Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzresunsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzresunsn 32733
Description: Append an element to a finite group sum expressed as a function restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzresunsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.p + = (+gβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzresunsn.y π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
gsumzresunsn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
gsumzresunsn.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
gsumzresunsn.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzresunsn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
gsumzresunsn.2 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
gsumzresunsn.3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
gsumzresunsn.4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
gsumzresunsn.5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
Assertion
Ref Expression
gsumzresunsn (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))

Proof of Theorem gsumzresunsn
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumzresunsn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzresunsn.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
3 gsumzresunsn.z . . 3 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 eqid 2727 . . 3 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
5 gsumzresunsn.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
6 gsumzresunsn.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
7 gsumzresunsn.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) βŠ† (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))))
8 df-ima 5685 . . . . 5 (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
9 gsumzresunsn.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
10 gsumzresunsn.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
11 gsumzresunsn.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐢)
1211snssd 4808 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝐢)
1310, 12unssd 4182 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝐢)
149, 13feqresmpt 6962 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1514rneqd 5934 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
168, 15eqtrid 2779 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋})) = ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
1716fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜(𝐹 β€œ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
187, 16, 173sstr3d 4024 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† (π‘β€˜ran (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
199adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐢⟢𝐡)
2010sselda 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
2119, 20ffvelcdmd 7089 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
22 gsumzresunsn.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ 𝐴)
23 gsumzresunsn.4 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ π‘₯ = 𝑋)
2524fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘‹))
26 gsumzresunsn.y . . . 4 π‘Œ = (πΉβ€˜π‘‹)
2725, 26eqtr4di 2785 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘Œ)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 18, 21, 11, 22, 23, 27gsumzunsnd 19895 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
2914oveq2d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
309, 10feqresmpt 6962 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3130oveq2d 7430 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
3231oveq1d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) + π‘Œ))
3328, 29, 323eqtr4d 2777 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐹 β†Ύ 𝐴)) + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  Basecbs 17165  +gcplusg 17218   Ξ£g cgsu 17407  Mndcmnd 18679  Cntzccntz 19250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator