Theorem sge0resrnlem 46831

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrnlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrnlem	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
4		sge0resrnlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5		sge0resrnlem.f1o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)
6		fvres 6859	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
7	6	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
8		sge0resrnlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10		sge0resrnlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
11	10	frnd 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
14	12, 13	sseldd 3922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	9, 14	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15	sge0f1o 46810	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
17	8, 11	feqresmpt 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	17	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))))
19		fcompt 7086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
20	8, 10, 19	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
21	20	reseq1d 5943	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋))
22	4	elpwid 4550	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝐴)
23	22	resmptd 6005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
24	21, 23	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
25	24	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
26	16, 18, 25	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)))
27		sge0resrnlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28		fco 6692	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
29	8, 10, 28	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
30	27, 29	sge0less 46820	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
31	26, 30	eqbrtrd 5107	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  +∞cpnf 11176   ≤ cle 11180  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  sge0resrn  46832