Theorem sge0resrnlem 46399

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrnlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrnlem	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
4		sge0resrnlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5		sge0resrnlem.f1o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)
6		fvres 6900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
8		sge0resrnlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10		sge0resrnlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
11	10	frnd 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
14	12, 13	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	9, 14	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15	sge0f1o 46378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
17	8, 11	feqresmpt 6953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	17	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))))
19		fcompt 7128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
20	8, 10, 19	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
21	20	reseq1d 5970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋))
22	4	elpwid 4589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝐴)
23	22	resmptd 6032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
24	21, 23	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
25	24	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
26	16, 18, 25	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)))
27		sge0resrnlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28		fco 6735	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
29	8, 10, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
30	27, 29	sge0less 46388	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
31	26, 30	eqbrtrd 5146	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  +∞cpnf 11271   ≤ cle 11275  [,]cicc 13370  Σ^{^}csumge0 46358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-sumge0 46359

This theorem is referenced by:  sge0resrn  46400