Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem69 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem69 41123
Description: A piecewise continuous function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem69.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem69.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem69.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem69.f (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem69.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem69.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem69.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem69 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem69
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem69.f . . . 4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 fourierdlem69.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3 fourierdlem69.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 fourierdlem69.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
54fourierdlem2 41057 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
72, 6mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
87simprd 490 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98simpld 489 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
109simpld 489 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
119simprd 490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
1210, 11oveq12d 6894 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
1312feq2d 6240 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
141, 13mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))⟶ℂ)
1514feqmptd 6472 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ↦ (𝐹𝑥)))
16 nfv 2010 . . 3 𝑥𝜑
17 0zd 11674 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
18 nnuz 11963 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
19 1e0p1 11822 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2019fveq2i 6412 . . . . 5 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
2118, 20eqtri 2819 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
223, 21syl6eleq 2886 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
237simpld 489 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
24 elmapi 8115 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6583 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
278simprd 490 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
2827r19.21bi 3111 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
291adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
30 simpr 478 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
3110adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) = 𝐴)
3211adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
3331, 32oveq12d 6894 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
3430, 33eleqtrd 2878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3529, 34ffvelrnd 6584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3625adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
37 elfzofz 12736 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3837adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3936, 38ffvelrnd 6584 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
40 fzofzp1 12816 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4140adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4236, 41ffvelrnd 6584 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
431adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
44 ioossicc 12504 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
454, 3, 2fourierdlem11 41066 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4645simp1d 1173 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4746rexrd 10376 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4847adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4945simp2d 1174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5049rexrd 10376 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
524, 3, 2fourierdlem15 41070 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
5352adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
54 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
5548, 51, 53, 54fourierdlem8 41063 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5644, 55syl5ss 3807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5743, 56feqresmpt 6473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
58 fourierdlem69.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5957, 58eqeltrrd 2877 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
60 fourierdlem69.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6157oveq1d 6891 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6260, 61eleqtrd 2878 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
63 fourierdlem69.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
6457oveq1d 6891 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
6563, 64eleqtrd 2878 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
6639, 42, 59, 62, 65iblcncfioo 40925 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6743adantr 473 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6855sselda 3796 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6967, 68ffvelrnd 6584 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7039, 42, 66, 69ibliooicc 40918 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
7116, 17, 22, 26, 28, 35, 70iblspltprt 40920 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
7215, 71eqeltrd 2876 1 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  {crab 3091   class class class wbr 4841  cmpt 4920  cres 5312  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑚 cmap 8093  cc 10220  cr 10221  0cc0 10222  1c1 10223   + caddc 10225  *cxr 10360   < clt 10361  cn 11310  cuz 11926  (,)cioo 12420  [,]cicc 12423  ...cfz 12576  ..^cfzo 12716  cnccncf 23004  𝐿1cibl 23722   lim climc 23964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cc 9543  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-symdif 4039  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-iin 4711  df-disj 4810  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-of 7129  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-supp 7531  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-2o 7798  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-er 7980  df-map 8095  df-pm 8096  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-fsupp 8516  df-fi 8557  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-acn 9052  df-cda 9276  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-q 12030  df-rp 12071  df-xneg 12189  df-xadd 12190  df-xmul 12191  df-ioo 12424  df-ioc 12425  df-ico 12426  df-icc 12427  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-mod 12920  df-seq 13052  df-exp 13111  df-hash 13367  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-cmp 21516  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cncf 23006  df-ovol 23569  df-vol 23570  df-mbf 23724  df-itg1 23725  df-itg2 23726  df-ibl 23727  df-itg 23728  df-0p 23775  df-limc 23968
This theorem is referenced by:  fourierdlem84  41138  fourierdlem88  41142  fourierdlem100  41154  fourierdlem107  41161  fourierdlem111  41165  fourierdlem112  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator