Theorem gsumzresunsn 33623

Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzresunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzresunsn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
gsumzresunsn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
gsumzresunsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
gsumzresunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
gsumzresunsn.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzresunsn.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))

Assertion

Ref	Expression
gsumzresunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzresunsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzresunsn.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumzresunsn.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))
5		gsumzresunsn.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzresunsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		gsumzresunsn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8		df-ima 5663	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9		gsumzresunsn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
10		gsumzresunsn.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		gsumzresunsn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
12	11	snssd 4746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
13	10, 12	unssd 4190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
14	9, 13	feqresmpt 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
15	14	rneqd 5919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16	8, 15	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
18	7, 16, 17	3sstr3d 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
19	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
20	10	sselda 3908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	19, 20	ffvelcdmd 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22		gsumzresunsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23		gsumzresunsn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
25	24	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
26		gsumzresunsn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
27	25, 26	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝑌)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27	gsumzunsnd 20170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
29	14	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
30	9, 10	feqresmpt 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	30	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))))
32	31	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
33	28, 29, 32	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428   Σ_g cgsu 17611  Mndcmnd 18923  Cntzccntz 19529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996

This theorem is used by:  rprmdvdsprod  34066