Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 45850
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
sge0resrnlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘¦πœ‘
2 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
3 fveq2 6890 . . . 4 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
6 fvres 6909 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
76adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
1110frnd 6725 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
1211adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
13 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
159, 14ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 45829 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
178, 11feqresmpt 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 fcompt 7136 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
208, 10, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2120reseq1d 5979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋))
224elpwid 4608 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
2322resmptd 6040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2421, 23eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2524fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
28 fco 6741 . . . 4 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 45839 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5166 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4599   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675   ∘ ccom 5677  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133  +∞cpnf 11270   ≀ cle 11274  [,]cicc 13354  Ξ£^csumge0 45809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-sumge0 45810
This theorem is referenced by:  sge0resrn  45851
  Copyright terms: Public domain W3C validator