Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem69 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem69 44877
Description: A piecewise continuous function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem69.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem69.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem69.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem69.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
fourierdlem69.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem69.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem69.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem69 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem69
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem69.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 fourierdlem69.q . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3 fourierdlem69.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 fourierdlem69.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
54fourierdlem2 44811 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
87simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
98simpld 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
109simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
119simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
1210, 11oveq12d 7423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
1312feq2d 6700 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
141, 13mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))βŸΆβ„‚)
1514feqmptd 6957 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
16 nfv 1917 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
17 0zd 12566 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
18 nnuz 12861 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
19 1e0p1 12715 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2019fveq2i 6891 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
2118, 20eqtri 2760 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
223, 21eleqtrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
237simpld 495 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8839 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7083 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
278simprd 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2827r19.21bi 3248 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
291adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
3110adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
3211adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
3331, 32oveq12d 7423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
3430, 33eleqtrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3529, 34ffvelcdmd 7084 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3625adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
37 elfzofz 13644 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3837adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3936, 38ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
40 fzofzp1 13725 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4140adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4236, 41ffvelcdmd 7084 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
431adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
44 ioossicc 13406 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
454, 3, 2fourierdlem11 44820 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
4645simp1d 1142 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4746rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4945simp2d 1143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5049rexrd 11260 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
524, 3, 2fourierdlem15 44824 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
5548, 51, 53, 54fourierdlem8 44817 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
5644, 55sstrid 3992 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
5743, 56feqresmpt 6958 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
58 fourierdlem69.fcn . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5957, 58eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
60 fourierdlem69.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
6157oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
6260, 61eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
63 fourierdlem69.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6457oveq1d 7420 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6563, 64eleqtrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6639, 42, 59, 62, 65iblcncfioo 44680 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
6743adantr 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
6855sselda 3981 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
6967, 68ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7039, 42, 66, 69ibliooicc 44673 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
7116, 17, 22, 26, 28, 35, 70iblspltprt 44675 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
7215, 71eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„*cxr 11243   < clt 11244  β„•cn 12208  β„€β‰₯cuz 12818  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β€“cnβ†’ccncf 24383  πΏ1cibl 25125   limβ„‚ climc 25370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178  df-limc 25374
This theorem is referenced by:  fourierdlem84  44892  fourierdlem88  44896  fourierdlem100  44908  fourierdlem107  44915  fourierdlem111  44919  fourierdlem112  44920
  Copyright terms: Public domain W3C validator