Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem69 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem69 44891
Description: A piecewise continuous function is integrable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem69.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem69.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem69.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem69.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
fourierdlem69.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem69.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem69.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem69 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,π‘š,𝑝   𝐡,𝑖,π‘š,𝑝   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑄,𝑖,𝑝   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝑃(𝑖,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(𝑖,π‘š,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐿(𝑖,π‘š,𝑝)
Proof of Theorem fourierdlem69
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem69.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
2 fourierdlem69.q . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
3 fourierdlem69.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
4 fourierdlem69.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
54fourierdlem2 44825 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
63, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
72, 6mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
87simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
98simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
109simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
119simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
1210, 11oveq12d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
1312feq2d 6704 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))βŸΆβ„‚ ↔ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚))
141, 13mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))βŸΆβ„‚)
1514feqmptd 6961 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
16 nfv 1918 . . 3 β„²π‘₯πœ‘
17 0zd 12570 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
18 nnuz 12865 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
19 1e0p1 12719 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
2019fveq2i 6895 . . . . 5 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
2118, 20eqtri 2761 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜(0 + 1))
223, 21eleqtrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(0 + 1)))
237simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
24 elmapi 8843 . . . . 5 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7087 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
278simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2827r19.21bi 3249 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
291adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
30 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
3110adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
3211adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
3331, 32oveq12d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) = (𝐴[,]𝐡))
3430, 33eleqtrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3529, 34ffvelcdmd 7088 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3625adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
37 elfzofz 13648 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3837adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
3936, 38ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
40 fzofzp1 13729 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4140adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
4236, 41ffvelcdmd 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
431adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
44 ioossicc 13410 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
454, 3, 2fourierdlem11 44834 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
4645simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4746rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4847adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4945simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5049rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
524, 3, 2fourierdlem15 44838 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
5352adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
54 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
5548, 51, 53, 54fourierdlem8 44831 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
5644, 55sstrid 3994 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
5743, 56feqresmpt 6962 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
58 fourierdlem69.fcn . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5957, 58eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
60 fourierdlem69.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
6157oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
6260, 61eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
63 fourierdlem69.r . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6457oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6563, 64eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
6639, 42, 59, 62, 65iblcncfioo 44694 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
6743adantr 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
6855sselda 3983 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
6967, 68ffvelcdmd 7088 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7039, 42, 66, 69ibliooicc 44687 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
7116, 17, 22, 26, 28, 35, 70iblspltprt 44689 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
7215, 71eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β€“cnβ†’ccncf 24392  πΏ1cibl 25134   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383
This theorem is referenced by:  fourierdlem84  44906  fourierdlem88  44910  fourierdlem100  44922  fourierdlem107  44929  fourierdlem111  44933  fourierdlem112  44934
  Copyright terms: Public domain W3C validator