areacirclem1 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem areacirclem1 38735

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
areacirclem1	⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Distinct variable group: 𝑡,𝑅

Proof of Theorem areacirclem1 Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11299	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		elioore 13513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℂ)
6		rpcn 13138	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℂ)
8		rpne0 13144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ≠ 0)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ≠ 0)
10	5, 7, 9	divcld 12100	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ)
11		asincl 27210	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℂ → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) ∈ ℂ)
13		1cnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℂ)
14	10	sqcld 14294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℂ)
15	13, 14	subcld 11676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℂ)
16	15	sqrtcld 15616	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) ∈ ℂ)
17	10, 16	mulcld 11336	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
18	12, 17	addcld 11335	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) ∈ ℂ)
19		ovexd 7459	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) ∈ V)
20		rpre 13136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ)
21	20	renegcld 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ)
22	21	rexrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → -𝑅 ∈ ℝ^*)
23		rpxr 13137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 𝑅 ∈ ℝ^*)
24		elioo2 13524	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑅 ∈ ℝ^* ∧ 𝑅 ∈ ℝ^*) → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
27	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
28	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ≠ 0)
29	26, 27, 28	redivcld 12152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
30	29	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ))
31	6	mulm1d 11775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1 · 𝑅) = -𝑅)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -1 · 𝑅) = -𝑅)
33	32	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -𝑅 < 𝑡))
34		neg1rr 12313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ∈ ℝ
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
36		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
37	35, 26, 36	ltmuldivd 13218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -1 · 𝑅) < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
38	33, 37	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -𝑅 < 𝑡 ↔ -1 < (𝑡 / 𝑅)))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( -𝑅 < 𝑡 → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
40	39	adantrd 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → -1 < (𝑡 / 𝑅)))
41		1red 11316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
42	26, 41, 36	ltdivmuld 13222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅) < 1 ↔ 𝑡 < (𝑅 · 1)))
43	6	mulridd 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅 · 1) = 𝑅)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅 · 1) = 𝑅)
45	44	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < (𝑅 · 1) ↔ 𝑡 < 𝑅))
46	42, 45	bitr2d 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 ↔ (𝑡 / 𝑅) < 1))
47	46	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑅 → (𝑡 / 𝑅) < 1))
48	47	adantld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → (𝑡 / 𝑅) < 1))
49	30, 40, 48	3jcad 1147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
50	49	exp4b 436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → ( -𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))))
51	50	3impd 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
52	25, 51	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
53	52	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
54	34	rexri 11374	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℝ^*
55		1xr 11375	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
56		elioo2 13524	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1)))
57	54, 55, 56	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1) ↔ ((𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ -1 < (𝑡 / 𝑅) ∧ (𝑡 / 𝑅) < 1))
58	53, 57	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ( -1(,)1))
59		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ V)
60		elioore 13513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 𝑢 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 𝑢 ∈ ℂ)
62		asincl 27210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
63		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 𝑢 ∈ ℂ)
64		1cnd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
65		sqcl 14268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
66	64, 65	subcld 11676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
67	66	sqrtcld 15616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
68	63, 67	mulcld 11336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
69	62, 68	addcld 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
70	61, 69	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
71	70	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) ∈ ℂ)
72		ovexd 7459	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
73		recn 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
74	73	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
75		1cnd 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
76	2	dvmptid 26286	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
77		ioossre 13545	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -𝑅(,)𝑅) ⊆ ℝ)
79		tgioo4 25133	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
80		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
81		iooretop 25093	. . . . . . 7 ⊢ ( -𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,))
82	81	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -𝑅(,)𝑅) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	2, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 82	dvmptres 26292	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ 1))
84	2, 5, 13, 83, 6, 8	dvmptdivc 26294	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (𝑡 / 𝑅))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (1 / 𝑅)))
85	61, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
86	85	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (arcsin‘𝑢) ∈ ℂ)
87		ovexd 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
88		asinf 27209	. . . . . . . . . 10 ⊢ arcsin:ℂ⟶ℂ
89	88	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
90		ioossre 13545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℝ
91		ax-resscn 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
92	90, 91	sstri 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -1(,)1) ⊆ ℂ
93	92	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ⊆ ℂ)
94	89, 93	feqresmpt 6959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (arcsin ↾ ( -1(,)1)) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢)))
95	94	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))))
96		dvreasin 38733	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (arcsin ↾ ( -1(,)1))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
97	95, 96	eqtr3di 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (arcsin‘𝑢))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
98	61, 68	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
99	98	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
100		ovexd 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) ∈ V)
101	61	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → 𝑢 ∈ ℂ)
102		1cnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
103		recn 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℂ)
104	103	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 𝑢 ∈ ℂ)
105		1cnd 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
106	2	dvmptid 26286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1))
107	90	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ⊆ ℝ)
108		iooretop 25093	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
109	108	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ( -1(,)1) ∈ (topGen‘ran (,)))
110	2, 104, 105, 106, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ 𝑢)) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ 1))
111	61, 67	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
112	111	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ∈ ℂ)
113		ovexd 7459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ V)
114		1red 11316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 1 ∈ ℝ)
115	60	resqcld 14275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
116	114, 115	resubcld 11751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ)
117		elioo2 13524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( -1 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
118	54, 55, 117	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1))
119		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 𝑢 ∈ ℝ)
120		1red 11316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
121	119, 120	absltd 15608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1)))
122	103	abscld 15615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (abs‘𝑢) ∈ ℝ)
123	103	absge0d 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑢))
124		0le1 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 1
125	124	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 0 ≤ 1)
126	122, 120, 123, 125	lt2sqd 14407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ ((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2)))
127		absresq 15478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢)↑2) = (𝑢↑2))
128		sq1 14345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1↑2) = 1
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1↑2) = 1)
130	127, 129	breq12d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (((abs‘𝑢)↑2) < (1↑2) ↔ (𝑢↑2) < 1))
131		resqcl 14274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℝ)
132	131, 120	posdifd 11910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
133	126, 130, 132	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((abs‘𝑢) < 1 ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
134	121, 133	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) ↔ 0 < (1 − (𝑢↑2))))
135	134	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (( -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2))))
136	135	3impib 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
137	118, 136	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 0 < (1 − (𝑢↑2)))
138	116, 137	elrpd 13168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
139	138	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℝ⁺)
140		negex 11562	. . . . . . . . . 10 ⊢ -(2 · 𝑢) ∈ V
141	140	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ( -1(,)1)) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
142		rpcn 13138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → 𝑣 ∈ ℂ)
143	142	sqrtcld 15616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ⁺ → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
144	143	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (√‘𝑣) ∈ ℂ)
145		ovexd 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑣 ∈ ℝ⁺) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) ∈ V)
146		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
147	103	sqcld 14294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
148	146, 147	subcld 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
149	148	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
150	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → -(2 · 𝑢) ∈ V)
151		0red 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
152		1cnd 11309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 1 ∈ ℂ)
153	2, 152	dvmptc 26287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ 0))
154	147	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
155		ovexd 7459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
156	80	cnfldtopon 25110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
157		toponmax 23253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
158	156, 157	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂ_fld))
159		dfss2 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
160	91, 159	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
162	65	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
163		ovexd 7459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (2 · 𝑢) ∈ V)
164		2nn 12423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
165		dvexp 26282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))))
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1))))
167		2m1e1 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 − 1) = 1
168	167	oveq2i 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢↑(2 − 1)) = (𝑢↑1)
169		exp1 14217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑1) = 𝑢)
170	168, 169	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (𝑢↑(2 − 1)) = 𝑢)
171	170	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (2 · (𝑢↑(2 − 1))) = (2 · 𝑢))
172	171	mpteq2ia 5199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑢↑(2 − 1)))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
173	166, 172	eqtri 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢))
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℂ D (𝑢 ∈ ℂ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℂ ↦ (2 · 𝑢)))
175	80, 2, 158, 161, 162, 163, 174	dvmptres3 26285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (𝑢↑2))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (2 · 𝑢)))
176	2, 105, 151, 153, 154, 155, 175	dvmptsub 26296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢))))
177		df-neg 11551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -(2 · 𝑢) = (0 − (2 · 𝑢))
178	177	mpteq2i 5200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ (0 − (2 · 𝑢)))
179	176, 178	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ℝ ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ℝ ↦ -(2 · 𝑢)))
180	2, 149, 150, 179, 107, 79, 80, 109	dvmptres 26292	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ -(2 · 𝑢)))
181		dvsqrt 27079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣))))
182	181	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (√‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ⁺ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑣)))))
183		fveq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (√‘𝑣) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
184	183	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (2 · (√‘𝑣)) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
185	184	oveq2d 7440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (1 − (𝑢↑2)) → (1 / (2 · (√‘𝑣))) = (1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
186	2, 2, 139, 141, 144, 145, 180, 182, 183, 185	dvmptco 26301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))))
187		2cnd 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 2 ∈ ℂ)
188	187, 61	mulneg2d 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · -𝑢) = -(2 · 𝑢))
189	188	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ( -(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
190	61	negcld 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -𝑢 ∈ ℂ)
191	137	gt0ne0d 11887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ≠ 0)
192	61, 66	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
193	192	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) ∈ ℂ)
194		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0)
195	193, 194	sqr00d 15620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ( -1(,)1) ∧ (√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0) → (1 − (𝑢↑2)) = 0)
196	195	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) = 0 → (1 − (𝑢↑2)) = 0))
197	196	necon3d 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 − (𝑢↑2)) ≠ 0 → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0))
198	191, 197	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) ≠ 0)
199		2ne0 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
200	199	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 2 ≠ 0)
201	190, 111, 187, 198, 200	divcan5d 12126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((2 · -𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
202	187, 61	mulcld 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ)
203	202	negcld 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(2 · 𝑢) ∈ ℂ)
204	187, 111	mulcld 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
205	187, 111, 200, 198	mulne0d 11975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ≠ 0)
206	203, 204, 205	divrec2d 12104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -(2 · 𝑢) / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)))
207	189, 201, 206	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢)) = ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
208	207	mpteq2ia 5199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) · -(2 · 𝑢))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
209	186, 208	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
210	2, 101, 102, 110, 112, 113, 209	dvmptmul 26290	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))))
211	2, 86, 87, 97, 99, 100, 210	dvmptadd 26289	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))))
212	111	mullidd 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
213	190, 111, 198	divcld 12100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
214	213, 61	mulcomd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = (𝑢 · ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
215	61, 190, 111, 198	divassd 12135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (𝑢 · ( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
216	61, 61	mulneg2d 11777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢 · 𝑢))
217	61	sqvald 14293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) = (𝑢 · 𝑢))
218	217	negeqd 11558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(𝑢↑2) = -(𝑢 · 𝑢))
219	216, 218	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢 · -𝑢) = -(𝑢↑2))
220	219	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((𝑢 · -𝑢) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
221	214, 215, 220	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢) = ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
222	212, 221	oveq12d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
223	61	sqcld 14294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (𝑢↑2) ∈ ℂ)
224	223	negcld 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → -(𝑢↑2) ∈ ℂ)
225	224, 111, 198	divcld 12100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
226	111, 225	addcomd 11519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
227	222, 226	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)) = (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
228	227	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
229	111	2timesd 12596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
230	64, 65	negsubd 11682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = (1 − (𝑢↑2)))
231	66	sqsqrtd 15618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = (1 − (𝑢↑2)))
232	67	sqvald 14293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑢↑2)))↑2) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
233	230, 231, 232	3eqtr2d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
234	61, 233	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 + -(𝑢↑2)) = ((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
235	234	oveq1d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
236		1cnd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → 1 ∈ ℂ)
237	236, 224, 111, 198	divdird 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 + -(𝑢↑2)) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
238	111, 111, 198	divcan3d 12105	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (((√‘(1 − (𝑢↑2))) · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (√‘(1 − (𝑢↑2))))
239	235, 237, 238	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
240	239	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((√‘(1 − (𝑢↑2))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
241	111, 198	reccld 12093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) ∈ ℂ)
242	241, 225, 111	addassd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → (((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2))))) + (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
243	229, 240, 242	3eqtrrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -(𝑢↑2) / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
244	228, 243	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) → ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢))) = (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
245	244	mpteq2ia 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((1 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + ((1 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) + (( -𝑢 / (√‘(1 − (𝑢↑2)))) · 𝑢)))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))))
246	211, 245	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))) = (𝑢 ∈ ( -1(,)1) ↦ (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))))
247		fveq2 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (arcsin‘𝑢) = (arcsin‘(𝑡 / 𝑅)))
248		id 23	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → 𝑢 = (𝑡 / 𝑅))
249		oveq1 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢↑2) = ((𝑡 / 𝑅)↑2))
250	249	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (1 − (𝑢↑2)) = (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
251	250	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (√‘(1 − (𝑢↑2))) = (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
252	248, 251	oveq12d 7442	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
253	247, 252	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → ((arcsin‘𝑢) + (𝑢 · (√‘(1 − (𝑢↑2))))) = ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
254	251	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑡 / 𝑅) → (2 · (√‘(1 − (𝑢↑2)))) = (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
255	2, 2, 58, 59, 71, 72, 84, 246, 253, 254	dvmptco 26301	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))))
256	6	sqcld 14294	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
257	2, 18, 19, 255, 256	dvmptcmul 26293	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))))
258		2cnd 12428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 2 ∈ ℂ)
259	258, 16	mulcld 11336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) ∈ ℂ)
260	6, 8	reccld 12093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
261	260	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 / 𝑅) ∈ ℂ)
262	259, 261	mulcomd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)) = ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
263	262	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
264	256	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
265	264, 261, 259	mulassd 11339	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = ((𝑅↑2) · ((1 / 𝑅) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))
266	6	sqvald 14293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) = (𝑅 · 𝑅))
267	266	oveq1d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅))
268	256, 6, 8	divrecd 12103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) / 𝑅) = ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)))
269	6, 6, 8	divcan3d 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅 · 𝑅) / 𝑅) = 𝑅)
270	267, 268, 269	3eqtr3d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
271	270	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) = 𝑅)
272	271	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
273	7, 258, 16	mul12d 11526	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
274	20	resqcld 14275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
275	274	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
276	20	sqge0d 14287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (𝑅↑2))
277	276	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (𝑅↑2))
278		1red 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 1 ∈ ℝ)
279	3	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑡 ∈ ℝ)
280	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
281	279, 280, 9	redivcld 12152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡 / 𝑅) ∈ ℝ)
282	281	resqcld 14275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
283	278, 282	resubcld 11751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)) ∈ ℝ)
284		0red 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ∈ ℝ)
285	26, 27	absltd 15608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅)))
286	73	abscld 15615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
287	286	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘𝑡) ∈ ℝ)
288	73	absge0d 15623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 0 ≤ (abs‘𝑡))
289	288	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘𝑡))
290		rpge0 13141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑅)
291	290	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝑅)
292	287, 27, 289, 291	lt2sqd 14407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ ((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2)))
293		absresq 15478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
294	293	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡)↑2) = (𝑡↑2))
295	256	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℂ)
296	295	mulridd 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
297	296	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) = ((𝑅↑2) · 1))
298	294, 297	breq12d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((abs‘𝑡)↑2) < (𝑅↑2) ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
299	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
300	74, 299, 28	sqdivd 14309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
301	300	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1))
302	29	resqcld 14275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) ∈ ℝ)
303	302, 41	posdifd 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / 𝑅)↑2) < 1 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
304		resqcl 14274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
305	304	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑2) ∈ ℝ)
306		rpgt0 13140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < 𝑅)
307		0red 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ∈ ℝ)
308		0le0 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ≤ 0
309	308	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 0)
310	307, 20, 309, 290	lt2sqd 14407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ (0↑2) < (𝑅↑2)))
311		sq0 14342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0↑2) = 0
312	311	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0↑2) = 0)
313	312	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((0↑2) < (𝑅↑2) ↔ 0 < (𝑅↑2)))
314	310, 313	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (0 < 𝑅 ↔ 0 < (𝑅↑2)))
315	306, 314	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑅↑2))
316	274, 315	elrpd 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
317	316	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑅↑2) ∈ ℝ⁺)
318	305, 41, 317	ltdivmuld 13222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡↑2) / (𝑅↑2)) < 1 ↔ (𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1)))
319	301, 303, 318	3bitr3rd 313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡↑2) < ((𝑅↑2) · 1) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
320	292, 298, 319	3bitrd 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑡) < 𝑅 ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
321	285, 320	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) ↔ 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
322	321	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (( -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
323	322	exp4b 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ℝ → ( -𝑅 < 𝑡 → (𝑡 < 𝑅 → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))))
324	323	3impd 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑡 ∈ ℝ ∧ -𝑅 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
325	25, 324	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
326	325	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 < (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
327	284, 283, 326	ltled 11465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → 0 ≤ (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))
328	275, 277, 283, 327	sqrtmuld 15601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
329	264, 13, 14	subdid 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))))
330	264	mulridd 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · 1) = (𝑅↑2))
331	5, 7, 9	sqdivd 14309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑡 / 𝑅)↑2) = ((𝑡↑2) / (𝑅↑2)))
332	331	oveq2d 7440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))))
333	4	sqcld 14294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
334	333	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑡↑2) ∈ ℂ)
335		sqne0 14273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ ℂ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
336	6, 335	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → ((𝑅↑2) ≠ 0 ↔ 𝑅 ≠ 0))
337	8, 336	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑅↑2) ≠ 0)
338	337	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅↑2) ≠ 0)
339	334, 264, 338	divcan2d 12102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡↑2) / (𝑅↑2))) = (𝑡↑2))
340	332, 339	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2)) = (𝑡↑2))
341	330, 340	oveq12d 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · 1) − ((𝑅↑2) · ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
342	329, 341	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))) = ((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))
343	342	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘((𝑅↑2) · (1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
344	20, 290	sqrtsqd 15596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
345	344	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (√‘(𝑅↑2)) = 𝑅)
346	345	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((√‘(𝑅↑2)) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))
347	328, 343, 346	3eqtr3rd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) = (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))
348	347	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (2 · (𝑅 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
349	272, 273, 348	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → (((𝑅↑2) · (1 / 𝑅)) · (2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2))))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
350	263, 265, 349	3eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅)) → ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅))) = (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2)))))
351	350	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((2 · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))) · (1 / 𝑅)))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))
352	257, 351	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ⁺ → (ℝ D (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ ((𝑅↑2) · ((arcsin‘(𝑡 / 𝑅)) + ((𝑡 / 𝑅) · (√‘(1 − ((𝑡 / 𝑅)↑2)))))))) = (𝑡 ∈ ( -𝑅(,)𝑅) ↦ (2 · (√‘((𝑅↑2) − (𝑡↑2))))))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 Vcvv 3450 ⊆ wss 3896 ∩ cin 4088 {cpr 4586 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 ran crn 5652 ↾ cres 5653 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7424 ℂcc 11205 ℝcr 11206 0cc0 11207 1c1 11208 + caddc 11210 · cmul 11212 ℝ^*cxr 11349 < clt 11350 ≤ cle 11351 − cmin 11548 -cneg 11549 / cdiv 11980 ℕcn 12342 2c2 12404 ℝ⁺crp 13127 (,)cioo 13483 ↑cexp 14211 √csqrt 15409 abscabs 15410 TopOpenctopn 17601 topGenctg 17617 ℂ_fldccnfld 21687 TopOnctopon 23237 D cdv 26192 arcsincasin 27199

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7755 ax-inf2 9649 ax-cnex 11263 ax-resscn 11264 ax-1cn 11265 ax-icn 11266 ax-addcl 11267 ax-addrcl 11268 ax-mulcl 11269 ax-mulrcl 11270 ax-mulcom 11271 ax-addass 11272 ax-mulass 11273 ax-distr 11274 ax-i2m1 11275 ax-1ne0 11276 ax-1rid 11277 ax-rnegex 11278 ax-rrecex 11279 ax-cnre 11280 ax-pre-lttri 11281 ax-pre-lttrn 11282 ax-pre-ltadd 11283 ax-pre-mulgt0 11284 ax-pre-sup 11285 ax-addf 11286

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3848 df-ss 3897 df-pss 4013 df-dif 4046 df-in 4090 df-un 4150 df-nul 4278 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-iin 4953 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6307 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6497 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7381 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-of 7697 df-om 7882 df-1st 8005 df-2nd 8006 df-supp 8184 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8483 df-2o 8484 df-er 8724 df-map 8856 df-pm 8857 df-ixp 8933 df-en 8981 df-dom 8982 df-sdom 8983 df-fin 8984 df-fsupp 9361 df-fi 9410 df-sup 9441 df-inf 9442 df-oi 9511 df-card 10027 df-pnf 11352 df-mnf 11353 df-xr 11354 df-ltxr 11355 df-le 11356 df-sub 11550 df-neg 11551 df-div 11981 df-nn 12343 df-2 12412 df-3 12413 df-4 12414 df-5 12415 df-6 12416 df-7 12417 df-8 12418 df-9 12419 df-n0 12614 df-z 12701 df-dec 12822 df-uz 12973 df-q 13083 df-rp 13128 df-xneg 13248 df-xadd 13249 df-xmul 13250 df-ioo 13487 df-ioc 13488 df-ico 13489 df-icc 13490 df-fz 13647 df-fzo 13796 df-fl 13939 df-mod 14017 df-seq 14152 df-exp 14212 df-fac 14425 df-bc 14454 df-hash 14482 df-shft 15229 df-cj 15275 df-re 15276 df-im 15277 df-sqrt 15411 df-abs 15412 df-limsup 15647 df-clim 15664 df-rlim 15665 df-sum 15863 df-ef 16242 df-sin 16244 df-cos 16245 df-tan 16246 df-pi 16247 df-struct 17334 df-sets 17351 df-slot 17369 df-ndx 17381 df-base 17397 df-ress 17418 df-plusg 17450 df-mulr 17451 df-starv 17452 df-sca 17453 df-vsca 17454 df-ip 17455 df-tset 17456 df-ple 17457 df-ds 17459 df-unif 17460 df-hom 17461 df-cco 17462 df-rest 17602 df-topn 17603 df-0g 17621 df-gsum 17622 df-topgen 17623 df-pt 17624 df-prds 17627 df-xrs 17683 df-qtop 17688 df-imas 17689 df-xps 17691 df-mre 17765 df-mrc 17766 df-acs 17768 df-mgm 18825 df-sgrp 18917 df-mnd 18933 df-submnd 18988 df-mulg 19287 df-cntz 19540 df-cmn 20005 df-psmet 21679 df-xmet 21680 df-met 21681 df-bl 21682 df-mopn 21683 df-fbas 21684 df-fg 21685 df-cnfld 21688 df-top 23221 df-topon 23238 df-topsp 23260 df-bases 23273 df-cld 23346 df-ntr 23347 df-cls 23348 df-nei 23425 df-lp 23463 df-perf 23464 df-cn 23554 df-cnp 23555 df-haus 23642 df-cmp 23714 df-tx 23890 df-hmeo 24083 df-fil 24174 df-fm 24266 df-flim 24267 df-flf 24268 df-xms 24648 df-ms 24649 df-tms 24650 df-cncf 25208 df-limc 26195 df-dv 26196 df-log 26893 df-cxp 26894 df-asin 27202

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