Theorem gsumzresunsn 33690

Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzresunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzresunsn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
gsumzresunsn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
gsumzresunsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
gsumzresunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
gsumzresunsn.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzresunsn.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))

Assertion

Ref	Expression
gsumzresunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzresunsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzresunsn.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumzresunsn.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))
5		gsumzresunsn.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzresunsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		gsumzresunsn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8		df-ima 5668	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9		gsumzresunsn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
10		gsumzresunsn.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		gsumzresunsn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
12	11	snssd 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
13	10, 12	unssd 4193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
14	9, 13	feqresmpt 6974	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
15	14	rneqd 5926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16	8, 15	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
18	7, 16, 17	3sstr3d 3967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
19	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
20	10	sselda 3913	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	19, 20	ffvelcdmd 7106	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22		gsumzresunsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23		gsumzresunsn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
25	24	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
26		gsumzresunsn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
27	25, 26	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝑌)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27	gsumzunsnd 20197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
29	14	oveq2d 7456	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
30	9, 10	feqresmpt 6974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	30	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))))
32	31	oveq1d 7455	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
33	28, 29, 32	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ran crn 5656   ↾ cres 5657   “ cima 5658  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454   Σ_g cgsu 17637  Mndcmnd 18949  Cntzccntz 19556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023

This theorem is used by:  rprmdvdsprod  34133