Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 42676
 Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrnlem.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrnlem.x (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . 4 𝑦𝜑
2 nfv 1909 . . . 4 𝑥𝜑
3 fveq2 6663 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
6 fvres 6682 . . . . 5 (𝑥𝑋 → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
76adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
98adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
1110frnd 6514 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
1211adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺𝐵)
13 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3966 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦𝐵)
159, 14ffvelrnd 6845 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 42655 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
178, 11feqresmpt 6727 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦)))
1817fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))))
19 fcompt 6888 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
208, 10, 19syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2120reseq1d 5845 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋))
224elpwid 4551 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
2322resmptd 5901 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2421, 23eqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2524fveq2d 6667 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2864 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
28 fco 6524 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 42665 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5079 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3934  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549   ↾ cres 5550   ∘ ccom 5552  ⟶wf 6344  –1-1-onto→wf1o 6347  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  +∞cpnf 10664   ≤ cle 10668  [,]cicc 12733  Σ^csumge0 42635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 42636 This theorem is referenced by:  sge0resrn  42677
 Copyright terms: Public domain W3C validator