Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 33059
Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p + = (+g𝐺)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y 𝑌 = (𝐹𝑋)
gsumzresunsn.f (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
gsumzresunsn.1 (𝜑𝐴𝐶)
gsumzresunsn.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
gsumzresunsn.3 (𝜑𝑋𝐶)
gsumzresunsn.4 (𝜑𝑌𝐵)
gsumzresunsn.5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8 df-ima 5698 . . . . 5 (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐶)
1211snssd 4809 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
1310, 12unssd 4192 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
149, 13feqresmpt 6978 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1514rneqd 5949 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
168, 15eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1716fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
187, 16, 173sstr3d 4038 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
199adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐵)
2010sselda 3983 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
2119, 20ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
2524fveq2d 6910 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 𝑌 = (𝐹𝑋)
2725, 26eqtr4di 2795 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = 𝑌)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19974 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
2914oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
309, 10feqresmpt 6978 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
3130oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))))
3231oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
3328, 29, 323eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cun 3949  wss 3951  {csn 4626  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Cntzccntz 19333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33562
  Copyright terms: Public domain W3C validator