 5656 df-dm 5657 df-rn 5658 df-res 5659 df-ima 5660 df-pred 6288 df-ord 6349 df-on 6350 df-lim 6351 df-suc 6352 df-iota 6477 df-fun 6523 df-fn 6524 df-f 6525 df-f1 6526 df-fo 6527 df-f1o 6528 df-fv 6529 df-isom 6530 df-riota 7353 df-ov 7399 df-oprab 7400 df-mpo 7401 df-of 7660 df-om 7847 df-1st 7970 df-2nd 7971 df-supp 8141 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8342 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8678 df-map 8810 df-pm 8811 df-ixp 8880 df-en 8928 df-dom 8929 df-sdom 8930 df-fin 8931 df-fsupp 9308 df-fi 9357 df-sup 9388 df-inf 9389 df-oi 9458 df-card 9897 df-pnf 11218 df-mnf 11219 df-xr 11220 df-ltxr 11221 df-le 11222 df-sub 11416 df-neg 11417 df-div 11845 df-nn 12211 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12482 df-z 12569 df-dec 12689 df-uz 12840 df-q 12950 df-rp 12994 df-xneg 13114 df-xadd 13115 df-xmul 13116 df-ioo 13353 df-ioc 13354 df-ico 13355 df-icc 13356 df-fz 13513 df-fzo 13660 df-fl 13802 df-mod 13880 df-seq 14015 df-exp 14075 df-fac 14287 df-bc 14316 df-hash 14344 df-shft 15080 df-cj 15126 df-re 15127 df-im 15128 df-sqrt 15262 df-abs 15263 df-limsup 15498 df-clim 15515 df-rlim 15516 df-sum 15714 df-ef 16097 df-sin 16099 df-cos 16100 df-tan 16101 df-pi 16102 df-struct 17183 df-sets 17200 df-slot 17218 df-ndx 17230 df-base 17246 df-ress 17267 df-plusg 17299 df-mulr 17300 df-starv 17301 df-sca 17302 df-vsca 17303 df-ip 17304 df-tset 17305 df-ple 17306 df-ds 17308 df-unif 17309 df-hom 17310 df-cco 17311 df-rest 17451 df-topn 17452 df-0g 17470 df-gsum 17471 df-topgen 17472 df-pt 17473 df-prds 17476 df-xrs 17532 df-qtop 17537 df-imas 17538 df-xps 17540 df-mre 17614 df-mrc 17615 df-acs 17617 df-mgm 18674 df-sgrp 18753 df-mnd 18769 df-submnd 18818 df-mulg 19110 df-cntz 19357 df-cmn 19822 df-psmet 21413 df-xmet 21414 df-met 21415 df-bl 21416 df-mopn 21417 df-fbas 21418 df-fg 21419 df-cnfld 21422 df-top 22951 df-topon 22968 df-topsp 22990 df-bases 23003 df-cld 23076 df-ntr 23077 df-cls 23078 df-nei 23155 df-lp 23193 df-perf 23194 df-cn 23284 df-cnp 23285 df-haus 23372 df-cmp 23444 df-tx 23619 df-hmeo 23812 df-fil 23903 df-fm 23995 df-flim 23996 df-flf 23997 df-xms 24377 df-ms 24378 df-tms 24379 df-cncf 24937 df-limc 25925 df-dv 25926 df-log 26618 df-cxp 26619 df-asin 26927

This theorem is referenced by: areacirc 38209

W3C validator