Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 31945
Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.y π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
gsumzresunsn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
gsumzresunsn.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
gsumzresunsn.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
gsumzresunsn.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumzresunsn.5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 eqid 2733 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
8 df-ima 5647 . . . . 5 (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
1211snssd 4770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐢)
1310, 12unssd 4147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝐢)
149, 13feqresmpt 6912 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1514rneqd 5894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
168, 15eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1716fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
187, 16, 173sstr3d 3991 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
199adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
2010sselda 3945 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2119, 20ffvelcdmd 7037 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
2524fveq2d 6847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
2725, 26eqtr4di 2791 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘Œ)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19738 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
2914oveq2d 7374 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
309, 10feqresmpt 6912 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3130oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
3231oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
3328, 29, 323eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Basecbs 17088  +gcplusg 17138   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Cntzccntz 19100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator