Theorem sge0resrnlem 47552

Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0resrnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0resrnlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
sge0resrnlem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
sge0resrnlem	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1948	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
2		nfv 1948	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fveq2 6893	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))
4		sge0resrnlem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5		sge0resrnlem.f1o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→ran 𝐺)
6		fvres 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
7	6	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐺 ↾ 𝑋)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
8		sge0resrnlem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10		sge0resrnlem.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝐵)
11	10	frnd 6726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺 ⊆ 𝐵)
13		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
14	12, 13	sseldd 3913	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	9, 14	ffvelcdmd 7093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,]+∞))
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15	sge0f1o 47531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
17	8, 11	feqresmpt 6962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦)))
18	17	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹‘𝑦))))
19		fcompt 7142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
20	8, 10, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
21	20	reseq1d 5973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋))
22	4	elpwid 4568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝐴)
23	22	resmptd 6037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
24	21, 23	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥))))
25	24	fveq2d 6897	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺‘𝑥)))))
26	16, 18, 25	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)))
27		sge0resrnlem.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
28		fco 6742	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
29	8, 10, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
30	27, 29	sge0less 47541	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘((𝐹 ∘ 𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))
31	26, 30	eqbrtrd 5129	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹 ∘ 𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6542  –1-1-onto→wf1o 6545  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  0cc0 11210  +∞cpnf 11350   ≤ cle 11354  [,]cicc 13489  Σ^{^}csumge0 47511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-rp 13131  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-sumge0 47512

This theorem is used by:  sge0resrn  47553