Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 30695
 Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p + = (+g𝐺)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y 𝑌 = (𝐹𝑋)
gsumzresunsn.f (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
gsumzresunsn.1 (𝜑𝐴𝐶)
gsumzresunsn.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
gsumzresunsn.3 (𝜑𝑋𝐶)
gsumzresunsn.4 (𝜑𝑌𝐵)
gsumzresunsn.5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2820 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8 df-ima 5540 . . . . 5 (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐶)
1211snssd 4714 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
1310, 12unssd 4137 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
149, 13feqresmpt 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1514rneqd 5780 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
168, 15syl5eq 2867 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1716fveq2d 6646 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
187, 16, 173sstr3d 3988 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
199adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐵)
2010sselda 3942 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
2119, 20ffvelrnd 6824 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
24 simpr 487 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
2524fveq2d 6646 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 𝑌 = (𝐹𝑋)
2725, 26syl6eqr 2873 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = 𝑌)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19051 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
2914oveq2d 7145 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
309, 10feqresmpt 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
3130oveq2d 7145 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))))
3231oveq1d 7144 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
3328, 29, 323eqtr4d 2865 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3907   ⊆ wss 3909  {csn 4539   ↦ cmpt 5118  ran crn 5528   ↾ cres 5529   “ cima 5530  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129  Fincfn 8483  Basecbs 16458  +gcplusg 16540   Σg cgsu 16689  Mndcmnd 17886  Cntzccntz 18420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-oi 8948  df-card 9342  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-fzo 13014  df-seq 13350  df-hash 13672  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-0g 16690  df-gsum 16691  df-mre 16832  df-mrc 16833  df-acs 16835  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-submnd 17932  df-mulg 18200  df-cntz 18422  df-cmn 18883 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator