Theorem gsumzresunsn 33162

Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzresunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzresunsn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
gsumzresunsn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
gsumzresunsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
gsumzresunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
gsumzresunsn.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzresunsn.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))

Assertion

Ref	Expression
gsumzresunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzresunsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzresunsn.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumzresunsn.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))
5		gsumzresunsn.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzresunsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		gsumzresunsn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8		df-ima 5647	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9		gsumzresunsn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
10		gsumzresunsn.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		gsumzresunsn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
12	11	snssd 4767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
13	10, 12	unssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
14	9, 13	feqresmpt 6913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
15	14	rneqd 5897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16	8, 15	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
18	7, 16, 17	3sstr3d 3990	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
19	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
20	10	sselda 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	19, 20	ffvelcdmd 7041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22		gsumzresunsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23		gsumzresunsn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
25	24	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
26		gsumzresunsn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
27	25, 26	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝑌)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27	gsumzunsnd 19902	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
29	14	oveq2d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
30	9, 10	feqresmpt 6913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	30	oveq2d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))))
32	31	oveq1d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
33	28, 29, 32	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ran crn 5635   ↾ cres 5636   “ cima 5637  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191   Σ_g cgsu 17374  Mndcmnd 18673  Cntzccntz 19261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728

This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33633