Theorem gsumzresunsn 33036

Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzresunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzresunsn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
gsumzresunsn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
gsumzresunsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
gsumzresunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
gsumzresunsn.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzresunsn.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))

Assertion

Ref	Expression
gsumzresunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzresunsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzresunsn.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumzresunsn.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))
5		gsumzresunsn.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzresunsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		gsumzresunsn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8		df-ima 5627	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9		gsumzresunsn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
10		gsumzresunsn.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		gsumzresunsn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
12	11	snssd 4758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
13	10, 12	unssd 4139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
14	9, 13	feqresmpt 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
15	14	rneqd 5877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16	8, 15	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
18	7, 16, 17	3sstr3d 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
19	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
20	10	sselda 3929	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	19, 20	ffvelcdmd 7018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22		gsumzresunsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23		gsumzresunsn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
25	24	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
26		gsumzresunsn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
27	25, 26	eqtr4di 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝑌)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27	gsumzunsnd 19868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
29	14	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
30	9, 10	feqresmpt 6891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	30	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))))
32	31	oveq1d 7361	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
33	28, 29, 32	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615   ↾ cres 5616   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  Cntzccntz 19227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694

This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33499