Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem69 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem69 42345
Description: A piecewise continuous function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem69.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem69.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem69.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem69.f (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem69.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem69.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem69.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem69 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem69
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem69.f . . . 4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 fourierdlem69.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
3 fourierdlem69.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
4 fourierdlem69.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
54fourierdlem2 42279 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
72, 6mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
87simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
98simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵))
109simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
119simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) = 𝐵)
1210, 11oveq12d 7168 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
1312feq2d 6499 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
141, 13mpbird 258 . . 3 (𝜑𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))⟶ℂ)
1514feqmptd 6732 . 2 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ↦ (𝐹𝑥)))
16 nfv 1908 . . 3 𝑥𝜑
17 0zd 11987 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
18 nnuz 12275 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
19 1e0p1 12134 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2019fveq2i 6672 . . . . 5 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
2118, 20eqtri 2849 . . . 4 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
223, 21syl6eleq 2928 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
237simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8423 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6849 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
278simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
2827r19.21bi 3213 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
291adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
30 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
3110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) = 𝐴)
3211adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄𝑀) = 𝐵)
3331, 32oveq12d 7168 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
3430, 33eleqtrd 2920 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3529, 34ffvelrnd 6850 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3625adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
37 elfzofz 13048 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3837adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3936, 38ffvelrnd 6850 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
40 fzofzp1 13129 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4140adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4236, 41ffvelrnd 6850 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
431adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
44 ioossicc 12817 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
454, 3, 2fourierdlem11 42288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
4645simp1d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4746rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4847adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4945simp2d 1137 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5049rexrd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
524, 3, 2fourierdlem15 42292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
54 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
5548, 51, 53, 54fourierdlem8 42285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5644, 55sstrid 3982 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
5743, 56feqresmpt 6733 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
58 fourierdlem69.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5957, 58eqeltrrd 2919 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
60 fourierdlem69.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6157oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
6260, 61eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
63 fourierdlem69.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
6457oveq1d 7165 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
6563, 64eleqtrd 2920 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) lim (𝑄𝑖)))
6639, 42, 59, 62, 65iblcncfioo 42147 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6743adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
6855sselda 3971 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6967, 68ffvelrnd 6850 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7039, 42, 66, 69ibliooicc 42140 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
7116, 17, 22, 26, 28, 35, 70iblspltprt 42142 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
7215, 71eqeltrd 2918 1 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cres 5556  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  m cmap 8401  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  *cxr 10668   < clt 10669  cn 11632  cuz 12237  (,)cioo 12733  [,]cicc 12736  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  cnccncf 23418  𝐿1cibl 24152   lim climc 24394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-symdif 4223  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-cmp 21930  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-mbf 24154  df-itg1 24155  df-itg2 24156  df-ibl 24157  df-itg 24158  df-0p 24205  df-limc 24398
This theorem is referenced by:  fourierdlem84  42360  fourierdlem88  42364  fourierdlem100  42376  fourierdlem107  42383  fourierdlem111  42387  fourierdlem112  42388
  Copyright terms: Public domain W3C validator