Theorem gsumzresunsn 32996

Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzresunsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumzresunsn.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y	⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
gsumzresunsn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
gsumzresunsn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
gsumzresunsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
gsumzresunsn.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
gsumzresunsn.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))

Assertion

Ref	Expression
gsumzresunsn	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzresunsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzresunsn.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumzresunsn.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))
5		gsumzresunsn.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6		gsumzresunsn.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		gsumzresunsn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8		df-ima 5651	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9		gsumzresunsn.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
10		gsumzresunsn.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
11		gsumzresunsn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐶)
12	11	snssd 4773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
13	10, 12	unssd 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
14	9, 13	feqresmpt 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
15	14	rneqd 5902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16	8, 15	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)))
17	16	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
18	7, 16, 17	3sstr3d 4001	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
19	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
20	10	sselda 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
21	19, 20	ffvelcdmd 7057	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22		gsumzresunsn.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23		gsumzresunsn.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
25	24	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
26		gsumzresunsn.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝐹‘𝑋)
27	25, 26	eqtr4di 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝑌)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27	gsumzunsnd 19886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
29	14	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹‘𝑥))))
30	9, 10	feqresmpt 6930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
31	30	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))))
32	31	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥))) + 𝑌))
33	28, 29, 32	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ 𝐴)) + 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18661  Cntzccntz 19247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712

This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33505