Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 45704
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
sge0resrnlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1910 . . . 4 β„²π‘¦πœ‘
2 nfv 1910 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
3 fveq2 6891 . . . 4 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
6 fvres 6910 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
76adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
1110frnd 6724 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
159, 14ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 45683 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
178, 11feqresmpt 6962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 fcompt 7136 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
208, 10, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2120reseq1d 5978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋))
224elpwid 4607 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
2322resmptd 6038 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2421, 23eqtrd 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2524fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
28 fco 6741 . . . 4 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 45693 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5164 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  +∞cpnf 11261   ≀ cle 11265  [,]cicc 13345  Ξ£^csumge0 45663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-sumge0 45664
This theorem is referenced by:  sge0resrn  45705
  Copyright terms: Public domain W3C validator