Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 45109
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
sge0resrnlem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 β„²π‘¦πœ‘
2 nfv 1917 . . . 4 β„²π‘₯πœ‘
3 fveq2 6891 . . . 4 (𝑦 = (πΊβ€˜π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 β†Ύ 𝑋):𝑋–1-1-ontoβ†’ran 𝐺)
6 fvres 6910 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
76adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐺 β†Ύ 𝑋)β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
98adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐴⟢𝐡)
1110frnd 6725 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ ran 𝐺 βŠ† 𝐡)
13 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
159, 14ffvelcdmd 7087 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 45088 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
178, 11feqresmpt 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 fcompt 7130 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
208, 10, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2120reseq1d 5980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋))
224elpwid 4611 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
2322resmptd 6040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2421, 23eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))))
2524fveq2d 6895 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) = (Ξ£^β€˜(π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) = (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
28 fco 6741 . . . 4 ((𝐹:𝐡⟢(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟢(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 45098 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜((𝐹 ∘ 𝐺) β†Ύ 𝑋)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5170 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝐹 β†Ύ ran 𝐺)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  +∞cpnf 11244   ≀ cle 11248  [,]cicc 13326  Ξ£^csumge0 45068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-sumge0 45069
This theorem is referenced by:  sge0resrn  45110
  Copyright terms: Public domain W3C validator