Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 33042
Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzresunsn.p + = (+g𝐺)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzresunsn.y 𝑌 = (𝐹𝑋)
gsumzresunsn.f (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
gsumzresunsn.1 (𝜑𝐴𝐶)
gsumzresunsn.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
gsumzresunsn.3 (𝜑𝑋𝐶)
gsumzresunsn.4 (𝜑𝑌𝐵)
gsumzresunsn.5 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 eqid 2735 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))))
8 df-ima 5702 . . . . 5 (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐶)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐶)
1211snssd 4814 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐶)
1310, 12unssd 4202 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝐶)
149, 13feqresmpt 6978 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1514rneqd 5952 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
168, 15eqtrid 2787 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋})) = ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)))
1716fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (𝑍‘(𝐹 “ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
187, 16, 173sstr3d 4042 . . 3 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥)) ⊆ (𝑍‘ran (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
199adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐶𝐵)
2010sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
2119, 20ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
2524fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 𝑌 = (𝐹𝑋)
2725, 26eqtr4di 2793 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → (𝐹𝑥) = 𝑌)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19989 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
2914oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}) ↦ (𝐹𝑥))))
309, 10feqresmpt 6978 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
3130oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝐴)) = (𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))))
3231oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌) = ((𝐺 Σg (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))) + 𝑌))
3328, 29, 323eqtr4d 2785 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐴 ∪ {𝑋}))) = ((𝐺 Σg (𝐹𝐴)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  Cntzccntz 19346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815
This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33542
  Copyright terms: Public domain W3C validator