Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 32808
Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.y π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
gsumzresunsn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
gsumzresunsn.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
gsumzresunsn.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
gsumzresunsn.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumzresunsn.5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 eqid 2725 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
8 df-ima 5686 . . . . 5 (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
1211snssd 4809 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐢)
1310, 12unssd 4181 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝐢)
149, 13feqresmpt 6961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1514rneqd 5935 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
168, 15eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1716fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
187, 16, 173sstr3d 4020 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
199adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
2010sselda 3973 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2119, 20ffvelcdmd 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
2524fveq2d 6894 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
2725, 26eqtr4di 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘Œ)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19910 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
2914oveq2d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
309, 10feqresmpt 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3130oveq2d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
3231oveq1d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
3328, 29, 323eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3939   βŠ† wss 3941  {csn 4625   ↦ cmpt 5227  ran crn 5674   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  Basecbs 17174  +gcplusg 17227   Ξ£g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  Cntzccntz 19265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736
This theorem is referenced by:  rprmdvdsprod  33287
  Copyright terms: Public domain W3C validator