Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0resrnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0resrnlem 44892
Description: The sum of nonnegative extended reals restricted to the range of a function is less than or equal to the sum of the composition of the two functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0resrnlem.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0resrnlem.f (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
sge0resrnlem.g (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
sge0resrnlem.x (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
sge0resrnlem.f1o (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
Assertion
Ref Expression
sge0resrnlem (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem sge0resrnlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . 4 𝑦𝜑
2 nfv 1917 . . . 4 𝑥𝜑
3 fveq2 6878 . . . 4 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺𝑥)))
4 sge0resrnlem.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
5 sge0resrnlem.f1o . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋):𝑋1-1-onto→ran 𝐺)
6 fvres 6897 . . . . 5 (𝑥𝑋 → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
76adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐺𝑋)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
8 sge0resrnlem.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞))
10 sge0resrnlem.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝐴𝐵)
1110frnd 6712 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
1211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → ran 𝐺𝐵)
13 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦 ∈ ran 𝐺)
1412, 13sseldd 3979 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → 𝑦𝐵)
159, 14ffvelcdmd 7072 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐺) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,]+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 15sge0f1o 44871 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
178, 11feqresmpt 6947 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ran 𝐺) = (𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦)))
1817fveq2d 6882 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘(𝑦 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝐹𝑦))))
19 fcompt 7115 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
208, 10, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2120reseq1d 5972 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋))
224elpwid 4605 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
2322resmptd 6030 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2421, 23eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ↾ 𝑋) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥))))
2524fveq2d 6882 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) = (Σ^‘(𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘(𝐺𝑥)))))
2616, 18, 253eqtr4d 2781 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) = (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)))
27 sge0resrnlem.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
28 fco 6728 . . . 4 ((𝐹:𝐵⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐺:𝐴𝐵) → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
298, 10, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺):𝐴⟶(0[,]+∞))
3027, 29sge0less 44881 . 2 (𝜑 → (Σ^‘((𝐹𝐺) ↾ 𝑋)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
3126, 30eqbrtrd 5163 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝐹 ↾ ran 𝐺)) ≤ (Σ^‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  𝒫 cpw 4596   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  cres 5671  ccom 5673  wf 6528  1-1-ontowf1o 6531  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  +∞cpnf 11227  cle 11231  [,]cicc 13309  Σ^csumge0 44851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-oi 9487  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-sum 15615  df-sumge0 44852
This theorem is referenced by:  sge0resrn  44893
  Copyright terms: Public domain W3C validator