Theorem sge0resrnlem 47412

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrnlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrnlem	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
4		sge0resrnlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5		sge0resrnlem.f1o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)
6		fvres 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
8		sge0resrnlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10		sge0resrnlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
11	10	frnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
14	12, 13	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	9, 14	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15	sge0f1o 47391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
17	8, 11	feqresmpt 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	17	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))))
19		fcompt 7134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
20	8, 10, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
21	20	reseq1d 5969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋))
22	4	elpwid 4566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝐴)
23	22	resmptd 6032	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
24	21, 23	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
25	24	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
26	16, 18, 25	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)))
27		sge0resrnlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28		fco 6734	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
29	8, 10, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
30	27, 29	sge0less 47401	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
31	26, 30	eqbrtrd 5127	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  +∞cpnf 11340   ≤ cle 11344  [,]cicc 13479  Σ^{^}csumge0 47371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-sumge0 47372

This theorem is used by:  sge0resrn  47413