Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 46423
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrnlem.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrnlem.x (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1913 . . . 4 𝑦𝜑
2 nfv 1913 . . . 4 𝑥𝜑
3 fveq2 6905 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
6 fvres 6924 . . . . 5 (𝑥𝑋 → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
76adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
1110frnd 6743 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺𝐵)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦𝐵)
159, 14ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 46402 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
178, 11feqresmpt 6977 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦)))
1817fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))))
19 fcompt 7152 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
208, 10, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2120reseq1d 5995 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋))
224elpwid 4608 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
2322resmptd 6057 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2421, 23eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2524fveq2d 6909 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2786 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
28 fco 6759 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 46412 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5164 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  𝒫 cpw 4599   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  ccom 5688  wf 6556  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  cle 11297  [,]cicc 13391  Σ^csumge0 46382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-sumge0 46383
This theorem is referenced by:  sge0resrn  46424
  Copyright terms: Public domain W3C validator