Theorem fourierdlem69 47003

Description: A piecewise continuous function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem69.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem69.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem69.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem69.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem69.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem69.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem69.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem69	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑚,𝑝   𝐵,𝑖,𝑚,𝑝   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑝)   𝑃(𝑖, 𝑚, 𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑖, 𝑚, 𝑝)   𝐹(𝑚, 𝑝)   𝐿(𝑖, 𝑚, 𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem69

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem69.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2		fourierdlem69.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
3		fourierdlem69.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4		fourierdlem69.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
5	4	fourierdlem2 46937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6	3, 5	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
7	2, 6	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
8	7	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄‘𝑀) = 𝐵))
10	9	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) = 𝐴)
11	9	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
12	10, 11	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
13	12	feq2d 6686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))⟶ℂ ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ))
14	1, 13	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))⟶ℂ)
15	14	feqmptd 6946	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ↦ (𝐹‘𝑥)))
16		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
17		0zd 12627	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
18		nnuz 12926	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
19		1e0p1 12783	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
20	19	fveq2i 6881	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘1) = (ℤ≥‘(0 + 1))
21	18, 20	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘(0 + 1))
22	3, 21	eleqtrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1)))
23	7	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24		elmapi 8848	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
25	23, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
26	25	ffvelcdmda 7077	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
27	8	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
28	27	r19.21bi 3254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
29	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
30		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
31	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘0) = 𝐴)
32	11	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘𝑀) = 𝐵)
33	31, 32	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) = (𝐴[,]𝐵))
34	30, 33	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35	29, 34	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
36	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
37		elfzofz 13731	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
38	37	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
39	36, 38	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘𝑖) ∈ ℝ)
40		fzofzp1 13820	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
41	40	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
42	36, 41	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
43	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
44		ioossicc 13486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
45	4, 3, 2	fourierdlem11 46946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
46	45	simp1d 1160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
49	45	simp2d 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
50	49	rexrd 11283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52	4, 3, 2	fourierdlem15 46950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
54		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
55	48, 51, 53, 54	fourierdlem8 46943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
56	44, 55	sstrid 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
57	43, 56	feqresmpt 6947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
58		fourierdlem69.fcn	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
59	57, 58	eqeltrrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
60		fourierdlem69.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
61	57	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
62	60, 61	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
63		fourierdlem69.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
64	57	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
65	63, 64	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) limℂ (𝑄‘𝑖)))
66	39, 42, 59, 62, 65	iblcncfioo 46806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
67	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
68	55	sselda 3931	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
69	67, 68	ffvelcdmd 7078	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
70	39, 42, 66, 69	ibliooicc 46799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
71	16, 17, 22, 26, 28, 35, 70	iblspltprt 46801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
72	15, 71	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8826  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℕcn 12257  ℤ_≥cuz 12887  (,)cioo 13398  [,]cicc 13401  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  –cn→ccncf 25104  𝐿¹cibl 25845   lim_ℂ climc 26089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-itg 25851  df-0p 25898  df-limc 26093

This theorem is used by:  fourierdlem84  47018  fourierdlem88  47022  fourierdlem100  47034  fourierdlem107  47041  fourierdlem111  47045  fourierdlem112  47046